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Lélectricité est constructive : un modèle intuitionniste de la stabilisation électrique des circuits cycliques Gérard Berry Collège de France Chaire Algorithmes,

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1 Lélectricité est constructive : un modèle intuitionniste de la stabilisation électrique des circuits cycliques Gérard Berry Collège de France Chaire Algorithmes, machines et langages Cours 7, 26 mars 2014

2 1.Pourquoi les circuits cycliques 2.Les trois sortes de cycles 3.La logique temporelle UN 4.Codage des circuits dans UN 5.Déductions et simulations 6.Les théorèmes 7.Débarrassons-nous du temps ! 26/03/ G. Berry, Collège de France

3 1.Pourquoi les circuits cycliques 2.Les trois sortes de cycles 3.La logique temporelle UN 4.Codage des circuits dans UN 5.Déductions et simulations 6.Les théorèmes 7.Débarrassons-nous du temps ! 26/03/ G. Berry, Collège de France

4 26/03/ G. Berry, Collège de France Cycles sains en logiciel (Esterel) input TOP_HORLOGE, INDICATEUR_ON ; relation TOP_HORLOGE # INDICATEUR_ON ; signal FIN, REARMEMENT in abort await TOP_HORLOGE ; emit FIN end when REARMEMENT || abort every INDICATEUR_ON ; emit REARMEMENT when FIN end signal TOP_HORLOGE # INDICATEUR_ON FIN # REARMEMENT E. Ledinot, Dassault aviation, séminaire du 16/04/2013

5 26/03/ G. Berry, Collège de France Partage de ressources cycles combinatoires O if C then F(G(I)) else G(F(I)) F G C C I O C Sharad Malik, Analysis of Cyclic Combinational Circuits IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, VOL. 13, NO. 7, JULY 1994

6 26/03/ G. Berry, Collège de France Partage de ressources cycles combinatoires O if C then F(G(I)) else G(F(I)) cycle F G C C I O C

7 26/03/ G. Berry, Collège de France Partage de ressources cycles combinatoires F G 1 O I C 1 O if C then F(G(I)) else G(F(I))

8 26/03/ G. Berry, Collège de France Partage de ressources cycles combinatoires F G 0 I O Le cycle ne pose ni problème logique, ni problème électrique ! C 0 O if C then F(G(I)) else G(F(I))

9 26/03/ G. Berry, Collège de France Ordonnanceur round-robin à jeton ok req ok req ok req ok

10 26/03/ G. Berry, Collège de France Ordonnanceur round-robin à jeton Cycle combinatoire ! ok req ok

11 26/03/ G. Berry, Collège de France Ordonnanceur round-robin à jeton le cycle est sain car coupé à une porte ou ok req ok

12 26/03/ G. Berry, Collège de France ok req ok Le registre à 1 change à chaque cycle, le point de coupure avec

13 26/03/ G. Berry, Collège de France Ordonnanceur round-robin à jeton Cycle incorrect si aucun registre à 1 au départ ! ok req ok

14 Buffer circulaire 16 octets arrivant aléatoirement Longueur dépendant du premier octet puis des suivants Longueur potentiellement quelconque Design naturellement cyclique et dur à rendre acyclique 26/03/ G. Berry, Collège de France ILD Instruction Length Decoder

15 1.Pourquoi les circuits cycliques 2.Les trois sortes de cycles 3.La logique temporelle UN 4.Codage des circuits dans UN 5.Déductions et simulations 6.Les théorèmes 7.Débarrassons-nous du temps ! 26/03/ G. Berry, Collège de France

16 Mauvais : pas de stabilisation électrique, pas de solution logique unique X X 26/03/ G. Berry, Collège de France Les trois sortes de circuits cycliques Bons : stabilisation électrique, solution logique unique exemples précédents X Bizarres : solution logique unique, mais stabilisation électrique dépendant des délais des fils et portes X X X D E pas de stabilisation électrique en partant de X 0 avec D 2 et E 5

17 Calcule 1 en logique classique mais pas en logique constructive (sans tiers exclu) ! 26/03/ G. Berry, Collège de France Electricité Logique constructive ? Hamlet : ToBe ToBe or not ToBe ToBe Peut-on caractériser logiquement les « bons circuits », i.e., ceux qui se stabilisent électriquement à cause de la propagation toute bête des signaux des entrées jusquaux sorties ?

