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Auteur: Mr GRASSET – Lycée Clos Maire BEAUNE. Tableau damortissement à amortissements constants Tableau damortissement à annuités constantes Les annuités.

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1 Auteur: Mr GRASSET – Lycée Clos Maire BEAUNE

2 Tableau damortissement à amortissements constants Tableau damortissement à annuités constantes Les annuités Intérêts composés Exploitation pédagogique Tableau damortissement sous EXCEL

3 INTERETS COMPOSES Définition: Un capital est placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période de placement (mois, trimestre, année…), lintérêt de la période est incorporé au capital pour le calcul de lintérêt de la période suivante. Calcul de la valeur acquise: Un capital C 0 est placé au taux périodique t, la valeur acquise C n au bout de n périodes est: Lintérêt I est: Exemple: un capital de est déposé au taux annuel de 4% pendant 8 ans. La capitalisation est annuelle. t=0,04etn=8 SommairePrécédentSuivant

4 Calcul dune valeur actuelle La valeur actuelle dun capital Cn est le capital C 0 quil faut placer à lépoque 0 pour obtenir Cn à lépoque n. Exemple: La valeur acquise dun capital placé au taux annuel de 6,3% pendant 5 ans est 8143,62 (capitalisation annuelle). Calcul du capital placé:8143,62 x (1+0,063) -5 = 6000 SommairePrécédentSuivant

5 LES ANNUITES On appelle annuité un règlement constant versé pendant des intervalles de temps successifs égaux. Valeur actualisée dannuités constantes: Cest le cas lorsque lon verse à intervalles réguliers la même somme dargent pour se constituer un capital. Exemple: pour rembourser une dette, on verse chaque année en fin dannée pendant 4 ans une somme de 500 (taux dactualisation annuel: 6%; capitalisation annuelle). Somme versée année SommairePrécédentSuivant

6 Calculons la valeur actualisée totale notée V 0 au début de la première année. Le premier versement est effectué 1 an après la date choisie pour calculer lactualisation. Année du versementVersementDuréeValeur actuelle de chaque versement C 0 =C n (1+t) -n x1, , x1, , x1, , x1, ,05 TOTAL 1732,56 Nous observons que les valeurs actualisées successives forment une suite géométrique de premier terme: U 1 = 500 x 1,06 -1 Et de raison q = 1,06 -1 Leur somme est: SommairePrécédentSuivant

7 Si, pendant n périodes, on verse en fin de chaque période une même somme « a » en vue de rembourser une dette, la somme des valeurs actualisées V0 de tous les versements, une période avant le premier versement est: t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements Valeur acquise par des annuités constantes: On place chaque année, en début dannée pendant 4 ans, une somme a = 800 (taux annuel 5%, capitalisation annuelle): capital versé année Le capital placé en début de première année a rapporté pendant trois ans quand arrive le début de la quatrième année SommairePrécédentSuivant

8 La valeur acquise Vn par lensemble des versements constants au moment du dernier versement est donnée par: t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements Calculons la valeur acquise totale notée V4 au début de la quatrième année juste après le versement des 800 Année du versementVersementDuréeValeur actuelle de chaque versement C 0 =C n (1+t) -n x1,05 3 = 926, x1,05 2 = x1,05 = x1 = 800 TOTAL = 3448,10 Nous remarquons que les valeurs acquises 800; 800x1,05… forment une suite géométrique de premier terme: u 1 = 800 et de raison q = 1,05 On peut donc calculer leur somme en appliquant la formule: Cest-à-dire: SommairePrécédentSuivant

9 LESSENTIEL Intérêts composés Valeur actuelle dune suite dannuités constantes Valeur acquise dune suite dannuités constantes C n : valeur acquise C 0 : capital initial t : taux par période n : nombre de périodes t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements SommairePrécédentSuivant

10 TABLEAU DAMORTISSEMENT Lemprunt indivis: cest un emprunt contracté auprès dun seul prêteur: banquier, établissement financier… en opposition avec un emprunt obligataire pour lequel il y a plusieurs prêteurs. Lemprunteur verse au prêteur des annuités ou versements de remboursement comportant des intérêts sur la somme restant due et le remboursement dune partie de la dette. Tableau damortissement: Lensemble des éléments de remboursement est présenté dans un tableau qui précise pour chaque période: Le capital restant dû; Lamortissement du capital ou remboursement du capital; Lintérêt; Lannuité ou versement de remboursement. Annuités constantes: lorsque les versements de remboursement dun capital sont égaux, on parle de remboursement par annuités constantes. Pour le calcul des annuités constantes, il faut quil y ait équivalence entre le montant emprunté et les annuités. ou SommairePrécédentSuivant

11 Méthode pour compléter un tableau damortissement à annuités constantes. Calcul de lannuité ou montant de léchéance. On utilise la relation: Lintérêt. I = D x t intérêt Capital restant dû Taux périodique Lamortissement. M + I = a amortissement intérêt Annuité ou versement Capital restant dû. Il se calcule à partir de la ligne précédente. SommairePrécédentSuivant

