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Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi1 Déplacements & antidéplacements.

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2 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi1 Déplacements & antidéplacements

3 2 I. Classification des isométries

4 3 1) Activité Dans le plan orienté, on considère trois points A, B et C dimages respectives A, B et C par une isométrie f. a) Exprimer cos(AB, AC) en fonction de AB, AC et AB.AC b) Exprimer cos(AB,AC) en fonction de AB, AC et AB.AC c) En déduire légalité : cos(AB, AC) = cos(AB,AC) Que peut on conclure pour (AB, AC) et (AB,AC) ?

5 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi4 2) Définition Soit f une isométrie du plan. f est un déplacement si et seulement si elle conserve les mesures des angles orientés. f est un antidéplacement si et seulement si elle transforme les mesures des angles orientés en leurs opposées

6 5 3) Application a) Étant donnés quatre points A, B, C et D deux à deux distincts dimages respectives A, B, C et D par une isométrie f. Comparer (AB, CD) et (AB, CD) dans chacun des cas suivants : * f = S * f = R (I, ) * f =t u oS b) Compléter le tableau suivant :

7 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi6 fDéplacementAntidéplacement Translation Rotation Symétrie orthogonale Symétrie glissante

8 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi7 Isométrie Déplacement La composée dun nombre pair de symétries orthogonales Se ramène à la composée de deux symétries orthogonales Transforme tout repère orthonormé direct en un repère orthonormé direct Conserve les mesures des angles orientés Est une translation ou une rotation Antidéplacement La composée dun nombre impair de symétries orthogonales Se ramène à la composée de trois symétries orthogonales Transforme tout repère orthonormé direct en un repère orthonormé indirect Transforme les mesures des angles orientés en leurs opposées Est une symétrie orthogonale ou une symétrie glissante

9 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi8 II. A ngle dun déplacement

10 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi9 1) Activité Soient A et B deux points distincts dimages respectives A et B par un déplacement f. On pose (AB, A B ) [2π] et on se propose de démontrer que ne dépend que de f non pas du choix de A et B. Soient C et D deux points distincts d images respectives C et D par f. Établir l égalité : (CD, C D ) (AB, A B ) [2π] Conclure.

11 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi10 Commentaire Langle (AB,AB) est appelé angle du déplacement f. Toute mesure de (AB,A B ) est dite mesure de f.

12 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi11 2) Application Préciser langle du déplacement f dans chacun des cas suivants : * f =t u * f = R (I, ) * f = S I * f = id P

13 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi12 3) Théorème La composée de deux déplacements et un déplacement dangle la somme des angles. La réciproque dun déplacement dangle est un déplacement d angle ( - ) Justifier les résultats précédents

14 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi13 III. Décomposition dun déplacement

15 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi14 1) T ranslation

16 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi15 Activité N°1 On considère deux droites parallèles et et un point M du plan. On pose M = S (M) et M = S (M ). a) Préciser S oS (M) b) On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [MM ] et [M M ]. Exprimer MM en fonction de IJ. c) Montrer que le vecteur 2IJ ne dépend pas du choix du point M. Conclure.

17 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi16 Retenons : Si // alors S oS = t 2IJ où I est un point quelconque de et J est son projeté orthogonale sur.

18 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi17 Activité N°2 Étant donné un vecteur u, en sinspirant du résultat précédent déterminer une décomposition de la translation de vecteur u en deux symétrie orthogonales. Cette décomposition est elle unique ?

19 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi18 Retenons : Toute translation se décompose, dune infinité de manières, en deux symétries orthogonales S oS où est une droite arbitraire vérifiant: u dir( ) et =t ( )

20 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi19 2) Rotation

21 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi20 Activité N°1 On considère deux droites (Ix) et (Iy) sécantes en un point I et un point M du plan. On pose M = S (Ix) (M) et M = S (Iy) (M) a) Établir légalité: IM = IM b)Exprimer (IM, IM) en fonction de (Ix, Iy) c) Conclure.

22 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi21 Retenons : S (Iy) oS (Ix) = R ( I, 2(Ix,Iy))

23 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi22 Activité N°2 Étant donnés un point I et un réel, en s inspirant du résultat précédent déterminer une décomposition de la rotation de centre I et d angle en deux symétries orthogonales. Cette décomposition est elle unique ?

24 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi23 Retenons : Toute rotation R (I, ) se décompose, d une infinité de manières, sous la forme R (I, ) = S (Iy) oS (Ix) avec ( Ix, Iy ) ½ [ ]

25 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi24 Exercice 1) Déterminer la forme réduite de S (JL) oS (AB), S (AC) oS (AB), S (JK) oS (AD) S (JL) oS (AB) oS (AD) et S (BD) oS (AB) 2) Décomposer en deux symétries orthogonales : R (A, /2),, S O

26 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi25 3) Classification des déplacements

27 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi26 Soit f un déplacement ; et deux droites tel que f = S oS. Le tableau suivant détermine la nature, l angle et l ensemble des points invariants par f suivant la position relative de et.

28 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi27 Position relative de et Nature de fAngle de f Ensemble des points invariants par f = id P 2kπLe plan P // et Translation de vecteur non nul 2kπ et = {I} Symétrie centrale de centre I π + 2kπ{I} = {I} (u, u ) [ ] Rotation de centre I et dangle 2 {I}

29 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi28 IV. Détermination dune isométrie

30 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi29 Activité Soient A, B, A et B quatre points du plan vérifiant: AB = AB et AB 0. 1) On désigne par une mesure de l angle (AB, A B ) et par R la rotation de centre A et d angle. a) On pose C = R(B). Montrer que ACB A est un parallélogramme. b) En déduire f(A) et f(B) où f = t AA oR. c) On suppose qu il existe un autre déplacement f tel que f (A) = A et f (B) = B et on pose = f of – 1 Déterminer (A) et (B). En déduire que f = f.

31 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi30 2) On pose g = S (AB) of a) Quelle est la nature de g ? b) Déterminer g(A) et g(B). c) Montrer que g est lunique antidéplacement qui envoie A en A et B en B.

32 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi31 Théorème Si A, B, A et B sont quatre points du plan vérifiant : AB = AB & AB 0 alors I l existe un unique déplacement f vérifiant: f(A) = A et f(B) = B. I l existe un unique antidéplacement g vérifiant : g(A) = A et g(B) = B.

33 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi32 N.B : Le théorème précédent prouve les assertions suivantes : U n déplacement est parfaitement déterminé par son action sur deux points distincts. U n antidéplacement est parfaitement déterminé par son action sur deux points distincts.

34 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi33 Exercice N°1 On considère les points A, B, A, B Vérifiant: AB = AB et AB 0. Soit M un point du plan. a) Construire le point M image du point M par le déplacement f qui transforme A en A et B en B. b) Construire le point M image du point M par lantidéplacement g qui transforme A en A et B en B.

35 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi34 V. Composition des isométries

36 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi35 1) Translations

37 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi36 On rappelle que : t u ot v = t v ot u = t u+v

38 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi37 2) R otations de même centre

39 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi38 On rappelle que : R (I, ) oR (I, ) = R (I, + )

40 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi39 Déplacements

41 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi40 Déplacements

42 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi41 Déplacements

43 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi42 Déplacements

44 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi43 Déplacements

45 Cours présenté par le professeur: Chouihi Lotfi44 Déplacements


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