18 Etudier de façon vraiment formelle la relation entre une vision « raisonnablement électrique » et une vision logique Modéliser la stabilisation, en faisant limpasse sur les transitoires et autres phénomènes électriques non pertinents pour le besoin Aller de la théorie aux algorithmes pratiques : détection de correction, construction dun circuit acyclique équivalent, vérification formelle par rapport à un autre circuit 26/03/ G. Berry, Collège de France Notre objectif Théorème (Mendler-Shiple-Berry): circuit constructif sorties électriquement stable vers une valeur unique pour tous délais sorties calculable vers 0 ou 1 en logique constructive sorties 0 ou 1 dans le point fixe en logique ternaire {, 0, 1} algorithmes pour tester la stabilité électrique

19 26/03/ G. Berry, Collège de France Logique Booléenne constructive e 1 e e 1 e 1 e e 1e e 0 e 0 e 1 e 0 Circuit C, vecteur dentrées : I entrées {0,1} Formules : I e b, abrégées en e b si I constant x e C e b x b e 0 e e 0 e 0 e e 0e e 1 e 1 e 0 e 1 I I (I) I entrée

20 Règles dérivables : 26/03/ G. Berry, Collège de France Intuitionnisme absence de tiers exclu I e 1 I e e 1 Règle non dérivable – le vrai tiers exclu : Fait électrique : – lélectricité est intuitionniste, – car les électrons ne sont pas au courant du tiers exclu ! Principe intuitionniste : pour prouver e e, il faut prouver e ou prouver e I e 0 I e e 1

21 1.Pourquoi les circuits cycliques 2.Les trois sortes de cycles 3.La logique temporelle UN 4.Codage des circuits dans UN 5.Déductions et simulations 6.Les théorèmes 7.Débarrassons-nous du temps ! 26/03/ G. Berry, Collège de France

22 Portes logiques : délai nul, groupement possible – notation polynomiale : y 1 x, s 2 s 1 x s 2 s 1 x s 2 Nœuds explicites pour les délais Au minimum un délai par cycle 26/03/ G. Berry, Collège de France Circuits avec délais d2 d1

23 26/03/ G. Berry, Collège de France Histoires « électriques » Histoire : h : + B n continue à droite (avec B {0,1}) Intervalle semi-ouvert : t,u, t u { | t u } souvent noté t,u tu Tranche dhistoire : h t,u : la partie de h dans lintervalle [t,u Tranche dhistoire : h 0, h Satisfaction dun prédicat P par une tranche : h t,u P modèle u

24 26/03/ G. Berry, Collège de France Délai « électrique » UN et stabilité d d d d Délai UN : d + h h t t d h t, u b et t d u h t d, u b Une histoire h est stable à b après un délai d si h d, b Sinon, h est dite instable ou oscillante

25 26/03/ G. Berry, Collège de France Circuits UN-constructifs Définition : un circuit est UN-constructif pour des dentrées stables et un jeu de délais si toutes ses sorties se stabilisent vers les mêmes valeurs dans toute exécution Définition : un circuit est uniformément UN-constructif pour des entrées stables sil est UN-constructif pour tout jeu de délais. Définition : un circuit est uniformément UN-constructif sil est uniformément UN-constructif pour toutes entrées stables

26 26/03/ G. Berry, Collège de France Les prédicats UN et le modèle t emporel h t,u R : si t,u. h R i.e., lhistoire h reste dans la région R entre t et u : R d R B n : région prédicat booléen à n variables booléennes ex. : x y y z ou encore Ø (vide, faux) (n.b. : symboles utilisés pour les prédicats) h t,u x y dans h, x est stable à 1 et y stable à 0 h t,u x y entre t et u h t,u x dans h, x est stable à 1 entre t et u h t,u x dans h, x est stable à 0 entre t et u

27 26/03/ G. Berry, Collège de France Conjonction, disjonction et délai h t,u ssi h t,u et h t,u h t,u ssi h t,u ou h t,u h t,u d ssi t d u et h t d,u est constamment satisfait après un délai d dans t,u tuu h t,u d x t d h t,u x 1 0 0

28 Objectif : représenter la porte not – x stable à 1 : h t,u x – opposé logique : h t,u x – mais lopposé logique est satisfait par tout signal instable – or nous voulons x stable à 0, i.e. x x, ce qui est différent! 26/03/ G. Berry, Collège de France La négation constructive h t,u ssi t,u t,u. h t,u nest jamais satisfaite par h sur t,u différent de nest pas satisfaite par h ! 1 0 0tu ni h t,u) x

