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Opérateurs morphologiques Quelques outils de base.

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1 Opérateurs morphologiques Quelques outils de base

2 Transformées en tout-ou-rien Application : Recherche de configurations Les transformées en tout-ou-rien (Hit-or-Miss Transform) unifient et généralisent érosions et dilatations.

3 Amincisseur et épaississeur Lamincissement de X par lélément structurant (H,M) est défini par : Lamincissement est lopération anti-extensive qui supprime de X les points sélectionnés par la transformée Tout-ou-rien. Les éléments structurant appropriés sont ceux pour lesquels lorigine appartient à H. Lépaississement rajoute à X les points sélectionnés par la transformée en Tout-ou- rien et est une extensive. Les éléments structurants appropriés sont ceux pour lesquels lorigine appartient à M. Et lépaississement par : On a la propriété :

4 Squelettes : motivations Lobjectif de la squelettisation est de représenter un ensemble avec un minimum dinformation, sous une forme qui soit à la fois simple à extraire et commode à manipuler. Remarque : Pour les squelettes, on se limitera dans le cadre de ce cours au cas des ensembles bidimensionnels (images binaires 2D), bien que certaines notions sappliquent également aux dimensions supérieures.

5 Squelettes : propriétés recherchées (1) Préservation de la géométrie Le squelette doit rendre compte des propriétés géométriques de la forme : ramifications, parties allongées... Epaisseur nulle Le squelette doit être constitué de courbes sans épaisseur. Préservation de la topologie Le squelette doit conserver les relations de connexité : même nombre de composantes connexes, même nombre de trous par composante connexe.

6 Squelettes : propriétés recherchées (2) Invariance aux transformations affines Le squelette doit commuter avec la translation, la rotation et lhomothétie Réversibilité Le squelette doit permettre de retrouver la forme originale Continuité Une petite modification de la forme originale doit induire une petite modification du squelette

7 Squelette morphologique Le squelette morphologique est fondée sur la notion daxe médian (Blum 67). Il utilise la notion de boule maximale : X B Une boule B est dite maximale dans X si : Propriété : une boule maximale touche la frontière de X en au moins deux points distincts Le squelette morphologique (euclidien) est la réunion des centres de boules (euclidiennes) maximales :

8 Propriétés du squelette morphologique (1) De par sa définition, le squelette morphologique euclidien respecte la géométrie de la forme originale, et il est invariant par homothétie. Il possède de plus les propriétés suivantes : Il est sans épaisseur (dintérieur vide). Si X est ouvert, alors X et S(X) ont la même topologie. Exemple de 2 cercles tangents formant X qui est alors un fermé. Dans ce cas, la tangence est perdue ! X S(X) Il est anti-extensif et idempotent :

9 Propriétés du squelette morphologique (2) Réversibilité : La donnée de la transformée en distance euclidienne de X sur S(X) permet de reconstruire exactement X :

10 Propriétés du squelette morphologique (3) Non-continuité : Le squelette morphologique euclidien nest pas une transformation continue : OK PB

11 Squelette morphologique : passage au discret PROPRIÉTÉ Un point x est centre dune boule maximale de rayon r dans X si et seulement si il appartient à lérodé de X par une boule de taille r, mais pas à louvert de cet érodé par la boule élémentaire : Dans le cas discret, les boules maximales sont les boules dune distance discrète donnée Exemples : voisinage élémentaire de lorigine boule de rayon 3voisinage élémentaire de lorigine boule de rayon 3 Distance d 4 Distance d 8

12 Squelette morphologique : passage au discret Lantuéjoul 78 Par conséquent, le squelette morphologique est égal à lunion des résidus douverture des érodés successifs de la forme originale : Formule dinversion du squelette morphologique :

13 Squelette morphologique : passage au discret La formule de Lantuéjoul fournit un moyen explicite de calculer le squelette morphologique :

14 Squelette morphologique : passage au discret lensemble des résidus douverture coïncide avec lensemble des maxima locaux de la transformée en distance, le squelette morphologique discret est égal aux maxima locaux de la transformée en distance : ! Contrairement au cas continu, le squelette morphologique ne préserve pas la topologie de la forme originale : Les algorithmes de squelettisation connexe traitent donc le problème de préservation de la topologie directement dans le cadre discret.

15 Point de vue algorithmique La squelettisation séquentielle par file dattente est un algorithme damincissement très efficace, qui fonctionne par une phase dinitialisation et une phase de parcours, soit 1 parcours entier de limage, et 1 parcours entier de lensemble des pixels noirs : Squelettisation par file dattente


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