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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Systèmes.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Systèmes déquations et équations chimiques Systèmes déquations et équations chimiques

2 Dans cette présentation, nous verrons comment construire et utiliser un système déquations homogène et sa représentation matricielle pour équilibrer une équation chimique. Introduction Équilibrer ou balancer une équation chimique signifie déterminer les plus petits nombres de molécules des composés pour lesquels le nombre datomes de chaque élément du membre de gauche de léquation est égal au nombre datomes du membre de droite.

3 Pour balancer une équation chimique Procédure 1.Représenter par une variable le nombre de molécules de chaque composé de léquation chimique. 2.Pour chaque élément, écrire léquation de telle sorte que le nombre datomes de cet élément soit le même dans le membre de gauche et dans le membre de droite de léquation chimique. 3.Représenter le système déquations linéaires homogène par une matrice et résoudre. 4.Assigner aux variables libres la plus petite valeur entière pour laquelle chaque variable liée prendra une valeur entière et écrire léquation balancée.

4 Exemple Dans cette équation, il y a quatre composés. Représentons par x, y, z et u le nombre de molécules de ces composés. On cherche les valeurs de ces variables pour lesquelles léquation sera équilibrée. xNO 2 + yH 2 O zHNO 3 + uNO Il faut donc que le nombre datomes de chacun des éléments soit le même dans le membre de gauche et dans le membre de droite de léquation chimique. Étape 1 : les variables ? NO 2 + ? H 2 O ? HNO 3 + ? NO Équilibrer léquation chimique suivante :

5 Exemple Les conditions déquilibre pour chaque élément sont : Étape 2 : les équations pour lazote : x = z + u pour loxygène : 2x + y = 3z + u pour lhydrogène : 2y = z On doit donc résoudre le système déquations linéaires homogène : x – z – u = 0 2x + y – 3z – u = 0 2y – z = 0 xNO 2 + yH 2 O zHNO 3 + uNO Équilibrer léquation chimique suivante :

6 xNO 2 + yH 2 O zHNO 3 + uNO La matrice augmentée est : Étape 3 : résoudre En appliquant la méthode de Gauss, on obtient : Exemple Le système a une infinité de solutions : {(x; y; z; u) | x = 3s; y = s; z = 2s; u = s}s} –1 –3 – Équilibrer léquation chimique suivante : –1 –3 – – L1L1 L2 L2 – 2L 1 L3L3 L1L1 L2L2 L 3 – 2L –1 1 –1 1 – L1+ L1+ L3L3 L 2 + L3L3 L3L –3 1 –

7 Étape 4 : assignation des valeurs et interprétation Exemple Le système a une infinité de solutions : {(x; y; z; u) | x = 3s; y = s; z = 2s; u = s} Pour que les variables aient la plus petite valeur entière possible, il faut poser s = 1, ce qui donne (3; 1; 2; 1). Léquation équilibrée est donc : 3NO 2 + H 2 O 2HNO 3 + NO xNO 2 + yH 2 O zHNO 3 + uNO Équilibrer léquation chimique suivante :

8 Exercice Le système a une infinité de solutions : {(x; y; z; u) | x = s/8; y = 13s/12; z = 7s/24; u = s} xFe 7 S 8 + yO2 yO2 zFe 3 O4 O4 + uSO 2 Cliquer pour la solution Pour Fe : 7x = 3z Pour S : 8x = u Pour O : 2y = 4z + 2u La plus petite solution entière est obtenue pour s = 24, ce qui donne : 3Fe 7 S O 2 7Fe 3 O4 O4 + 24SO 2 Équilibrer léquation chimique suivante : ?Fe 7 S 8 + ?O 2 ?Fe 3 O 4 + ?SO –3 0 –4 0 – –7 –13 –

9 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.4, p. 364 et 367. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 11.3, p. 333 à 334.


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