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Les familles de fonctions Situations et Modèles mathématiques.

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1 Les familles de fonctions Situations et Modèles mathématiques

2 Le salaire en fonction du temps, laire dun disque en fonction de son rayon,lampérage en fonction de la résistance, la température dun corps en fonction du temps, Plusieurs situations concrètes peuvent être représentées par des fonctions. Exemples Lorsquil sagit de représenter ce genre de situations, la courbe tracée est alors limitée ; on dit quelle est bornée. Comme ces fonctions représentent des situations concrètes, on pourrait les nommer « fonctions de situations ». etc.

3 Exemple On veut représenter le salaire dun ouvrier en fonction de ses heures de travail pour une semaine. Nous dirons quil gagne 10 $ lheure et que sa semaine de travail comporte 40 heures. Le graphique ci-contre illustre cette situation. Cette fonction représente une situation concrète; elle varie de 0 à 40 pour le nombre dheures et de 0 à 400 pour le salaire. Létude que lon en fait est limitée; la fonction est donc bornée Heures ($) Salaire dun travailleur

4 Remarque Certains auteurs identifient une fonction bornée avec des points. Ce nest pas nécessaire, limportant est de comprendre la situation que représente le graphique Heures ($) Salaire dun travailleur

5 La situation de louvrier correspond au modèle dune fonction linéaire de variation directe. On pourrait « théoriser » cette situation dans tout le plan cartésien. On obtient ainsi le modèle théorique de la fonction linéaire de variation directe. Toutes les situations linéaires de variation directe suivront ce modèle quil faudra ajuster selon la situation. y x

6 Les fonctions sont associées à des situations bien précises; chaque fonction possède donc son propre modèle théorique. Fonction polynomiale de degré 0 Fonction polynomiale de degré 1 f(x) = bx 0 f(x) = b f(x) = x 1 f(x) = x Les fonctions de base sont les fonctions les plus simples de leur catégorie. ou fonction constante ou fonction linéaire y x y x

7 fonction rationnelle Fonction polynomiale de degré 2 Fonction racine carrée f(x) = x 2 f(x) = x f(x) = x a ou Fonction inversement proportionnelle ou fonction quadratique y x y x y x

8 Fonction exponentielle Fonction partie entière Fonction valeur absolue Fonction périodiqueFonction définie par parties f(x) = c x f(x) = [ x ]f(x) = x y x y x y x y x y x

9 Examinons quelques situations Aux États-Unis, la mesure de la température ne se fait pas en degré Celsius, mais avec une autre unité de mesure, soit le degré Fahrenheit. Une formule permet de convertir les degrés Celsius en degré Fahrenheit; cette formule est : 5 0 F = 9 0 C + 32 La représentation graphique de cette fonction est illustrée ci-contre. 20 0C0C 25 0F0F Conversion de température La conversion de température des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est une fonction linéaire de variation partielle. Pour la représenter, nous avons besoin de tout le plan cartésien. Forme déquation la plus simple : f(x) = x + b

10 Salaire ($) Dans lexemple, déjà cité, du salaire de louvrier, la fonction correspond au modèle linéaire de variation directe. Dans cet exemple, seulement le premier quadrant du plan cartésien est utilisé, car le travailleur ne peut faire des heures négatives et un salaire négatif. 5Heures 50 Le modèle de la fonction représentée correspond quand même au modèle linéaire de variation directe, mais ajusté à la situation. Forme déquation la plus simple : f(x) = x

11 En électricité, plusieurs phénomènes peuvent être représentés par des fonctions linéaires de variation directe. Courbe de la tension en fonction du courant Courant (A) 0,25 0,50 0,75 1 Tension (V)

12 Dans une loto, plus on achète de billets et plus on a de chances de gagner. Tu demandes donc à tes amis de participer à lachat de billets lors dun tirage de $. Tu aimerais savoir quel montant recevra chacun en fonction du nombre de participants. Cette situation représente une fonction inversement proportionnelle (appelée aussi fonction rationnelle). Plus le nombre de participants sera élevé et plus le montant gagné par chacun sera petit. Seulement une partie du plan cartésien est utilisé, mais le modèle sapparente au modèle de la fonction inversement proportionnelle. Partage dune somme dargent de $ Nombre de participants 2 Somme gagnée ( K $ ) 2 Forme déquation la plus simple : f(x) = a x

