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Mathématiques SN La fonction LOGARITHMIQUE. Utilité du logarithme Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Sert à déterminer la valeur dun exposant.

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1 Mathématiques SN La fonction LOGARITHMIQUE

2 Utilité du logarithme Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Sert à déterminer la valeur dun exposant. Sert à déterminer la valeur dun exposant. Exemples : log 2 8 signifie « lexposant de la base 2 dont le résultat est 8 » lexposant, cest 3 ! 2 ? = 8 donc log 2 8 = 3 log 3 9 signifie « lexposant de la base 3 dont le résultat est 9 » lexposant, cest 2 ! 3 ? = 9 donc log 3 9 = 2

3 Utilité du logarithme Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple : Transformer les expressions exponentielles en expressions logarithmiques et vice-versa. a) 2 x = 32 Permet disoler « x » dans f(x) = c x. Permet disoler « x » dans f(x) = c x. x = log 2 32 b) 5 x = 125 x = log c) x = log x = 256 d) x = log x = 81

4 Définition et lois des LOG Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - On sait que 3 x = 27 x = log 3 27 c x = y x = log c y donc Par conséquent : log c 1 = 0 log c c = 1 (car c 0 = 1) (car c 1 = c) Ex.: log 4 1 = 0 car 4 0 = 1 Ex.: log 4 4 = 1 car 4 1 = 4 Lorsque la base « c » du logarithme est « 10 », on écrit log x au lieu de log 10 x. Lorsque la base « c » du logarithme est « e », on écrit ln x au lieu de log e x.

5 Exemples : a) e x = 20 x = log e 20 b) e x = 6 x = log e 6 c) x = ln 56 x = ln 20 x = ln 6 e x = 56 x = log e 56 d) x = ln 40 e x = 40 x = log e 40 e x = y x = log e y et log e y = ln y donc

6 On sait que : = 2 5 On peut aussi dire que : 48=32 Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : log 2 4 log 2 8 += log 2 32 = log 2 (4 8) += Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : 23 += 5 log c m + log c n = log c mn Donc : LOI # 1

7 LOI # 2 On sait que : = 2 3 On peut aussi dire que : 32 4 =8 Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : 52 –= 3 – = Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : log 2 32 log 2 4 –= log 2 8 = log 2 (32 / 4) log c m – log c n = log c (m / n ) Donc :

8 LOI # 3 On sait que : ( 2 2 ) 3 = 2 6 On peut aussi dire que : 4 3 = 64 Mettons en évidence la loi des exposants que nous avons utilisée : 23 = 6 x = Réécrivons cette loi des exposants en logarithmes : log 2 4 log 4 64 = log 2 64 log = log log = log ou n log c m = log c m n Donc :

9 LOI # 4 (Loi du changement de base) La définition dun LOGARITHME nous permet de calculer facilement, par exemple, que : log 2 8 = 3 Cependant, comment calculer précisément une situation comme celle-là : log 2 7 = ??? Pour le faire, il faut absolument changer la base « 2 » du logarithme par une base « 10 » ou « e » (constante de Néper). Ce sont les deux seules bases que les calculatrices utilisent. Pour effectuer un changement en base « 10 », on utilise la relation suivante : log c m = log m log c (où log m = log 10 m)

10 LOI # 4 (Loi du changement de base) Exemple #1 : log 2 8 = log 8 log 2 = ~ 0,9 ~ 0,3 =3 Exemple #2 : log 3 9 = log 9 log 3 = ~ 0,9542 ~ 0,477 =2 log c m = log m log c Exemple #3 : log 2 7 = log 7 log 2 = ~ 0,845 ~ 0,3 2,81 Exemple #4 : log 5 46 = log 46 log 5 = ~ 1,6628 ~ 0,7 2,38

11 LOIS DES LOG log c mn = log c m + log c n log c = log c m – log c n m n log c m n = n log c m log c m = log m log c LOIS DES EXPOSANTS c m c n = c m + n cmcmcmcm cncncncn = c m – n (c m ) n = c mn

