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Une visite guidée dans le monde des ondelettes plan Introduction Au royaume de Fourier SFT CWT DWT Applications.

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2 Une visite guidée dans le monde des ondelettes

3 plan Introduction Au royaume de Fourier SFT CWT DWT Applications

4 Introduction Pourquoi une transformée ? Optimiser la description des signaux pour extraire les informations désirées

5 Au royaume de Fourier Toute fonction peut être représentée par une somme de sinusoïdes Comment on peut le faire M.Fourier?!!!

6 La transformée de Fourier Analyse Synthèse

7 Le Succès Propriétés très intéressantes Algorithme très rapide

8 Limitations :La stationnarité Signal déterministe il peut se décomposer en une somme d'ondes sinusoïdales éternelles Signal aléatoire ses propriétés statistiques (moments) ne varient pas au cours du temps

9 La non-stationnarité Cest une « non-propriété » : elle nest définie que par son contraire!!!!!!!!!!!!!!!!!

10 La physique et Fourier : limitations Caractère globale Exemple : morceau musical Interprétation physique difficile Réalité physique Pas de signal en dehors dun certain support : zéro statique Fourier Zéro dynamique Interférence dune infinité de sinusoïdes Contribution résultante nulle Signal transitoire Il est ou le « la »?!!!

11 Inégalité de Heisenberg- Gabor

12 Des classes de solutions Gabor transformées en ondelettes

13 Transformée de Fourier à fenêtre ou T. de Gabor Avec g(t)=e - t²

14 Interprétation : SFT comme filtrage f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 6f 0 B BBB BB SFT temps fréquence Banc de filtre uniforme

15 Ondelettes : classification Transformées redondantes transformée continue trame dondelettes paquet dondelttes Transformées non redondantes analyse multirésolution :base orthonormée analyse multirésolution :base bi-orthogonale paquet dondelttes

16 Transformée en ondelettes continue : cdt. dadmissibilité Condition suffisante dadmissibilité pour une ondelette réelle : avec a R +, b R Atome de base

17 Transformée en ondelettes continue Notée généralement CWT

18 CWT: interprétation comme filtrage f 0 2f 0 4f 0 8f 0 B 2B 4B8B CWT f 0 2f 0 3f 0 4f 0 5f 0 6f 0 SFT CWT temps B BBB B B SFT fréquence

19 CWT: réelle ou complexe réelle Ondelettes réelles détection des transitions brutales dun signal complexe Ondelettes analytique voir lévolution temporelle des composantes fréquentielles

20 DWT :Analyse multirésolution Signal construit par raffinement successive Approximation+détail Le père : f. déchelle (t)La mère: londelette (t) Coefficients Approximation à léchelle j Coefficients de détail à léchelle j Approximation + détail f.b.orth

21 Rappel : bases orthonormales u V1, V1 V0 Tel que W1 est le complémentaire orthogonale de V1 u P v1 u P w1 u V0 V1

22 Rappel : bases orthonormales Soit {v 1,v 2,…,v n } une base dans lespace V,tout vecteur (fonction)peut être écrit comme: j difficile à déterminer sauf pour une base orthonormale On peut écrire alors :

23 Analyse multirésolution [ ] Supposons quon se donne une fonction f appartenant à L([0,1]), discrétisée sur 8 valeurs :

24 Analyse multirésolution On voudrait exploiter une éventuelle corrélation entre valeurs voisines Moyennant les paires de valeurs voisines [ ] [ ] moyenne [–1 –1.5 –2 –2] Perte dinformation 2+(– 1) = 1, 2 – (– 1) = 3, 6.5+(– 1.5) = 5, 6.5 – (– 1.5)= 8, ………………….

25 Analyse multirésolution RésolutionMoyennedétail [ ] [ ] [ ] [9.875] [ – 1 – 1.5 – 2 – 2] [ – 2.25 – 2.5] [ – 5.625] [9.875 – – 2.25 – 2.5 – 1 – 1.5 – 2 – 2] moyenne différence [ ]

26 Analyse multirésolution On peut considérer la fonction précédente comme une fonction sur [0,1] constante par morceaux sur les intervalles : I 3,k = [2 -3 k, 2 -3 (k + 1)[, k = 0,..., En notant φ (x) = I 0,1 (x) et φ j,k (x) = φ (2 j x - k), la fonction sécrit : f (x) = 1φ 3,0 (x) + 3φ 3,1 (x) + 5φ 3,2 (x) +8 φ 3,3 (x) +11φ 3,4 (x) + · · · 15φ 3,5 (x) + 16φ 3,6 (x) + 20 φ 3,7 (x). On peut re-écrire alors f (x) = 2 φ 2,0 (x) φ 2,1 (x) + 13 φ 2,2 (x) + 18 φ 2,3 (x) + · · · (-1)ψ 2,0 (x) + (-1.5) ψ 2,1 (x) + (-2) ψ 2,2 (x) + (-2) ψ 2,3 (x) où : ψ(x) = I [0,1/2[ (x) - I [1/2,1[ (x) [9.875 – – 2.25 – 2.5 – 1 – 1.5 – 2 – 2] moyenne différence [ ] V0 V1 V2 V3 (t)

