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Les séries trigonométriques de Joseph Fourier (1768-1830) Conception et Réalisation : Olivier Guédon, lycée Rempart, Marseille. Mars 2004.

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1 Les séries trigonométriques de Joseph Fourier ( ) Conception et Réalisation : Olivier Guédon, lycée Rempart, Marseille. Mars 2004

2 Comment, à partir de létude de la chaleur et de sa répartition dans un solide homogène, Fourier introduit les séries trigonométriques ?

3 Théorie analytique de la chaleur : plan général (1822) Chapitre 1 : Introduction Chapitre 2 : Équation du mouvement de la chaleur Chapitre 3 : Propagation de la chaleur dans un solide rectangulaire infini. Chapitre 4 : Équation du mouvement linéaire et varié de la chaleur dans une armille Chapitre 5 : Propagation de la chaleur dans une sphère solide Chapitre 6 : Mouvement de la chaleur dans un cylindre Chapitre 7 : Propagation de la chaleur dans un prisme rectangulaire Chapitre 8 : Mouvement de la chaleur dans un cube solide Chapitre 9 : Diffusion de la chaleur

4 Théorie analytique de la chaleur : le chapitre 3(1822) Exposition de la question Premier exemple de lusage des séries trigonométriques Remarques sur ces séries Solution générale Expression finie du résultat de la solution Développement dune fonction arbitraire en séries trigonométriques Application à la question actuelle.

5 Lénoncé du problème Les limites en y : -π /2 et + π/2 T=0° T=1° En régime permanent, quelle est la température en chacun des points de cette masse solide homogène ? x y Figure originale Figure dans le plan de coupe Plan de coupe

6 Devinette Quel type de solution conjecturez vous ? y x T

7 Equation et conditions aux limites Condition limite 1 : lim x (x,y) = 0 ( y) Condition limite 2 : ( x, -π/2 ) = 0 et ( x, π/2 ) = 0 ( x) Condition limite 3 : ( 0, y ) = 1 ( y) Comment trouver la fonction (x,y) ? Figure Équation à laquelle obéit la fonction solution. (x,y) représente la température au point de coordonnées x et y.

8 Une idée : la séparation des variables Si (x,y) peut se mettre sous la forme (x,y) = F(x). f(y) léquation : devient ou encore

9 Élimination de solutions Si F/F = m alors on aura f/f = - m pour que léquation soit respectée. On est conduit à : F(x) = e –n x et f(y) = cos (ny) avec m = n 2 On a éliminé la solution en F(x) = e + n x car la condition aux limites 1 ne serait pas respectée. Remarque : si on avait pris F/F = - m et f/f = m on aurait été conduit à une fonction exponentielle en y et sinusoïdale en x qui ne peuvent satisfaire aux conditions aux limites.

10 Ebauche de solution On obtient : (x,y) = e –n x cos(ny) (x,y) doit respecter la condition aux limites 2 : ( x, -π/2 ) = 0 et ( x, π/2 ) = 0 Le coefficient n (positif) nest pas unique Les valeurs possibles pour le coefficient n sont (annulation dun cosinus pour /2) : n = 1 ; n = 3 ; n = 5 etc… (valeurs entières impaires)

11 (x,y) écrite sous forme dune dune série (x,y) écrite sous forme dune dune série Pour obtenir une expression la plus générale pour, on lécrira comme une combinaison linéaire des solutions trouvées avec les valeurs précédentes de n Cette fonction répond aux conditions aux limites 1 et 2. Elle doit encore satisfaire la condition 3 !

12 Apparition dune série Condition aux limites 3 : ( 0, y ) = 1 conduit à Les coefficients a, b, c etc.. doivent être tels que cette équation doit être vérifiée quelque soit y ! ! Fourier prévient létonnement du lecteur : « on pourrait douter quil existât une pareille fonction, mais cette question sera pleinement éclaircie par la suite » (§ 169)

13 Calcul des coefficients Pour calculer a,b,c, on écrit léquation précédente en y = 0 : 1 = a + b + c On dérive 2 fois et on écrit léquation pour y = 0 : 0 = a b c On dérive 2 fois encore et on écrit léquation pour y = 0 : 0 = a b c On résout le système et lon voit se dessiner une forme généralisable, si lon prend un nombre de coefficients infinis. Ainsi on obtient : « Cette dernière expression est connue daprès le théorème de Wallis » (§173) Le théorème de Wallis (1685) donne comme un produit infini de fractions de nombres entiers a = 4 / De même : b = - 4 / 3 ; c = 4 / 5 etc …

