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Introduction aux probabilités. Expérience aléatoire Si lon énumère tous les résultats possibles dune expérience aléatoire, on constitue un ensemble appelé

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1 Introduction aux probabilités

2 Expérience aléatoire Si lon énumère tous les résultats possibles dune expérience aléatoire, on constitue un ensemble appelé lunivers des possibles et noté ( oméga ). Exemple 1 : Lorsque lon observe la couleur dune bille tirée au hasard dun sac de billes, contenant des billes bleues, rouges et jaunes, lunivers des résultats possibles est : = { bleue, rouge, jaune } Une expérience est dite aléatoire si son résultat dépend du hasard cest-à-dire quon ne peut pas prédire avec certitude le résultat de lexpérience. Lors du lancer dun dé à six faces numérotées de 1 à 6, lunivers des résultats possibles est : = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Exemple 2 :

3 Événement Un événement est un sous-ensemble de lunivers des résultats possibles. Exemple 1 : Lors de la pige dune carte dans un jeu de 52 cartes, « obtenir une dame » est un événement et correspond à: {dame de coeur, dame de pique, dame de carreau, dame de trèfle} Lors du lancer dune pièce de monnaie, « obtenir pile » est un événement élémentaire, car il représente un seul résultat, soit {pile}, de lunivers des résultats possibles. Exemple 2 :

4 nombre de cas favorables Calcul de la probabilité dun événement La probabilité dun événement se calcule comme suit: P(événement) = nombre de cas possibles Exemple : P(cœur) = nombre de cas possibles52 13 Quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur » ? = Lors de la pige dune carte dans un jeu de 52 cartes. 4 1 = On a donc 1 chance sur 4 de piger une carte de cœur. Remarque:Une probabilité peut être exprimée sous la forme dune fraction, dun nombre décimal ou dun pourcentage. 4 1 = 0,25 = 25 %

5 Calcul de la probabilité dun événement La probabilité dun événement composé de plusieurs événements est égale à la somme des probabilités de chacun de ces événements. Exemple : P(cœur ou trèfle) = P(cœur) + P(trèfle) = Quelle est la probabilité de « choisir une carte de cœur » ou de « choisir une carte trèfle » ? Lors de la pige dune carte dans un jeu de 52 cartes. 2 1 = On a donc 1 chance sur 2 de piger une carte de cœur ou une carte de trèfle.

6 Exemple 2 : P(rouge ou noire) = P(rouge) + P(noire) = Quelle est la probabilité de « choisir une carte rouge » ou de « choisir une carte noire » ? Lors de la pige dune carte dans un jeu de 52 cartes. 1 = Cest un événement certain. Remarque: La probabilité dun évènement est toujours comprise entre 0 et 1. Lorsque la somme des probabilités de deux évènements est égale à 1, alors les deux évènements sont dits complémentaires.

7 Exemple 3 On lance 2 dés semblables. On voudrait connaître la probabilité « dobtenir une somme de 7 ». Pour faciliter le dénombrement, construisons une table de résultats Nombre de cas possibles: 6 X 6 = 36 Nombre de cas favorables:6 P (obtenir une somme de 7) : nombre de cas favorables nombre de cas possibles 6 36 = 1 6 = + P (obtenir une somme de 7) : 1 6

8 Nombre de cas favorables nombre de cas favorables Probabilité théorique La probabilité théorique dun événement est un nombre qui quantifie la possibilité que cet événement se produise. Ce nombre est déterminé uniquement à laide dun raisonnement mathématique. Dans le cas où tous les résultats sont équiprobables, on peut calculer la probabilité théorique dun événement de la façon suivante. Probabilité théorique = nombre de cas possibles Lorsquon tire une bille dun sac contenant 4 billes vertes, 5 billes blanches et 3 billes orange, la probabilité théorique de lévénement « obtenir une bille blanche » se calcule comme suit : Probabilité théorique = Nombre de cas possibles12 5 = P(obtenir une bille blanche) = 12 5

9 nombre de fois que le résultat attendu sest réalisé Probabilité fréquentielle La probabilité fréquentielle dun événement est obtenue à la suite dune expérimentation. Elle est souvent utilisée lorsque la probabilité théorique est impossible à calculer. Probabilité fréquentielle nombre de fois que lexpérience a été répétée Dans une usine fabriquant des engrenages, on constate quà toutes les mille pièces usinées deux sont défectueuses. = Probabilité fréquentielle: = 0,002 = 0,2 % Exemple 1:

10 Exemple 2: On sait que la probabilité théorique « dobtenir pile » est de 1/2. Pour samuser, on lance une pièce de monnaie fois, on obtient alors 650 fois le côté « pile ». Probabilité fréquentielle: = 0,650 = 65 % On peut alors présumer que la pièce de monnaie est truquée. Dans le cas dune probabilité fréquentielle, plus le nombre de répétitions est grand, plus on a de chances que la probabilité fréquentielle se rapproche de la probabilité théorique. Cette constatation que lon fait dans les expériences aléatoires est appelée la loi des grands nombres.

11 Probabilité subjective La probabilité subjective quun événement se produise est attribuée selon le jugement ou la perception dune personne possédant un certain ensemble de renseignements sur la situation ou lexpérience aléatoire. On annonce 75 % de probabilité daverses de neige pour demain.

12 Chances pour Chance pour nombre de résultats favorables possibles nombre de résultats défavorables possibles = Les chances pour une victoire de léquipe locale à un tournoi sont de 3 : 2. Cela signifie que léquipe locale a 3 chances de gagner et 2 chances de perdre. = 2 3 Probabiliténombre de résultats favorables possibles nombre de résultats favorables possibles + nombre de résultats défavorables possibles = = =

13 Chances contre Les chances contre un joueur ou une joueuse qui mise sur « 0 » à la roulette sont de 36 : 1. Cela signifie que le joueur ou la joueuse a 36 chances de perdre et 1 chance de gagner. Chance contre nombre de résultats défavorables possibles nombre de résultats favorables possibles = = 1 36 Probabilité nombre de résultats défavorables possibles nombre de résultats défavorables possibles + nombre de résultats favorables possibles = = = 37 36

14 Les paris sportifs utilisent cette façon de calculer afin de déterminer les gains ou les pertes des parieurs. Exemple:Les chances favorisant une victoire de léquipe locale de soccer au prochain match sont de 5 : 4. On voudrait connaître la somme dargent que pourrait gagner une personne qui parie 10,00 $ pour léquipe locale. Il sagit simplement de construire une proportion. chances pour : chances contre : mise somme à gagner = 5 4 = 10 $ x x = 8 $ La somme à gagner est donc de 8,00 $. La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale = = 18,00 $.

15 Les chances favorisant une victoire de léquipe locale de soccer au prochain match sont de 5 : 4. On voudrait connaître la somme dargent que pourrait gagner une personne qui parie 10,00 $ contre léquipe locale. x = 12,50 $ La somme à gagner est donc de 12,50 $. La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale 4 = 10 $ x5 chances pour : chances contre : mise somme à gagner = 12, ,00 = 22,50 $

16 Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1 pour lemporter. Quelle somme recevra-t-on si on mise 20,00$ que ce cheval gagne la course ? Attention: Une cote de 8 contre 1 indique les chances contre; donc 8 chances contre et 1 chance pour. chances pour chances contre mise somme à gagner = 1 8 = 20 $ x x = 160 $ La somme à gagner est donc de 160,00 $. La somme totale remise: somme gagnée + somme initiale = = 180,00 $


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