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1 ELECTROMAGNETISME B - MAGNETOSTATIQUE Ne pas confondre avec.

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1 1 ELECTROMAGNETISME B - MAGNETOSTATIQUE Ne pas confondre avec

2 2 B-I Éléments de courant B-I.1 Circuits électriques élémentaires Nous ne traiterons pas ici du transport du courant électrique (Cours de L2). Nous sommes pour linstant concernés par des courants électriques constants dans le temps, on dit aussi continus, circulant dans des fils métalliques de sections très petites par rapport à leurs longueurs. On les appelle des circuits filiformes. De tels circuits sont bien pratiques car ils représentent des domaines mathématiques à une dimension. Il est possible de se localiser le long de la boucle C grâce à un seul paramètre et également dappuyer sur ces circuits une surface S comme une bulle de savon sur un anneau. Seuls les circuits fermés sur eux-mêmes ont un sens physique. Les courants forment des boucles fermées. Afin de traiter des circuits de formes quelconques il est commode de décomposer un circuit filiforme en éléments vectoriels infinitésimaux orientés dans le sens du courant. Un tel élément, qui ne peut être isolé de lensemble du circuit que par la pensée, placé en un point M du circuit, est le pendant élémentaire en magnétostatique de la charge ponctuelle de lélectrostatique. M C I Représentation dun circuit filiforme M C I M M C I S Électrostatique Magnétostatique

3 3 Justification de larticulation du cours En Électrostatique, après la présentation des propriétés des charges électriques, nous avons directement exposé la loi de force entre ces charges : la loi de Coulomb. La difficulté mathématique de la loi de force existant entre deux circuits nous incite à présenter les différentes grandeurs physiques de la Magnétostatique dans un ordre quelque peu inverse en commençant par le champ magnétique et seulement après la loi de force entre les circuits. Remarque sur les dessins des circuits Sauf cas très spécifique, supraconductivité, un générateur électrique est nécessaire au maintien dun courant constant dans un circuit. Pour des raisons de simplification nous sacrifions à la coutume de ne pas représenter ces générateurs. Ils seront représentés lorsquil faudra tenir compte de lénergie quils vont échanger avec le circuit. Remarque sur la mathématisation du cours Dans ce cours il est fait appel à de nombreux résultats mathématiques non encore connus et prouvés à des étudiants du premier cycle universitaire. Ils sont indispensables pour établir certaines propriétés des grandeurs physiques concernées par ce cours. Ils doivent être acceptés ici comme des ouvre-boîtes donnant accès à des lois physiques présentant le plus souvent un caractère fondamental.

4 4 B-II Champ magnétique B-II.1 Définition Par définition le champ magnétique créé par le circuit filiforme ( C, I) au point M de lespace est donné par Cest une grandeur bien décrite par un vecteur, bien que ce « vecteur » ait des propriétés spéciales. M I Circuit filiforme C M Propriétés du champ magnétique La formule ci-dessus est la formule de Biot et Savart Elle nest quun moyen commode de calculer des champs plus compliqués par intégration déléments différentiels. Le champ magnétique a des propriétés dun vecteur dit axial. Pour un vecteur classique linversion des axes du repère change Par contre pour un vecteur tel que linversion des axes du repère ne change pas le vecteur. Un tel vecteur est dit axial. Le champ magnétique est de ce type. Lunité du champ magnétique est le Tesla. (sous-unité le Gauss = T) Biot Savart

5 5 B-II.2 Flux du champ magnétique Soit un circuit C parcouru par un courant I créant un champ magnétique dont on cherche à calculer le flux à travers une surface S, ici fermée. Par définition Lunité de flux est le Weber. Montrons que le flux de à travers la surface fermée est nul. Cest une propriété fondamentale du champ magnétique. M I Circuit filiforme C M2M2 M Transformons lexpression du flux à laide de la formule dOstrogradski Nous avons dautre part Calculons la divergence de au point M Les dérivées de la divergence portent sur lextrémité M du vecteur et ne concerne pas la variable dintégration M. Nous pouvons ainsi écrire (sous réserve de la convergence uniforme de lintégrale)

