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Systèmes déquations linéaires Étude de contexte et résolution.

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1 Systèmes déquations linéaires Étude de contexte et résolution

2 Système à solution unique Ces droites nont quun point dintersection

3 Système inconsistant Ces droites nont pas dintersection

4 Système avec une infinité de solutions Ces droites sont confondues

5 Nombre de solutions dun système déquations linéaires Les exemples précédents se généralisent à un système de plus de 2 variables Donc, lensemble solution dun système déquations linéaires AX=B peut posséder –Aucune solution –Une solution unique –Une infinité de solutions

6 Systèmes déquations équivalents Deux systèmes déquations sont équivalents sils possèdent le même ensemble solution. Par exemple, les deux systèmes suivants sont équivalents

7 - Laddition dun multiple dune ligne à une autre ligne - La multiplication dune ligne par une constante non nulle Il y a trois types dopérations que lon peut faire sur les lignes dun système déquations linéaires qui ne changent pas lensemble solution de ce système Opérations élémentaires sur les lignes - Linterversion de deux lignes

8 Exemple de transformations dun système déquations linéaires

9 Système initial et final (équivalents)

10 Matrice augmentée dun système déquations linéaires La matrice augmentée est la matrice des coefficients à laquelle on a ajoutée la colonne des constantes

11 Exemple

12 Méthode de la matrice escalier Deux matrices sont équivalentes si on peut obtenir lune des matrices en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de lautre matrice La méthode de la matrice escalier consiste à résoudre un système déquations linéaires en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée du système de manière à obtenir une matrice escalier équivalente (sans nécessairement les pivots à 1)

13 Exemple

14

15 Infinité de solutions Deux variables sont ici libres

16 Système inconsistant La dernière ligne est contradictoire

17 Rang dune matrice Le rang dune matrice A est le nombre de lignes non nulles dune matrice échelonnée équivalente à A Le rang de A est 2

18 Théorème

19 Méthode de Gauss-Jordan Cest un prolongement de la méthode de la matrice escalier. Elle consiste à effectuer des opérations élémentaires sur la matrice augmentée du système pour la transformer en une matrice escalier dont les pivots sont les seuls éléments non nuls de leurs colonnes respectives. La solution du système sera alors directement accessible dans la matrice.

20 Exemple Donc x = -1, y = ½ et z = ¼

21 Calcul de la matrice inverse par la méthode de Gauss-Jordan Pour trouver linverse dune matrice A, on augmente la matrice A de la matrice identité de même ordre ( A|I n ) on effectue ensuite des transformations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice identité à gauche (I n |B) la matrice B ainsi obtenue est la matrice inverse de A

22 Exemple


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