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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Fonction.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Fonction puissance et modélisation

2 Introduction On peut, à partir de la forme obtenue en représentant graphiquement des données expérimentales, faire lhypothèse dune variation directement proportionnelle au carré, dune variation inversement proportionnelle ou inversement proportionnelle au carré. Pour confirmer une telle hypothèse, il faut appliquer un critère algébrique qui nous permet également de déterminer la constante de proportionnalité. Cest la procédure que nous étudierons maintenant, mais rappelons tout dabord les caractéristiques de ces variations.

3 Lien directement proportionnel au carré Pour modéliser des données expérimentales, on peut faire lhypothèse dun lien directement proportionnel au carré entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites : Un lien directement proportionnel au carré est de la forme : y x On peut donc confirmer ou infirmer lhypothèse, en calculant le quotient de chaque valeur de la variable dépendante sur le carré de la valeur correspondante de la variable indépendante. Lhypothèse est confirmée lorsque ces quotients sont relativement constants, la valeur moyenne de ces quotients est la constante a. la variable dépendante est nulle lorsque la variable indépendante est nulle; la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe croissante et concave vers le haut. y = ax 2, doù yx2yx2 = a, si x 0 et y = 0 lorsque x = 0.

4 Lien inversement proportionnel Pour modéliser des données expérimentales, on peut faire lhypothèse dun lien inversement proportionnel entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites : Un lien inversement proportionnel est de la forme : On peut donc confirmer ou infirmer lhypothèse, en calculant le produit des valeurs correspondantes des deux variables. Lhypothèse est confirmée lorsque ces produits sont relativement constants, la valeur moyenne de ces produits est la constante a. la relation nest pas définie lorsque la variable indépendante est nulle; la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe décroissante et concave vers le haut. y =y = axax, doù lon tire yx = a y x

5 Lien inversement proportionnel au carré Pour modéliser des données expérimentales, on peut faire lhypothèse dun lien inversement proportionnel au carré entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites : Un lien inversement proportionnel est de la forme : On peut donc confirmer ou infirmer lhypothèse, en calculant le produit des valeurs correspondantes de la variable dépendante et du carré de la variable indépendante. Lhypothèse est confirmée lorsque ces produits sont relativement constants, la valeur moyenne de ces produits est la constante a. la relation nest pas définie lorsque la variable indépendante est nulle; la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe décroissante et concave vers le haut. y =y = ax2ax2, doù lon tire yx 2 = a y x

6 Exemple On a relevé expérimentalement les correspon- dances ci-contre. Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables. S Représentons graphiquement les données. La relation est définie à x = 0 et la valeur correspondante est y = 0. Calculons les quotients pour tester notre hypothèse. S S ,0 2,3 9,0 16,9 32,0 56,2 80,4 102,4 xy – 0, , , , , , ,14047 y/x 2 y x La représentation graphique donne une courbe croissante et concave vers le haut. On peut donc faire lhypothèse dun lien directement proportionnel au carré. Les quotients sont relativement constants et la valeur moyenne est a = 0, Le modèle mathématique est : y = 0,14097x 2 À laide du modèle, déterminer la valeur correspondante lorsque la variable indépendante prend la valeur 13. Si x = 13, on trouve alors en substituant dans la relation : y = 0,1409 Compte tenu de la précision des données, on retiendra 24 comme valeur de la variable dépendante. Conclusion

7 Exemple On a relevé expérimentalement les corres- pondances ci-contre. Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables. S Représentons graphiquement les données. La relation ne semble pas définie à x = 0. Calculons les produits pour tester notre hypothèse. SS 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 9,62 2,41 1,07 0,60 0,38 0,27 0,20 xy 3,848 1,928 1,284 0,960 0,760 0,648 0,560 yx y x 0,81,62,4 La représentation graphique donne une courbe décroissante et concave vers le haut. On peut donc faire lhypothèse dun lien inversement proportionnel. Les produits ne sont pas constants, ce qui infirme lhypothèse. À laide du modèle, déterminer la valeur correspondante lorsque la variable indépen- dante prend la valeur 1,4. 1,539 1,542 1,541 1,536 1,520 1,555 1,568 yx 2 Faisons maintenant lhypothèse que le lien est inversement proportionnel au carré et vérifions celle-ci par les produits yx 2. Les produits sont relativement constants et la valeur moyenne est 1,543. Le modèle mathématique est : y =y = 1,543 x 2 S Si x = 1,4, on trouve alors en substituant dans la relation : Compte tenu de la précision des données, on retiendra 0,79 comme valeur de la variable dépendante. Conclusion 1,543 y == 0,

8 Exemple On a relevé expérimentalement les correspon- dances ci-contre. Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables. S Représentons graphiquement les données. La relation est définie à x = 0 et la valeur correspondante est y = 0. Cependant, nous ne sommes pas en mesure de confirmer ou dinfirmer cette hypothèse car nous ne disposons pas de critère algébrique pour le faire. 0,0 3,2 5,5 7,3 9,2 11,4 12,7 13,8 0,0 4,3 5,7 6,6 7,4 8,2 8,7 9,0 xy y x 4812 La représentation graphique donne une courbe croissante et concave vers le bas. On peut donc faire lhypothèse dun lien de puissance y = ax b, où 0 < b < 1. Pour déterminer un modèle décrivant ces données, il faut avoir recours à la régression.

9 Conclusion Il existe des critères algébriques simples permettant de confirmer algébriquement lhypothèse dune relation de la forme : y = ax b pour b {–2; –1; 1; 2 Cependant, lorsque lexposant est différent des valeurs de cet ensemble, il nexiste pas de critère simple. Il faut alors avoir recours à la méthode de régression que nous verrons dans la présentation intitulée Régression logarithmique. La représentation graphique de données expérimentales suggère une ou des hypothèses quant au lien entre les variables. Pour confirmer ou infirmer ces hypothèses, il faut avoir recours à un critère algébrique.

10 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 3.4, p. 85 à 86. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 3.3, p. 80 à 84.


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