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1 Chapitre 3bis Applications linéaires et Matrices ALGEBRE LINEAIRE.

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1 1 Chapitre 3bis Applications linéaires et Matrices ALGEBRE LINEAIRE

2 2 A.L. et Base Dans le terme général, i correspond à un vecteur de la base de F et j à un vecteur de la base de E.

3 3 Matrice dune A.L. Matrice de lapplication linéaire E F relativement aux bases B E et B F

4 4 Exemple

5 5 Opérations

6 6 Théorème Une application linéaire f est bijective si et seulement si sa matrice associée relativement à deux bases quelconques est inversible. On rappelle quune matrice est inversible si et seulement si son déterminant est NON nul.

7 7 Un éleveur de bovins dispose en hiver de trois aliments (foin, ensilé, farine) qui contiennent chacun trois éléments nutritifs indispensables (A, B, C) selon le tableau suivant (unités arbitraires) : Foin Ensilé Farine A111 B110 C011 Sachant que chaque animal doit quotidiennement disposer de 6 unités de A, 3 unités de B et 5 unités de C, on peut alors chercher les doses x de foins, y d'ensilé et z de farine que doit lui fournir l'éleveur. Pour cela, il faut résoudre le système suivant :

8 8 Recherche des solutions (S) admet une solution unique si et seulement si A est inversible cest-à-dire det(A) 0 : Sinon (S) admet soit 0 solution, soit une infinité de solutions.

9 9 Résolution pratique Par combinaison de lignes et de colonnes Par inversion de matrice : voir cours Par la méthode de Cramer

10 10 La méthode de Cramer On appelle système de Cramer un système de n équations à n inconnues dont la matrice est inversible (une solution unique), cest-à-dire telle que : est appelé déterminant du système. i est le déterminant issu de en remplaçant la i- ième colonne par B.

11 11 Exemple

12 12 Changement de base La matrice dune application linéaire f est toujours construite relativement à un choix de bases dans E et dans F. Comment relier deux matrices qui représentent la même application linéaire lorsque lon change de bases pour E et F ? P est une matrice carrée dordre égal à la dimension de E. Elle est toujours inversible.

13 13 Si f est un endomorphisme de E, f : E E, alors : On dit que les matrices et sont semblables.

14 14 Exemple


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