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PROBLEMATIQUE On lance 100 fois de suite une pièce de monnaie. On obtient 45 fois PILE et 55 fois FACE. Cette pièce est-elle « équilibrée » ?

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2 PROBLEMATIQUE On lance 100 fois de suite une pièce de monnaie. On obtient 45 fois PILE et 55 fois FACE. Cette pièce est-elle « équilibrée » ?

3 Étude expérimentale à laide du tableur On simule le lancer d'une pièce 100 fois Cest : 1 échantillon. Fichier Adequation.xlsAdequation.xls et on recommence ainsi pour N échantillons de 100 lancers

4 Pour une pièce THEORIQUE f 1 = f 2 = 1/2 Pour notre pièce EXPERIMENTALE Pour chaque échantillon on note: f 1 la fréquence dapparition de pile (codée 0) f 2 la fréquence dapparition de face (codée 1)

5 Comparaison Théorie/Expérience On calcule pour chaque échantillon un paramètre de dispersion : Fichier Adequation.xlsAdequation.xls

6 Pour une pièce THEORIQUE Pour une pièce THEORIQUE f 1 = 1/2 et f 2 = 1/2 d 2 est positif et dautant plus petit que lon est proche du modèle théorique. Il nous faut « étalonner » ce paramètre.

7 On regroupe ces résultats statistiques pour N=100, 500, 1000, 2000 échantillons. On calcule le 9 ième Décile = d 9 90% des valeurs de d 2 sont inférieures à d 9

8 On remarque que d 9 nest pas fixe: cest la fluctuation déchantillonnage, mais d 9 se stabilise lorsque le nombre déchantillons N augmente N=100, 500, 1000, 2000. N10050010002000 Mini0000 1° Décile0.0002 Q10.0008 Mé0.0018 Q30.0072 9° Décile0.013140.01620.0128 Maxi0.0578

9 Statistiquement on peut affirmer que: Pour 90% des pièces, le paramètre de dispersion vérifie : d 2 d 9 10% des pièces vérifient : d 2 > d 9 On définit ainsi un niveau de confiance à 90% Et donc un seuil derreur de 10%

10 Quen est-il de notre ? d 2 = 0,005 < d 9 = 0,0128 Notre pièce ressemble aux 90% des pièces testées Le paramètre d 2 de notre pièce est :

11 Conclusion Adéquation on dit quil y a Adéquation entre la pièce et le modèle théorique de pièce équilibrée avec un niveau de confiance de 90% ( soit un risque d'erreur de 10% )

12 Exercice Dans les mêmes conditions que ci-dessus, on veut tester trois pièces A, B et C. On lance 100 fois chaque pièce et on obtient les résultats suivants ( à compléter ) : PièceABC Nombre de FACE434740 Nombre de PILE575360 paramètre d 2 Adéquation ? Solutions

13 Ce dé est-il « équilibré » ? Ce dé est-il « équilibré » ? On lance 100 fois un Dé cubique et on obtient les résultats suivants : Face apparue 123456 Effectif observé 201112172119

14 Face apparue 123456 Effectif observé 201112172119 et p i = 1/6 d 2 = 0.0089 Fichier Adequation.xlsAdequation.xls

15 Conclusion pour ce dé: d 2 =0.0089 On peut affirmer avec un niveau de confiance de 90% que ce dé est régulier. d 9 = 0.015 <

16 Exercice Même chose avec le dé suivant : Face apparue123456 Effectif observé 14211292024 d 2 = ……………………………………………………………………………. Au niveau de confiance 90%, rejettera-t-on l'hypothèse que ce dé est régulier ? Solution

17 Réponses Les trois pièces A, B et C. PièceABC Nombre de FACE434740 Nombre de PILE575360 paramètre d 2 Adéquation ? 0.0098 Oui 0.00180.02 OuiNon d 9 = 0.0128 Retour

18 Solution pour ce dé : Face apparue123456 Effectif observé14211292024 Au niveau de confiance 90%, on rejette l'hypothèse que ce dé est régulier d 2 = 0.017d 9 = 0. 015 > Retour

19 The End Exercices complémentaires Retrouvez ce diaporama et le fichier Excel sur mon site http://www.elm.boxnet.net

20 Annexe Deux autres critères de décision : La méthode de Karl Pearson (1857-1936) Le test du khi-2

21 Méthode de Pearson Condition: les k issues sont équiprobables p i = 1/k. (k=6 pour le dé) La taille de léchantillon est n. Pour un niveau de confiance de 90%, on a : d 2 < 2/n Pour un niveau de confiance de 95%, on a : d 2 < 1,6/n Pour un niveau de confiance de 99%, on a : d 2 < 3,4/n

22 Le test du khi-2 Pour un niveau de confiance de 90%, on a : 2 < 9,23635 Pour un niveau de confiance de 95%, on a : 2 < 11,0705 Pour un niveau de confiance de 99%, on a : 2 < 15,0863 Pour notre dé : 5 degrés de liberté

23 Exercices complémentaires En adaptant pour chaque exercice la feuille de calcul, déterminer le 9° décile d 9. Ex. 1 Sur 200 semaines, on a examiné chaque jour, le nombre dappels des pompiers dune grande ville. Peut-on dire quil y a équiprobabilité pour chaque jour de la semaine, avec un risque derreur de 10% ? Ex. 2 Le maire dune commune examine létat civil à la fin dune année. Il dénombre 134 naissances de garçons et 108 filles. En simulant 5000 échantillons de 242 naissances équiréparties, déterminer le 9° décile et en déduire sil faut accepter ou rejeter lhypothèse selon laquelle il naît autant de garçons que de filles. Ex. 2 Pour frapper sa balle, Roger Federer, dispose de quatre types de coups : le coup plat, lifté, coupé ou chopé. Sur 100 échanges, la distribution est la suivante : Que pouvez-vous en conclure ? LundiMardiMercrediJeudiVendrediSamedidimanche 26 2729303923 Type de coupPlatLiftéCoupéChopé Effectif28312417


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