12 LOIS DES LOG log c mn = log c m + log c n Ex.: log 4 2x = log log 4 x log c = log c m – log c n Ex.: log 4 = log 4 x – log 4 3 m n x3 log c m n = n log c m Ex.: log 4 x 2 = 2 log 4 x log c m = log m log c Ex.: log 4 8 = log 8 log 4 Note : log 3 x 2 log 3 2 x log 3 x 2 = log 3 (x x) log 3 2 x = log 3 x log 3 x car

13 Exemples : a) log 2 x 2 – log 2 x log 2 x 2 – log 2 x = log 2 x2x2x2x2 x = log 2 x c) log 6 2x 4 + log 6 3 log 6 (2x 4 3) log 6 2x 4 + log 6 3 = = log 6 6x 4 Réécrire les expressions à laide dun seul logarithme. b) log 5 (x + 2) + log 5 (2x) 3 – log 5 8x 2 log 5 [ (x + 2) (2x) 3 ] – log 5 8x 2 = log 5 [ 8x x 3 ] – log 5 8x 2 = log 5 8x x 3 8x 2 = log 5 8x x 3 8x 2 = log 5 (x 2 + 2x) 8x 2 = log 5 [ (x + 2) 8x 3 ] – log 5 8x 2

14 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = log c x (forme générale de BASE) f(x) = a log c b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) x = h (Équation de lasymptote) f(x) = log 2 x Exemple : f(x) = 3 log 2 6(x – 1) + 5 Exemple :

15 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) ½ f(x) = log 2 x (forme générale de BASE où c 1 ) 1 1 ¼-2 Asymptote x = 0

16 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) ½1 f(x) = log ½ x (forme générale de BASE où c ]0, 1[ ) 1 1 ¼2 Asymptote x = 0

17 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) ½1 f(x) = - log 2 x (forme où c 1 et a = -1) 1 1 ¼2 Asymptote x = 0

18 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) ½ f(x) = log 2 -x (forme où c 1 et b = -1) 1 1 -¼-2 Asymptote x = 0

19 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) f(x) = log 2 (x + 4) (forme c 1 et h = -4) 1 1 Asymptote x = - 4

20 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE Asymptote x = h f(x) = a log c b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) x = h (Équation de lasymptote) c 1 c ] 0,1 [ Dom f = ] k, + Ima f = Ima f =

21 Résolutions déquations Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = log (- 4x + 13). 0 = log (- 4x + 13) 10 0 = - 4x = - 4x 3 = x 1 1 Asymptote x = 13/4 Réponse : x { 3 } Il faut que - 4x + 13 > 0 donc que x < 13/4 1 = - 4x + 13

22 Exemple #2 : Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1. Réponse : x { 0,866 } 0 = 3 log (4x – 3) + 1 Il faut que 4x – 3 > 0 donc que x > 3/4 - = log (4x – 3) 10 - = 4x – 3 0,464 = 4x – 3 3,464 = 4x 0,866 = x

23 Exemple #3 : Résoudre 2 log 3 (2x + 10) = 6. Réponse : x { 8,5 } 2 log 3 (2x + 10) = 6 log 3 (2x + 10) = 3 2x + 10 = 3 3 2x + 10 = 27 2x = 17 x = 8,5 Il faut que 2x + 10 > 0 donc que x > - 5

24 Exemple #4 : Résoudre 2 ln (x + 4) 2 = 12. Réponse : x { 16,1 } 2 ln (x + 4) 2 = 12 4 ln (x + 4) = 12 ln (x + 4) = 3 x + 4 = e 3 x + 4 = 20,1 x = 16,1 Il faut que (x + 4) 2 > 0 donc que x > - 4 log e (x + 4) = 3

25 Exemple #5 : Résoudre log 3 (x + 36) – log 3 (x – 18) = 1. Réponse : x { 45 } log 3 (x + 36) – log 3 (x – 18) = 1 log 3 = 1 Il faut que x + 36 > 0 et que x – 18 > 0 donc que x > - 36 et que x > 18 x + 36 x – 18 = 3 1 x + 36 x – 18 x + 36 = 3 (x – 18) x + 36 = 3x – = 2x 45 = x

26 Résolutions déquations EXPONENTIELLES Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - 2 méthodes : 1- Exprimer les 2 membres de léquation avec la même base exponentielle 2- Utiliser les logarithmes Si a = b, Ex.: Si 3 = 3 Alors log 3 = log 3 Alors log 3 = log 3 PROPRIÉTÉ IMPORTANTE DES LOG alors log c a = log c b De plus, nous pouvons utiliser ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles.