6 6 Utilisons la formule ici Comme nest pas concerné par ce qui se passe en M et que Nous obtenons la relation locale, propriété fondamentale du champ magnétique, propriété quil ne faudra pas retoucher même dans les champs variables dans le temps Cette propriété locale se traduit par une propriété intégrée sur un domaine fini de lespace: La flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul. On dit aussi que le champ magnétique est à flux conservatif. Remarque: Nous avions trouvé, avec le théorème de Gauss, que le flux du champ électrique à travers une surface fermée, nétait pas nécessairement nul mais dépendait de lexistence de charges électriques à lintérieur du volume délimité par S. Les propriétés de et de ne sont donc pas équivalentes. On traduit également cette différence par la non existence de pôles magnétiques séparables, équivalence physique de la nécessité de courants électriques fermés sur eux-mêmes.

7 7 B-II.3 Circulation du champ magnétique – Théorème dAmpère M1M1 Circuit filiforme 1 C1C1 M2M2 Considérons au point M 2 le champ magnétique créé par le circuit C parcouru par le courant I. Considérons la circulation élémentaire de le long de Donnée par Lintégrale porte sur la variable M 1 non concernée par qui est une constante pour lintégration. Il est alors possible décrire en vertu des propriétés du produit mixte. La quantité vectorielle représente un élément de surface. La circulation élémentaire peut sécrire Nous connaissons la quantité qui représente lélément dangle solide sous lequel de M 2 on voit la surface. I C1C1 I

8 8 Lors de lintégration le long de C 1 Lintégrale donne langle solide sous lequel de M 2 est vu le bandeau de surface obtenu en déplaçant C 1 de. Si on appelle langle solide sous lequel de M 2 est vue la surface du circuit C 1 dans la position initiale et langle solide sous lequel est vue la même surface déplacée de alors est la variation de langle solide sous lequel est vue la surface du circuit C 1 lorsque ce dernier se déplace de. Or déplacer le circuit de revient à le garder fixe mais à déplacer le point dobservation M 2 de. Il vient alors le résultat important suivant : la circulation élémentaire du vecteur sur est égale à étant la variation dangle solide sous lequel est vue la surface du circuit C 1 créant, lors du déplacement. I C1C1 M2M2 M1M1 C1C1 M2M2 M1M1 I Circuit filiforme 1

9 9 La circulation élémentaire de nest quune étape vers le théorème dAmpère. Considérons maintenant la circulation de le long dun parcours fermé C 2. Deux cas sont à envisager La courbe C 2 nintercepte pas toute surface S appuyée, comme une bulle de savon, sur C 1. Lors de la circulation de sur C 2 langle solide varie continûment de la valeur quil a en M 2 à cette valeur retrouvée après un tour complet sur C 2. Donc la circulation de sur la courbe C 2 qui nintercepte pas I est nulle. La courbe C 2 intercepte toute surface S appuyée sur C 1. M2M2 C2C2 Parcours fermé M2M2 M1M1 I C1C1 C1C1 Circuit filiforme Surface appuyée sur C 1 S Lors de la circulation de sur C 2 langle solide Ω varie continûment jusquau point P au-dessus de la surface S, juste avant de la traverser. En P langle solide est égal à Ω(P). En P, après avoir traversé la surface, langle devient Ω(P). Ces deux angles sont reliés. C2C2 Parcours fermé M2M2 M1M1 I C1C1 C1C1 Circuit filiforme Surface appuyée sur C 1 S M2M2 P P

10 10 En premier lieu il nous faut définir lorientation dune surface appuyée sur un circuit parcouru par un courant. Une telle surface est orientée par convention. I Face Nord Face Sud I N S I Il est alors possible dexpliciter la relation entre Ω(P) et Ω(P). Un dessin en coupe est plus explicite. Compte tenu de lorientation de la surface, en P est vue dans le sens inverse et langle solide Ω(P) est négatif. A linverse langle Ω(P) est positif. Langle négatif Ω(P) peut être remplacé par langle 4π - Ω(P), son complémentaire à tout lespace. Le passage de P à P se traduit par une variation dangle solide, lorsque les deux points sont confondus avec la surface Face Nord Face Sud P P Ω(P) Dessin en coupe

11 11 Il en résulte pour la circulation de sur C 2 qui traverse S portée par C 1 Ceci constitue le théorème dAmpère : La circulation du champ magnétique créé par un ensemble de courants le long dune courbe fermée est égale à, étant la somme des courants encerclés lors de cette circulation. Les courants qui ne sont pas encerclés ne participent pas à cette sommation. Cette sommation est algébrique, il y a lieu de ternir compte du sens du courant dans chaque circuit encerclé, la surface étant orientée en fonction de ce courant.