13 Le coût dutilisation dun stationnement public est de 2,00 $ de lheure ou partie dheure. On sintéresse à la relation entre les heures de stationnement et le coût. Si on reste 30 minutes, le coût est aussi de 2,00 $. Si on reste 1 heure plus une minute, le coût augmente subitement à 4,00 $ pour toute la deuxième heure Dès la première minute, le coût est automatiquement de 2,00 $. et ainsi de suite. Coût de stationnement Temps (heures) Coût ($) Cest le modèle de variation en escalier. On lappelle ainsi, car le graphique ressemble à un escalier. Il représente la fonction appelée partie entière. Forme déquation la plus simple : f(x) = [ x ]

14 La distance (D) parcourue (en kilomètres) par une fusée durant les trois premières minutes de son vol est définie par la règle D = 50t 2 où t est le temps (en minutes). Cette situation sapparente au modèle du second degré appelé fonction quadratique. On peut constater que la variation est de plus en plus rapide. Ici, nous ne voyons que la moitié de la courbe. Cest une fonction du second degré, car lexposant de la variable indépendante est lexposant Temps (min) Distance parcourue par une fusée Distance (km)

15 Un ballon de football est botté dans les airs. La hauteur H du ballon (en mètres) selon le temps (en secondes) est donnée par la règle H(t) = -2t t Temps (sec) Hauteur (m) Botté dun ballon de football Dans cette situation, on voit plus clairement le modèle du deuxième degré. Ici encore, on ne représente quune partie de la parabole soit la partie positive, puisque la situation est une situation réelle. Ce type de courbe sappelle une parabole. Forme déquation la plus simple : f(x) = x 2

16 Au début d'une expérience, il y avait 20 bactéries. Depuis, l'augmentation des bactéries double à chaque heure. On veut connaître le nombre de bactéries après 6 heures. Voici une table de valeurs représentant cette situation. Heures Bactéries Heures Développement de bactéries Nombre de bactéries Cette table de valeurs et ce graphique représentent le modèle exponentielle. Au début, la relation progresse assez lentement, mais par la suite, elle augmente très rapidement. Forme déquation la plus simple : f(x) = c x

17 On voudrait connaître la longueur du côté dun carré en fonction de son aire. Dans cet exemple, il faut extraire la racine carré des différentes aires que peut avoir un carré. Aires et côtés de carrés Aire (m 2 ) Côté (m) Forme déquation la plus simple : f(x) = x

18 Sur une droite numérique, la distance de chaque entier et de son opposé par rapport à 0 est la même et bien entendu, cette distance doit être positive distance de 1distance de 2 Que les nombres soient positifs ou négatifs, la distance de ces nombres par rapport à zéro est nécessairement positive Nombres Distance par rapport à zéro Distance Forme déquation la plus simple : f(x) = x Cette fonction permet en autre de calculer la différence entre une mesure souhaitée et une mesure réelle lors de la fabrication dun objet. distance de 1 distance de 2 On utilise donc la fonction valeur absolue, ce qui garantit un résultat positif.

19 Fréquence dun courant alternatif (110 V) Temps (sec) Tension (V) V V 1 60 Lélectricité que nous recevons dans nos maisons à une tension de 110 volts et le courant est alternatif. Il varie donc constamment de volts à – 110 volts. La courbe ci-contre représente un cycle. Ce cycle a une durée de 1/60 de seconde; il se répète donc 60 fois dans une seconde. Cette situation sapparente donc à la fonction périodique. Une des formes déquation la plus simple de ce genre de situation : f(x) = sin x Temps (sec) Tension (V) V V 1 60

20 Il existe encore dautres fonctions, nous ne les avons pas toutes abordées. Conclusion La représentation théorique des fonctions est beaucoup plus vaste et complexe que la représentation associée à des situations concrètes. Chaque modèle mathématique illustre une multitude de situations ou de phénomènes de la vie courante. Cependant, ces situations ne correspondent le plus souvent quà une partie du modèle. Une bonne connaissance de lalgèbre est essentielle pour pouvoir utiliser adéquatement toutes les notions gravitant autour du concept de fonctions. Chaque fonction possède ses propres propriétés (domaine, codomaine, intervalles de croissance et de décroissance, etc.). Être capable de les analyser est donc essentiel.


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