27 Exemple : Réponse : x { -1,7 } 3 x = 2 x – 1 log 3 x = log 2 x – 1 x log 3 = (x – 1) log 2 x (0,477) = (x – 1) (0,3) 0,477x = 0,3x – 0,3 0,177x = – 0,3 x = – 1,7 Avec LOG Réponse : x { -1,7 } 3 x = 2 x – 1 ln 3 x = ln 2 x – 1 x ln 3 = (x – 1) ln 2 x (1,1) = (x – 1) (0,7) 1,1x = 0,7x – 0,7 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 Avec LN

28 Exemple #1 : Résoudre 4 2x – 3 = 5 x. Réponse : x { 3,58 } 4 2x – 3 = 5 x ln 4 2x – 3 = ln 5 x (2x – 3) ln 4 = x ln 5 (2x – 3) (1,386) = x (1,61) 2,772x – 4,158 = 1,61x 1,162x = 4,158 x = 3,58 OU 2x – 3 = log 4 5 x 2x – 3 = x log 4 5 2x – 3 = x 1,16 2x – 3 = 1,16x 0,84x = 3 x = 3,58

29 Exemple #2 : Résoudre 3 x + 2 = 4 5x. Réponse : x { 0,378 } 3 x + 2 = 4 5x log 3 x + 2 = log 4 5x (x + 2) log 3 = 5x log 4 (x + 2) (0,477) = 5x (0,6) 0,477x + 0,954 = 3x 0,954 = 2,523x 0,378 = x OU x + 2 = log 3 4 5x x + 2 = 5x log 3 4 x + 2 = 5x 1,26 x + 2 = 6,3x 2 = 5,3x 0,378 = x

30 Exemple #3 : Résoudre log 5 (x – 9) = log 5 (4x). Réponse : x { } log 5 (x – 9) = log 5 (4x) x – 9 = 4x – 9 = 3x – 3 = x Il faut que x – 9 > 0 et que 4x > 0 donc que x > 9 et que x > 0 À rejeter

31 Exemple #4 : Résoudre log 5 (x + 240) = log 5 x + 2. Réponse : x { 10 } log 5 (x + 240) = log 5 x + 2 x = 25x 240 = 24x 10 = x Il faut que x > 0 et que x > 0 donc que x > -240 et que x > 0 log 5 (x + 240) = log 5 x + log 5 25 log 5 (x + 240) = log 5 (x 25) log 5 (x + 240) = log 5 (25x)

32 Résolutions dinéquations Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple #1 : Résoudre log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) Asymptote x = 6 Asymptote x = - 4 log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9.

33 Exemple #1 : Résoudre log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9. log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9 log 2 (x + 4) + log 2 (x – 6) 9 – 5 log 2 [ (x + 4) (x – 6) ] 4 (x + 4) (x – 6) 2 4 x 2 – 2x – x 2 – 2x – 40 0 x 1 – 5,40 x 2 7,40 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 À rejeter Réponse : x [ 7,40, + x [ 7,40, +

34 Exemple #2 : (x + 3) log (1/2) (2x – 1) log 5 Réponse : x [ - 0,12, + x [ - 0,12, + Résoudre (1/2) x x – 1. log (1/2) x + 3 log 5 2x – 1. (x + 3) (- 0,3) (2x – 1) (0,7) - 0,3x – 0,9 1,4x – 0,7 - 0,3x – 0,9 1,4x – 0,7 - 0,2 1,7x - 0,12 x

35 Résolutions dune situation à laide des LOG Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. Sil y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de ? N(t) = 500 (2) t/ = 500 (2) t/5 200 = (2) t/5 = log t5 t = 38,2 Réponse : Après 38,2 heures. = 7,64 t5


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