27 Analyse multirésolution V 0 le sous-espace vectoriel de L 2 ([0, 1[) engendré par les fonctions constantes sur [0, 1[ V j lespace vectoriel des fonctions constantes par morceaux sur les intervalles I j,k, k = 0, 2j – 1 V 0 V 1 V 2 V 3 Pour chaque Vj, la famille{ φ j,k, k = 0,..., 2j - 1} forme une base, et est orthogonale. la famille { j,k, k = 0,..., 2j - 1} est une base de lespace vectoriel W j supplémentaire orthogonal de V j dans V j+1.

28 Analyse multirésolution une analyse multirésolution de L 2 (R) est une famille M= V j j Z de sous espaces vectoriels fermés emboîtés · · · V-2 V-1 V0 V1 V2 · · ·,[1] telle que [2] j Z, f (x) V j, f (2x) V j+1 [3] Il existe une fonction V 0 telle que : [4] { k, k Z} est une base stable de V 0, cest à dire que : Vj=V j+1 W j+1

29 Algorithme de Mallat (t) dans V0 V1 La clef : équations aux deux échelles (t) dans V1 Le père La mère avec

30 Algorithme de Mallat: décomposition Relation entre lapproximation au niveau j+1 et lapproximation et le détail au niveau j 1-niveau de décomposition h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n] ~ ~ ~ H a j+1,k G ~ 2 2 a j,k d j,k ~ j<=0

31 Algorithme de Mallat: reconstitution Par projection de cette égalité sur j+1,k,on trouve 2 2 G H + a j,k d j,k a j+1,k

32 Analyse multirésolution h[n]: Reconstruction, filtre passe-bas g[n]: Reconstruction, filtre passe-haut h[n]: Decomposition, filtre passe-bas g[n]: Decomposition, filtre passe-haut ~ ~ h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n] ~ ~ Filtre QMF

33 Analyse multirésolution G H 2 2 G H G H G H + x[n] Decomposition Reconstruction ~ ~ ~ ~

34 Analyse multirésolution: construction Choisir une famille de base orthonormée de fonctions déchelle Déterminer le filtre h Vérifier la convergence de lanalyse avec lalgo. en cascade Définir le filtre g à partir de h et déduire londelette associée à laide de lalgorithme en cascade Choisir h (passe bas) (orthogonal) Algo. en cascade pour vérifier la convergence Construire g à partir de h Remarque : Lanalyse est discrète mais londelette et la fonction déchelle restent continuent

35 Ondelettes : Deux degrés de liberté : Le choix de londeletteLe choix de londelette Le nombre de niveaux de décompositionLe nombre de niveaux de décomposition

36 Ondelettes : le choix utile pour la compression, suppression des signaux nombre de moments nuls Le lien entre un polynôme et un signal quelconque : série de Taylor Tout polynôme dordre m M M nombre de moments nuls dj 0 DWT

37 Ondelettes : le choix Support : quantifie resp. la localisation en temps et en fréquence Support compact Support non compact En temps En fréquence Bande étroite Bande limitée non étroite Filtre FIR Filtre IIR Daubechies, Symlets, Coiflets, etc. Meyer

38 Ondelettes : le choix Régularité Plus le nombre de moments nuls augmente plus londeltte est régulière Utile pour obtenir des signaux ou images reconstruits lisses et réguliers Meilleurs sont les propriétés de reconstruction esthétisme

39 Ondelettes : le choix Symétrie Utile pour éviter le déphasage (filtres à phase linéaire) Ondelettes orthogonales + Support compact O. asymétriques Ondelettes biorthogonales O. symétriques

40 Ondelettes : propriétés principales et classification Ondelettes à filtresOndelettes sans filtres A support compactA support non compact réellescomplexes OrthogonalesBiortho- gaunales orthogaunalesgaus, mexh, morl cgau, shan, fbsp, cmor db, haar, sym,coif biormeyr,dmeyr,b tlm

41 Applications : Une rampe+un bruit colore(ARMA) db3

42 Discontinuit é dans le signal db1 Chapeau mexicain

43

44 Variante : transformée de Stokwell Ondelette de Morlet


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