29 Implication notée pour éviter la confusion avec doit utiliser les sous-intervalles, car x x Ø 26/03/ G. Berry, Collège de France Implication, équivalence h t,u si t,u t,u. h t,u h t,u

30 26/03/ G. Berry, Collège de France Résumé des règles de la logique UN h t,u si h t,u et h t,u h t,u si h t,u ou h t,u h t,u R si t,u. h R h t,u si t,u t,u. h t,u h t,u h t,u si t,u t,u. h t,u h t,u si t,u t,u. h t,u h t,u h t,u d si t d u et h t d,u Notation : ssi h,t,u. h t,u h t,u

31 26/03/ G. Berry, Collège de France Propriétés de la logique UN x stable dans h t,u h t,u x x La logique exprime bien la stabilité : noté x Le tiers exclu est faux en général ex. : h[t,u x x si h instable pour x dans [t,u La disjonction est intuitionniste : elle choisit son camp h t,u h t,u globalement ou h t,u globalement

32 1.Pourquoi les circuits cycliques 2.Les trois sortes de cycles 3.La logique temporelle UN 4.Codage des circuits dans UN 5.Déductions et simulations 6.Les théorèmes 7.Débarrassons-nous du temps ! 26/03/ G. Berry, Collège de France

33 Principes : coder les circuits par des formules – coder les valeurs dune entrée par 0 x pour 1 et 0 x pour 0 – coder les portes directement par les opérateurs booléens – coder les délais par des « affectations à retard » : 26/03/ G. Berry, Collège de France Codage des circuits Exemple : z x y s1s1 d e s2s2 z x y y s 1 s 2 s 1 d y s 2 e y s 1 d s 1 s 2 s 2 e s 1 s 2 : forme normale des délais stabiliser les délais stabilise tous les fils ! y d x défini par x d y y x ou équivalent x d y) x d y

34 26/03/201434G. Berry, Collège de France circuit C avec x 1 : (C,x C 0 x circuit C avec x 0 : C,x C 0 x cas général : circuit C avec valeurs dentrées I : C, I d2 d1 C s 1 d1 x s 2 d2 x s 1 s 2

35 26/03/201435G. Berry, Collège de France Théorème 1: bonne représentation des circuits une histoire h est UN-correcte pour C et les entrées I ssi h C, I Corollaire : caractérisation UN de la constructivité Un circuit C est constructif pour les délais donnés et une entrée I ssi il existe une unique valeur S des variables détat et un délai d tels que C, I d S

36 1.Pourquoi les circuits cycliques 2.Les trois sortes de cycles 3.La logique temporelle UN 4.Codage des circuits dans UN 5.Déductions et simulations 6.Les théorèmes 7.Débarrassons-nous du temps ! 26/03/ G. Berry, Collège de France

37 26/03/ G. Berry, Collège de France Formules du calcul déductif : vs. Région temporisée : d R Région temporisée : k K k pour K fini ou infini k K k ? C, I modèle : C, I Séquents syntaxiques s S s d e) x I 1 0 x y I 0 0 y clauses de Horn

38 26/03/ G. Berry, Collège de France Calculs déductions (Curry Howard) 1. C, I d R ssi il existe une séquence d0 R 0, d1 R 1,..., dn R n d R telle que, pour tout i, di est dans (i.e., une entrée) ou dérivable des dj, j i par une règle de déduction 2. C, I k K k ssi il existe un k K tel que C, I k

39 26/03/ G. Berry, Collège de France Les règles de déduction true d 1 bool d R d e R S e S d e S d R R e S chain d S e T max d,e ST join rassemble les entrées dune porte affaiblissement + règles booléennes pour les régions (valables car appliquées à des signaux stables) + opérations arithmétiques sur les délais pour C, I fixé, C, I... implicite partout chaîne les transitions y e x x e y) x e y

40 26/03/201440G. Berry, Collège de France d2 d1 max(d1,d2) s 1 s 2 cas x 0 i.e. 0 x C s 1 d1 x s 2 d2 x s 1 s 2 0 x d1 s 1 chain 0 x s 1 s 2 bool d2 s 2 chain x 0 région s 1 s 2 atteinte en temps max(d1,d2) join

