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1 Analyses de Sensibilité Applications en Ordonnancement Applications en Ordonnancement Eric Sanlaville Université Blaise Pascal Clermont Ferrand Laboratoire.

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1 1 Analyses de Sensibilité Applications en Ordonnancement Applications en Ordonnancement Eric Sanlaville Université Blaise Pascal Clermont Ferrand Laboratoire LIMOS-UMR 6158 CNRS

2 2 Plan Place de lanalyse de sensibilité Place de lanalyse de sensibilité Les limites de lAnalyse de Sensibilité classique Les limites de lAnalyse de Sensibilité classique Exemples d A. S. en ordonnancement Exemples d A. S. en ordonnancement 2 machines sans communication 2 machines sans communication 2 machines avec communication 2 machines avec communication 1 machine, minimisation du flow time 1 machine, minimisation du flow time Nombre non borné de machines parallèles Nombre non borné de machines parallèles Conclusions ?? Conclusions ??

3 3 Optimisation / Aide à la décision sous incertitudes Fonction z à minimiser sous des contraintes dépendant de paramètres numériques I instance du problème : ensemble de valeurs pour les paramètres. S solution de I : vérifie les contraintes pour I Incertitudes sur un paramètre : sa valeur est inconnue. Estimée par une valeur Estimée par une valeur Restreinte sur un intervalle ou un ensemble de valeurs Restreinte sur un intervalle ou un ensemble de valeurs Définie par une variable aléatoire Définie par une variable aléatoire BUT : Construire des solutions pas trop mauvaises quelles que soient linstance réalisée Cadre : on suppose que certaines décisions, voire toutes, doivent être prises avant la levée de lincertitude (cadre Proactif).

4 4 Analyse de Sensibilité Soient une instance I et une solution S fixées QUESTION : Que devient la solution S quand I varie? S est –elle toujours une solution? S reste-telle optimale? Si non quelle est sa dégradation de performances? Quelle est la nouvelle solution optimale ? Au fait, comment mesurer la dégradation de performances??

5 5 Objectifs de l Analyse de Sensibilité Cadre Proactif pour l optimisation sous incertitudes. Répondre à la question : Etant donné une solution S calculée au moins en partie avant la levée des incertitudes (première phase), quelle sera la performance de S pour linstance réalisée ?

6 6 Analyse de Sensibilit é Robustesse R é -optimisation Mesures de robustesse Nouvelle solution ?

7 7 Soit un ensemble d instances Soit un ensemble d instances BUT : calculer la solution de robustesse maximum sur. BUT : calculer la solution de robustesse maximum sur. 2 Approches : 2 Approches : Stochastique : des probas sur les instances, et une mesure probabiliste Stochastique : des probas sur les instances, et une mesure probabiliste Par scénarios : mesure au pire sur lensemble Par scénarios : mesure au pire sur lensemble On a un nouveau problème doptimisation. Peut-on le résoudre? Est-il possible de trouver un algorithme calculant toujours la solution la plus robuste quelle que soit linstance? On a un nouveau problème doptimisation. Peut-on le résoudre? Est-il possible de trouver un algorithme calculant toujours la solution la plus robuste quelle que soit linstance? Robustesse

8 8 Soit une instance I, S* optimum sur I Soit une instance I, «voisine» de I BUT : Calculer une nouvelle solution optimale pour I (à partir de S* ?) BUT : Calculer une nouvelle solution optimale pour I (à partir de S* ?) Problème : il nest pas toujours possible dintervenir librement après la levée des incertitudes (Ce serait plutôt le contraire !!) Problème : il nest pas toujours possible dintervenir librement après la levée des incertitudes (Ce serait plutôt le contraire !!) Objectif moins ambitieux : la réparation ? Objectif moins ambitieux : la réparation ? Ré-optimisation