12 12 Symétries où le théorème dAmpère est applicable Fil infiniment long I C I C Solénoïde infiniment long Plan infiniment long I C I C Tore régulier Lapplication du théorème dAmpère est réservée à quelques cas particuliers à haute symétrie. Il conviendra dexaminer attentivement si le théorème est applicable au problème posé.

13 13 B-II.5 Lignes de champ – Tubes de flux Lignes de champ Comme pour le champ électrique les lignes du champ magnétique sont localement tangentes au champ. Elles définissent ce que lon appelle le spectre. Comme principale propriété elles constituent des boucles fermées. Courant

14 14 Fluide générateur en mouvement Simulation numérique Champ magnétique terrestre Trouve son origine dans le mouvement de la matière qui entoure le cœur central Pôle Nord géographique Pôle Sud magnétique Boussole Pôle Nord magnétique Pôle Sud géographique

15 15 Tubes de flux Ensemble de lignes de champ formant une sorte de tube à section généralement variable le long duquel le flux est constant

16 16 B-II.6 Calcul des champs magnétiques Les cas de circuit où le champ magnétique peut se calculer analytiquement jusquau bout sont très limités. Nous donnons ici quelques exemples classiques et montrons comment les calculs deviennent moins classiques hors de ces quelques cas décole. N°1- Fil rectiligne très grand I O z M M a dz θ Un fil rectiligne très grand, on dit aussi indéfini pour ne pas dire infini, de section négligeable, est parcouru par un courant I. Il est nécessaire que le fil se referme sur lui-même par une portion de circuit située quelque part à très grande distance et dont on peut supposer que leffet au point M est négligeable. On cherche le champ magnétique à la distance a = OM du fil. On applique directement la définition à partir de la formule de Biot et Savart Nous avons

17 17 Application du théorème dAmpère Par symétrie il est facile de montrer que est tangent aux cercles centrés sur le fil, de module ne dépendant que de a. Soit directement I a O M C Courant entrant

18 18 Une formule très utile est celle dun fil rectiligne fini. Cette formule sera utilisée dans des cadres carrés comme représentant le champ de chaque côté. Le fil est vu à la distance a sous les angles et qui ont une mesure algébrique. Sur la figure et Le calcul mené pour le fil très long reste valable jusquà Ce qui donne N°2- Fil rectiligne fini I A B O a M

19 19 N°3- Spire circulaire sur son axe Une spire circulaire filiforme de rayon R de centre O est parcourue par un courant I. On cherche le champ magnétique en un point M de son axe tel que OM = x. On utilise la formule de Biot et Savart Nous avons r = Cte. Il vient directement Les deux intégrales des fonctions circulaires sont nulles Sous cette forme la variable r nest pas commode. On lui préfère les deux expressions suivantes R I M M O x Remarques Le champ est porté par laxe Le champ au centre vaut

20 20 Champ magnétique dans le plan dune spire circulaire On cherche à estimer le champ en un point M, à la distance x, dans le plan de la spire circulaire de rayon R, parcourue par le courant I. Ce champ est donné par lexpression Cette intégrale nadmet pas de solution analytique simple et fait appel à des fonctions calculables mais pas connues des étudiants de premier cycle. f(R,x) – f(R,0) R = 1 f(R,x) – f(R,0) R = 1 Deux enseignements sont à tirer de cet exemple: Même dans un système très simple les calculs ne le sont pas Au voisinage du circuit filiforme le champ diverge M O θ M dθ R x I C

21 21 N°4- Bobines de Helmholtz I I 2a R R O M α x R I I aa Deux bobines identiques de rayon R, parcourues par des courants dans le même sens de même axe situées à la distance 2a lune de lautre. En utilisant le résultat obtenu pour une spire circulaire le champ magnétique total au point M de laxe tel que OM = x est Le champ au centre est donné par Nous cherchons la relation entre R et a qui provoque les plus faibles variations du champ au voisinage du centre. La fonction B(x) étant paire son développement en série ne comprend que des termes polynomiaux pairs La dérivée dordre deux sannule pour R = 2a (faire le calcul)

22 22 N°4- Bobines de Helmholtz (suite) x Position de la bobine 1 Position de la bobine 2 a -a B(a) B(0) 99%B(0) Espace où B varie de 1% Cas où la distance 2a entre les bobines est égale à leur rayon R La fonction B(x) démarre donc du centre avec ses trois premières dérivées nulles, donc présente un profil très plat.