41 26/03/201441G. Berry, Collège de France cas x 1 i.e. 0 x 0 x chain d1 x s 1 s 2 bool d1 d2 s 2 chain join d1 s 1 0 x chain d1 s 1 max(d1, d1 d2) s 1 s 2 d2 d1 C s 1 d1 x s 2 d2 x s 1 s 2 x 1 région s 1 s 2 atteinte en temps d1 d2

42 1.Pourquoi les circuits cycliques 2.Les trois sortes de cycles 3.La logique temporelle UN 4.Codage des circuits dans UN 5.Déductions et simulations 6.Les théorèmes 7.Débarrassons-nous du temps ! 26/03/ G. Berry, Collège de France

43 Théorème 2 : équivalence de et pour les circuits 26/03/ G. Berry, Collège de France Les théorèmes centraux C, I,. C, I C, I Théorème 3 : Intuitionnisme de C, I,. C, I. C, I Une disjonction, même infinie, ne peut être validée que par un de sens membres (résulte immédiatement du théorème 2 et de la définition de C, I )

44 26/03/ G. Berry, Collège de France Corollaire : déterminisme de la stabilisation Soit s un délai de C et I un vecteur dentrées. Alors les histoires h de s dans C, I ont deux comportements possibles : 1.tous les h se stabilisent à la même valeur 2.il existe au moins une histoire oscillante un circuit est constructif ssi ses sorties ne peuvent pas osciller Preuve : soit 1 s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s... Preuve ::alors (infini) dit que s se stabilise un jour cas 1 : C, I. Alors C, I k pour un k par thm.3 (intuitionnisme), par exemple k m s. Donc h. h C, I h m s, tout h devient stable à 1 cas 2 : C, I. Alors h. h C, I h est impossible, donc h. h C, I h, et cet h oscille pour s Le résultat central

45 1.Pourquoi les circuits cycliques 2.Les trois sortes de cycles 3.La logique temporelle UN 4.Codage des circuits dans UN 5.Déductions et simulations 6.Les théorèmes 7.Débarrassons-nous du temps ! 26/03/ G. Berry, Collège de France

46 26/03/ G. Berry, Collège de France Logique Booléenne constructive e 1 e e 1 e 1 e e 1e e 0 e 0 e 1 e 0 Circuit C, vecteur dentrées : I entrées {0,1} Formules : I e b, abrégées en e b si I constant X : e C e b X b e 0 e e 0 e 0 e e 0e e 1 e 1 e 0 e 1 I I (I) I entrée

47 26/03/ G. Berry, Collège de France Exemple de transformation de preuves max(d1,d2) s 1 s 2 cas x 0 i.e. 0 x C s 1 d1 x s 2 d2 x s 1 s 2 0 x d1 s 1 chain 0 x s 1 s 2 bool d2 s 2 chain join x 0 s 1 1 I (x) 0 x 0 x s 1 s 2 1 s 1 x C s 2 x s 1 s s 2 1 UN-logic Constructive Boolean Logic s 1 1 s 2 1

48 Pour des délais fixés, la UN-prouvabilité vs. est une CNS pour la UN-stabilisation vs. 26/03/ G. Berry, Collège de France On arrive au bout ! Mais toute preuve avec délais peut être transcrite en preuve Booléenne constructive sans délais, et réciproquement ! Autrement dit : la prouvabilité en logique booléenne constructive sans délais caractérise exactement la UN-constructivité uniforme

49 Etude complète de la stabilisation des circuits cycliques dans le modèle de délais UN, en reliant modèle et déduction syntaxique, et en ignorant transitoires, oscillations, métastabilité etc. (quon peut aussi étudier) 26/03/ G. Berry, Collège de France Conclusion stabilisation électrique prouvabilité constructive booléenne (avec délais) des sorties (sans délais) A suivre au prochain cours : – constructivité pour toutes entrées – constructivité des circuits séquentiels (avec registres) – algorithmes efficaces de calcul de la constructivité

50 26/03/ G. Berry, Collège de France Références Constructive Boolean Circuits and the Exactness of Timed Ternary Simulation M. Mendler, T. Shiple et G. Berry. Formal Methods in System Design, Vol.40, No.3, pp , Springer (2012). Constructive Analysis of Cyclic Circuits T. Shiple, G. Berry et H. Touati. Proc. Int. Design and Testing Conference IDTC'96, Paris, France (1996). Asynchronous Circuits J. Brzozowski et C-J. Seger. Springer-Verlag (1995).


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