9 9 AS en PL, PLNE : étendue des changements sur UN paramètre (coefficient de lobjectif, partie droite) sans perte de loptimalité de S* ou de z*. Etude de Stabilité (rayon de stabilité) HOURRAH : Avec le simplexe, on a en même temps la solution et sa stabilité, donc ON SAIT REPONDRE AUX INCERTITUDES ! HOURRAH : Avec le simplexe, on a en même temps la solution et sa stabilité, donc ON SAIT REPONDRE AUX INCERTITUDES ! Inutile de chercher plus loin et détudier des modèles plus élaborés, stochastiques ou autres. Inutile de chercher plus loin et détudier des modèles plus élaborés, stochastiques ou autres. Marche à suivre si un paramètre varie. Marche à suivre si un paramètre varie. Soit on reste optimal. Soit on reste optimal. Soit on ré-optimise (et cest facile avec le simplexe). Soit on ré-optimise (et cest facile avec le simplexe). A quoi sert l AS classique pour les problèmes sous incertitudes? Vision optimiste

10 10 Ce nest pas aussi simple pour tous les problèmes Ce nest pas aussi simple pour tous les problèmes Ré-optimisation pas toujours possible (rarement?): Ré-optimisation pas toujours possible (rarement?): Il faut prendre des décisions avant la levée des incertitudes Il faut prendre des décisions avant la levée des incertitudes Exemples: affectation en ordo parallèle; dimensionnement de réseaux Exemples: affectation en ordo parallèle; dimensionnement de réseaux La solution proposée peut être TRES sensible à certaines perturbations quand on dépasse le rayon de stabilité La solution proposée peut être TRES sensible à certaines perturbations quand on dépasse le rayon de stabilité Cela ne répond pas du tout à une véritable INCERTITUDE sur les données (pas de valeur privilégiée, plusieurs paramètres incertains). Cela ne répond pas du tout à une véritable INCERTITUDE sur les données (pas de valeur privilégiée, plusieurs paramètres incertains). A quoi sert l AS classique pour les problèmes sous incertitudes? Vision pessimiste : à rien

11 11 Les solutions optimales ont de bonnes propriétés 1. Construisons un ensemble de solutions optimales 1. Choisir des instances parmi les possibles 2. échantillonner 2. Prenons des décisions compatibles avec ces solutions (extraction dune structure commune) Conséquence : La solution finalement construite sera robuste A quoi sert l AS classique pour les problèmes sous incertitudes? Vision optimiste S1, S2, …,Sn

12 12 (Hypothèse : ensemble d instances possibles) Modèle stochastique sous jacent : Modèle stochastique sous jacent : les paramètres : variables aléatoires les paramètres : variables aléatoires Une proba pour chaque instance Une proba pour chaque instance Minimiser un critère stochastique : 1. E(z) 2. Déviation / optimal déterministeex : E (z I (S) / z I *) Modèle par scénarios, ou par intervalles : analyse au pire Modèle par scénarios, ou par intervalles : analyse au pire 1. Max z I (S) (robustesse absolue ) 2. Déviation / optimal ex : Max z I (S) / z I * Comment mesurer la robustesse dune solution ?

13 13 Exemple 1 (Wallace 00) 3 produits A, B, C. production =1 demandes pour A et B : a et b inconnues, mais leur somme vaut 1. demande pour z : 1 Max Z = 3A + 2B + C A a B 1-a A+B+C 1 a connue après la décision Solution optimale pour a fixée : (a,1-a,0) Infaisable ! Les solutions optimales ont une structure indésirable : A,B >0, C =0 Solution robuste (pour espérance) : (0,0,1)

14 14 Exemple 2 (Mahjoub 04) 1/ / Uj : Ordonnancement sur une machine, minimiser le nombre de tâches en retard. Indisponibilité possible de la machine au démarrage Cas de deux scénarios : pas dindispo, ou une indispo sur [0,3] d1 = 3d4 =6d7= S1 S2 S3 OK[0,3]Max (z - z*)

15 15 Lobjectif de stabilité est insuffisant pour obtenir des solutions robustes Lobjectif de stabilité est insuffisant pour obtenir des solutions robustes Il faut utiliser des mesures plus complètes. Les solutions robustes : pas forcément issues des solutions optimales en déterministe. Les solutions robustes : pas forcément issues des solutions optimales en déterministe. LAS classique ne permet pas une réelle prise en compte de lincertitude. Elle est adaptée pour des problèmes intrinsèquement déterministes, avec perturbations (aléas) mineures. LAS classique ne permet pas une réelle prise en compte de lincertitude. Elle est adaptée pour des problèmes intrinsèquement déterministes, avec perturbations (aléas) mineures. Le choix : analyse au pire ou modèle stochastique? Le choix : analyse au pire ou modèle stochastique? Quelles conclusions ??

