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Examen partiel #2 Mercredi le 15 novembre de 13h30 à 15h20 Salles 2850 du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9,

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1 Examen partiel #2 Mercredi le 15 novembre de 13h30 à 15h20 Salles 2850 du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.3, 5.1, Notes de cours (guide d'études): sections 6 à Devoirs: 4 à 7.

2 Déterminants: –définition; –propriétés; –règle de Cramer; –calcul de linverse dune matrice; –aire et volume; –transformations linéaires. Rappel...

3 Aujourdhui Valeurs propres et vecteurs propres. –Définitions; –Propriétés; –Équations aux différences; –Équation caractéristique; –Matrices similaires; –Applications aux systèmes dynamiques.

4 10. Valeurs propres et vecteurs propres AvAv uvAuAu

5 Définition: Vecteur propre Un vecteur propre dune matrice A n n est un vecteur non nul x tel que Ax = x pour un scalaire quelconque.

6 Définition: Valeur propre Un scalaire est appelé une valeur propre de A sil existe une solution non triviale x du système Ax = x; un tel x est appelé vecteur propre correspondant à.

7 Matlab: eig x = eig(A): x est un vecteur colonne contenant les valeurs propres de A. [U V] = eig(A): U est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et V est une matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres de A.

8 Équation (A - I)x = 0 Lensemble de toutes les solutions est le noyau de la matrice (A - I). Cest donc un sous-espace de R n. On appelle ce sous-espace lespace propre correspondant à.

9 Valeurs propres dune matrice triangulaire Soit A une matrice triangulaire. Alors les valeurs propres de A sont les éléments de la diagonale principale de A.

10 Suite du théorème des matrices inversibles Soit A une matrice n n. Alors A est inversible si et seulement si Le nombre 0 nest pas une valeur propre de A.

11 Vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes Si v 1,...,v r sont des vecteurs propres correspondants à des valeurs propres distinctes 1,..., r dune matrice A n n, alors lensemble {v 1,...,v r } est linéairement indépendant.

12 Équations aux différences Équations représentant des systèmes dynamiques. Équation du premier ordre: x k+1 = A x k, k = 0,1,2,...

13 Léquation caractéristique Léquation caractéristique est une équation scalaire à une inconnue nous permettant de calculer les valeurs propres.

14 Propriétés des déterminants Soit A et B des matrices n n. a.A est réversible si et seulement si det A 0. b.det AB = (det A)(det B). c.det A T = det A.

15 Propriétés des déterminants (suite) d.Si A est une matrice triangulaire, alors det A est le produit des éléments de la diagonale principale de A.

16 Propriétés des déterminants (suite) e. - Une opération de remplacement dune ligne de A ne change pas le déterminant. - Un échange de deux ligne change le signe du déterminant. - La multiplication dune ligne par un scalaire multiplie le déterminant par le même scalaire.

17 Définition: équation caractéristique (A - I)x = 0 a une solution non triviale si et seulement si A - I est non inversible (théorème sur les matrices inversibles). A - I est non inversible si et seulement si det(A - I) = 0.

18 Définition: équation caractéristique (suite) Ceci nous amène donc à définir léquation caractéristique de A. det(A - I) = 0

19 Définition: matrice similaire Si A et B sont des matrices similaires, alors A est similaire à B sil existe une matrice réversible P telle que P -1 AP = B ou, de manière équivalente, A = PBP -1.

20 Matrice similaire (suite) Si on remplace P -1 par Q on a Q -1 BQ = A. B est donc similaire à A, et nous disons simplement que A et B sont similaires.

21 Théorème: Matrices similaires et valeurs propres Si A et B, des matrices n n, sont similaires, alors elles ont le même polynôme caractéristique et donc les mêmes valeurs propres (avec les mêmes multiplicités).

22 Prochain cours... Diagonalisation et transformations linéaires.


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