14 Fourier exploite le filon On donne à y des valeurs particulières et on retrouve des séries déjà publiées par Euler On intègre les deux membres de léquation, on obtient encore dautres séries « qui navaient pas été remarquées » (§ 184) Exemple : / 4 = sin(x) + sin(3x)/3 + sin (5x) /5+…

15 Une expression infinie de la solution Mode 1Mode 3Mode 5

16 Les Modes Mode 1 (x,y)= e – x cos(y) Mode 3 (x,y)= e – 3 x cos(3y) Pour un mode donné, le profil de température en y reste la même lorsquon progresse en x. Les modes dordre élevé satténuent plus rapidement. Mode 5 (x,y)= e – 5 x cos(5y) x y

17 Phrases clés « Le mouvement de la chaleur se décompose toujours en une multitude de mouvements élémentaires, dont chacun saccomplit comme sil était seul » (§ 170) « Tous ces systèmes partiels existent à la fois dans celui que représente léquation ; ils se superposent et le mouvement de la chaleur a lieu pour chacun deux de la même manière que sil était seul. » (§ 191)

18 Expression finie de la solution et courbe (x,y) Plus on séloigne en x, plus la répartition de la chaleur sidentifie au premier mode (filtrage des modes avec la distance) y T= (x,y) x

19 La périodicité « Léquation appartient à une ligne qui, ayant pour abscisse x et y pour ordonnée est composée de droites séparées dont chacune est parallèle à laxe x et égale à la demi circonférence » (§ 178) y x

20 Unicité de la solution On part dun état initial où la température est nulle en tout point et on arrive à létat final de température (x,y) : EI ( 0 ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( ) Si on part dun état initial où la température est f(x,y) en tout point, on arrive à létat final où la température est (x,y) en tout point : EI ( f ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( ) Si on part dun état initial où la température est déjà (x,y) en tout point, on arrive à létat final de température (x,y) : La température névolue pas au cours du temps. Cette situation caractérise une solution du problème. Si on part dun état initial où la température est f(x,y) en tout point, et quon maintient les 3 faces A, B, C à 0, on arrive à létat final où la température est nulle en tout point : EI ( f ) + (A=0, B=0, C=0) EF ( 0 ) La situation EI ( f ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( ) peut se décomposer en 2 situations : EI ( ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( ) ET EI ( f- ) + (A=0, B=0, C=0) EF (0) Supposons maintenant que soit aussi une solution mathématique du problème. On aurait aussi EI ( ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( ) En soustrayant avec EI ( ) + (A=1, B=0, C=0) EF ( ) on obtiendrait EI ( - ) + (A=0, B=0, C=0) EF ( - ) ce qui est impossible car « on aurait un état partiel qui devrait subsister de lui même, quoique les arêtes A, B et C fussent entretenues à la température 0. (§ 204)

21 Remarques Coquilles : p164, 168, 215 Notations de 1822 –Carré sécrit « quarré » –On écrit Fx en lieu de F(x) –Pas de notation spéciale des dérivées partielles –Limaginaire pur sécrit encore : Introduction de la notation (§ 231)

22 Remarque Le premier signal que Fourier décompose est un signal constant (1) sur une demi circonférence, et –1 sur lautre demi circonférence. Cest aussi, en règle générale le premier signal (signal carré) que tout professeur de traitement du signal qui enseigne les séries de Fourier décompose.

23 Remarques Fourier ne travaillait pas sur la variable temps mais la variable distance Fourier ne travaillait pas au départ sur des signaux périodiques Fourier propose une démarche du particulier au général Fourier écrit : « la question abordée nous a paru plus propre quaucune autre à faire connaître les éléments de la méthode que nous avons suivie » (§ 163). Il y a donc une démarche pédagogique délibérée de sa part. Fourier aurait pu faire un ouvrage spécial consacré aux séries trigonométriques. Heureusement la présentation de ces séries comme chapitre dun ouvrage sur la chaleur nous donne accès à une démarche dans laquelle raisonnement physique et raisonnement mathématique restent étroitement mêlés.

24 Physique et Mathématiques

25 Physique et Mathématiques : la démarche Problème physique Équation mathématique Une solution mathématique Raisonnement physique Raisonnement mathématique La solution mathématique Raisonnement physique

26 Applications pédagogiques (Terminale, 1er cycle universitaire) Difficulté dintroduire la démonstration de Fourier en cours de traitement du signal : fonction de 2 variables, étude sur la chaleur. Possibilité dun cours expliquant la démarche conceptuelle de Fourier Possibilité dun T.P.E. physique, mathématique. Possibilité de faire un exercice ou un problème.

27 Remerciements Stagiaires du stage PAF : utilisation de lhistoire des sciences en physique Classe de première année BTS électronique au lycée Rempart (année ) Référence Théorie analytique de la chaleur, Joseph Fourier, 1822.


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