16 16 1. Déterminer les instants de décision. Modèle proactif imposé ou pas? (Flexibilité a priori du problème) 2. Modèle stochastique ou non? 3. Déterminer lensemble dinstances pour létude. 4. Choisir une mesure de la robustesse. Méthodologie (proposition !)

17 17 M é thodologie II HYP :on dispose d une méthode de calcul A Effectuer une AS de A pour et R Resultats satisfaisants ? OUI STOP NON 1/ Améliorer la robustesse de A : A 2/ Optimiser la robustesse A*

18 Exemples d Analyse de sensibilit é au pire en Ordonnancement Compromis entre AS et Maximisation de la Robustesse

19 19 n tâches, de durées p. Perturbations sur les durées. n tâches, de durées p j. Perturbations sur les durées. Soit S* un ordonnancement optimal. On suppose que la tâche Tn peut augmenter sa durée. Tn est placée en dernier sur la machine M 2 (supposée sans oisiveté). Soit S* un ordonnancement optimal. On suppose que la tâche Tn peut augmenter sa durée. Tn est placée en dernier sur la machine M 2 (supposée sans oisiveté). 2 / / Cmax (Hall Posner 2000) Analyse de stabilité M1 M S* P 4 = 2 + Pour conserver une solution optimale, il faut faire un échange de tâches entre les machines dès que > 1 5 M1 M2 S 14 32

20 20 2 / / Cmax Analyse de sensibilité M1 M S* P 6 = M1 M2 S 7 Ici le rayon de stabilité de S* est nul HP : heuristique qui teste certains de ces échanges. Cette heuristique donne également une borne supérieure sur / S* reste optimal : u TH : si u, z(S*)/z* 8/7 u = 1, la borne est atteinte

21 21 2 / / Cmax Robustation Si on utilise leur heuristique déchange, on peut perdre loptimalité mais gagner en robustesse TH (HP simplifié): si u, z(S )/z* 8/7 avec u u 10/3 u La garantie 8/7 est conservée plus longtemps pour S. Mais les bornes sur dépendent De S* et de l instance !!

22 22 : Les tâches exécutées sur des machines différentes communiquent si elles sont liées par une contrainte de précédence (info parallèle, atelier et temps de transport) : Délais de communication c Délais de communication c Version déterministe : le problème est polynômial si : Version déterministe : le problème est polynômial si : 1. 2 machines 2. Communications unitaires, durées des tâches unitaires 3. Graphe : arbre On a alors 4 algorithmes différents pour le résoudre! On a alors 4 algorithmes différents pour le résoudre! Incertitudes : sur les durées des communications Incertitudes : sur les durées des communications 2 /com, tree/ Cmax (Moukrim Sanlaville Guinand 03)

23 23 acb e3 x2y d R z1 e x 2 b c d R 3 y a z 1 M1 M2 S1 7 3 x y 2 z 1 R e a b c d M1 M2 S2 7 Processeur ordonné

24 24 Les délais de communication ne sont pas tous égaux à 1 !! Supposons que les délais valent 2 entre : e et 2, 3 et 2, 2 et 1, 1 et R, d et R (1 ailleurs) e x. 2 b c d.. R 3 y a z. 1 S1 10 S2 3 x y 2 z 1. R e a b c d 8 S2 3 x y 2 1 d R e a b c z S3 7