23 23 N°4- Bobines de Helmholtz (suite) x Position de la bobine 1 Position de la bobine 2 a -a B(a) B(0) 101%B(0) 99%B(0) Espace où B varie à ± 1% Cas où la distance 2a entre les bobines est égale à 10/9 du rayon R Si on accepte une fluctuation de ± de B(x) autour de sa valeur centrale il est encore possible daugmenter la zone de faible variation de B pour R voisin de 9/5 de a.

24 24 N°5- Solénoïde Soit un solénoïde de rayon R, longueur, de N spires jointives parcourues chacune par un courant i. On cherche à calculer le champ magnétique au point M à la distance x du centre O, et duquel les deux extrémités du solénoïde sont vues sous les angles et. On découpe le solénoïde en tranches de spires circulaires à la distance de O et dépaisseur. Une telle spire porte le courant. Elle crée au point M un champ O M θ2θ2 θ1θ1 P θ x χ dχ dθ i N spires R θ1θ1 θ2θ2 χ dχ Choisissons comme variable dintégration langle alors θ Soit après intégration porté par laxe

25 25 N°5- Solénoïde (suite)

26 26 Champ magnétique en z dans le plan médian qui coupe le solénoïde en deux y=1.01 R=1 BzBz a a y=2 BzBz y=0 a BzBz a y=0.99 BzBz y z a R = 1 O N°5- Solénoïde (suite) On remarque que le champ magnétique à lextérieur tend vers zéro lorsque le solénoïde devient très long. Dans le solénoïde le champ magnétique est quasiment constant BzBz y R = 1 a = 10R

27 27 N°5- Solénoïde (suite) Pour un solénoïde très long à spires jointives θ 1 0 et θ 2 π et le champ devient au voisinage du centre si n est le nombre de spires par unité de longueur Si on a remarqué que le champ était nul à lextérieur et constant à lintérieur, il est possible dappliquer le théorème dampère sur un rectangle abcd (voir figure) et de retrouver directement le résultat donné ci- dessus.

28 28 N°6- Tore

29 29 N°7- Sphère chargée en surface en rotation Une sphère de rayon R, chargée en surface par Q > 0, tourne à la vitesse angulaire ω = Cte autour dun de ses axes. On cherche à déterminer le champ magnétique en un point M de laxe à la distance OM = x du centre. Une tranche de sphère perpendiculaire à laxe définie par les angles θ et θ+d θ porte une charge avec la densité de charges par unité de surface et la surface élémentaire de révolution autour de laxe La spire de rayon ainsi définie porte un courant dI de part la rotation de cette charge dQ Le champ créé par cette spire au point M est Il est possible dexprimer Soit lintégrale suivante pour le champ O P M α R Q en surface θ dθ ω dI dQ

30 30 N°7- Sphère chargée en surface en rotation (suite) Après une intégration laborieuse mais du niveau dun étudiant de DEUG on trouve Pour x > R sur laxe Pour x < R sur laxe x B R Champ magnétique dune sphère chargée en surface en rotation

31 31 N°8- Sphère chargée en volume en rotation O M R Q en volume ω r dr La sphère de rayon r dépaisseur dr porte la charge Elle crée au point M tel que OM = x un champ donné par lexemple précédent Soit pour linduction totale à lextérieur de la sphère O M R Q en volume ω r dr x Pour un point M tel que OM = x à lintérieur, deux zones sont à considérer: 0 < r < x et x < r < R Pour la première zone 0 < r < x, le point M est considéré comme extérieur et la formule ci-dessus est applicable avec et soit Pour la deuxième zone x < r < R, le point M est à lintérieur de couches sphériques successives, on utilise

32 32 N°8- Sphère chargée en volume en rotation (suite) Avec et il vient Soit Le champ magnétique total à lintérieur sécrit Aussi pour 0 < r < R Pour x > R x B R Champ magnétique dune sphère chargée en volume en rotation


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