12 Titre des colonnes du tableau On prépare un tableau ayant pour titres de colonne: Première ligne du tableau: On reporte le capital restant dû et lannuité; On calcule lintérêt correspondant; B2 x 0,005 On en déduit lamortissement; M = a - I Emprunt de 5000 à 6% lan. Il rembourse tous les mois la même mensualité pendant 8 mois. V 0 = 5000 ; t mensuel = 0,005 et n = 8 Colonne annuité: On complète la colonne « annuité » en recopiant lannuité déterminée précédemment Colonne amortissement: On complète la colonne « amortissement » en calculant les nombres de la suite géométrique ayant pour 1er terme lamortissement de la première ligne et pour raison 1+t: Dans C3 écrire: C2*(1+0,005) et recopier Colonnes restantes: On en déduit la colonne «Capital restant dû » et la colonne « intérêt ». Dans B3 écrire: B2-C2 et recopier SommairePrécédentSuivant

13 Tableau damortissement à amortissement constant. Dans le cas de lamortissement constant, lemprunteur rembourse la même somme en ce qui concerne le capital, cest-à-dire que les amortissements vont être constants mais les annuités vont varier. Calcul de lamortissement: M: amortissement V 0 : capital emprunté n: nombre de périodes. Calcul du montant de lannuité: M 1 = M 2 = ……. = M n a n = I n + M n In = Dn x t intérêt Taux périodique Capital restant dû amortissement intérêt Annuité ou versement M: amortissement V 0 : capital emprunté n: nombre de périodes. In: intérêt correspondant à la période SommairePrécédentSuivant

14 Exemple de construction dun tableau damortissement à amortissement constant. On emprunte 3200 que lon rembourse aux conditions suivantes: durée : 4ans remboursement : en 4 versements en fin dannée, les amortissements sont constants taux annuel: 10% Première ligne du tableau: On complète le capital restant dû; B2 = 3200 On calcule lamortissement; C2 = 3200/4 recopier Colonne « capital restant dû »: On complète la colonne: B3 = B2 – C2 et recopier Colonne « intérêts »: On complète la colonne: D2 = B2 *0,1 et recopier Colonne « annuités »: On complète la colonne: E2 = D2 + C2 et recopier SommairePrécédentSuivant

15 CONCLUSION Le tableau damortissement précise pour chaque période: Le capital restant dû Lamortissement du capital Lintérêt Le montant de léchéance Si les annuités sont constantes, les amortissements successifs forment une suite géométriques de raison (1+t) Si les amortissements sont constants, les annuités forment une suite arithmétique de raison SommairePrécédentSuivant

16 En classe de Terminale BAC Professionnel Tertiaire (comptabilité et commerce), les amortissements sont étudiés. Lexemple de séquence proposée permet de traiter un crédit automobile. Je propose une activité destinée à constituer un tableau damortissement sur ordinateur, à laide du logiciel de calcul EXCEL. Par ce biais, nous utilisons la transversalité entre les mathématiques, la comptabilité, linformatique mais également le domaine commercial. EXEMPLE TRAITE: Monsieur DURAND souhaite changer sa voiture. Il va emprunter une somme de euros sur 5 ans et la rembourser par mensualités. La banque lui propose un taux de 5,5% annuel. « RECETTE DU TABLEAU DAMORTISSEMENT » INGREDIENTS Le capital emprunté: V0 = ………………….. La durée en mois: n = ……… mois Le taux annuel : T = ……………. USTENSILES La formule du taux proportionnel mensuel : t = ……………… La formule générale de lintérêt mensuel : i = ……………….. La formule générale de la mensualité : a = …………………….. La formule générale de lamortissement mensuel : amortissement = ………….. SommairePrécédentSuivant

17 PREPARATION Sur la feuille de calcul EXCEL, remplir les 6 colonnes suivantes: Colonne A: CAPITAL Colonne B: DUREEColonne C: TAUX Colonne D: INTERET Colonne E: MENSUALITEColonne F: CAPITAL AMORTI SommairePrécédentSuivant

18 Remplissons la colonne A du capital: Noter dans la cellule A2: « capital de départ » A3=SI(A2>F1;A2-F1;0): « capital restant dû » Répéter la procédure jusquà A61. Remplissons la colonne B de la durée: Noter 60 dans B2 Noter 2 dans B3 B4=B3+1 et ainsi de suite jusquà B61 Passons au taux dans la colonne C: C2=5,5/(100*12) : « taux mensuel proportionnel car lintérêt va être calculé par mois ». Copier ce résultat jusquà C61 SommairePrécédentSuivant

19 Calculons lintérêt mensuel dans la colonne D: D2=A2*C2 soit « intérêt=capital X durée » Ajouter la condition : D3=SI(A3*C3>0;A3*C3;0) Copier jusquà D61 Calculons la mensualité dans la colonne E: E2=((A2xC2)/(1-PUISSANCE(1+C2;-B2)) E3=SI(D3>0,1;E2;0) Copier la cellule jusquà E61 SommairePrécédentSuivant

20 F2=E2-D2 Copier la cellule jusquà F61 Calculons lamortissement dans la colonne F: Calculons le coût total du crédit: Dans la cellule E63, entrer: =SOMME(E2:E61) Vous devez obtenir: 14606,97303 Cliquer sur licône pour transférer votre tableau sous EXCEL. SommairePrécédentSuivant


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