25 25 2 /com, tree/ Cmax Analyses de sensibilité S* quelconque : z(S*) / z* (C+1)/2 La borne est atteinte pour 3 des 4 algos S* P-O : z(S*) – z* C – c (car : ils sont stables) C : valeur maximum des délais de com c : valeur minimum Déviation relative Déviation absolue Quand les algorithmes P-O sont-ils dominants ? OUI : délais nuls; délais 1. NON : c [0,1]; c 1; m >2

26 26 Problème déterministe : SPT (Shortest Processing Time) est optimal. Incertitudes sur les durées. 1. (PRT) Analyse de Sensibilité de SPT: borne sur la déviation relative z/z* en fonction de lamplitude de la perturbation 2. (DK) Robustesse dans le cas dun ensemble discrèt de scénarios 3. (AL) Robustesse dans le cas dintervalles continus 1/ / Cj (Penz et al 2001, Daniels et Kouvelis 95, Averbakh et Lebedev 03)

27 27 Durées réelles : p = (1+ )q ou qdurées estimées Durées réelles : p j = (1+ j )q j ou q j durées estimées Amplitude de la perturbation : 1+e = (1+ + ) / (1- - ), + = max ( ); - = max (- ) 1+e = (1+ + ) / (1- - ), + = max ( j ); - = max (- j ) TH 1(PRT) : sous des conditions très générales et pour Cmax et Cj, La déviation relative au pire est bornée : z / z* (1+ z / z* (1+ TH 2 (PRT) : Pour SPT et 1// Cj, z(S) / z* (1+ TH 2 (PRT) : Pour SPT et 1// Cj, z(S) / z* (1+ La borne est atteinte dans le cas où toutes les estimations sont égales 1// Cj : Analyse de Sensibilit é

28 28 Mesure de robustesse : Déviation absolue au pire z – z* Déviation absolue au pire z – z* (DK) Dans le cas de 2 scénarios, trouver lordonnancement qui minimise (z –z*) est NP-difficile (DK) Dans le cas de 2 scénarios, trouver lordonnancement qui minimise (z –z*) est NP-difficile (AL) Dans le cas dintervalles continus pour les durées, aussi. (AL) Dans le cas dintervalles continus pour les durées, aussi. Le problème est polynômial pour des intervalles centrés et n pair : lalgorithme place en milieu de séquence les tâches de plus grand intervalle. Le problème est polynômial pour des intervalles centrés et n pair : lalgorithme place en milieu de séquence les tâches de plus grand intervalle. 1// Cj : Maximisation de la robustesse

29 29 Dun côté, on a un algorithme SPT peu sensible aux perturbations, avec un bon comportement pour la mesure de la déviation relative. De lautre, un résultat négatif sur la maximisation de la robustesse pour une deuxième mesure, la déviation absolue. QUESTION 1: SPT minimise la déviation relative? QUESTION 2 : la déviation absolue est-elle un bon critère pour un critère additif? 1// Cj : Quelles conclusions ?

30 (indispo)// Uj : une solution robuste ne doit pas forcément être cherchée parmi les solutions optimales en déterministe. 2. 2//Cmax : une analyse de sensibilité classique (paramétrique) sur une solution optimale quelconque, avec une tentative pour rendre lordonnancement plus robuste. 3. 2/com,tree/Cmax :une analyse de sensibilité au pire comparée pour différents algorithmes optimaux en déterministe. 4. 1// Cj : une analyse de sensibilité au pire, une maximisation de robustesse Retour sur les exemples

31 31 Pas de jugement péremptoire. Pas de jugement péremptoire. Je me suis placé dans un cadre proactif. Lhypothèse implicite : lincertitude peut être complètement décrite. Je me suis placé dans un cadre proactif. Lhypothèse implicite : lincertitude peut être complètement décrite. Si ce nest pas le cas, ou si lAS ou la maximisation de la robustesse napportent pas de réponses probantes: Si ce nest pas le cas, ou si lAS ou la maximisation de la robustesse napportent pas de réponses probantes: Approche proactive/prédictive. Importance du choix de la mesure de robustesse Importance du choix de la mesure de robustesse privilégier les mesures au pire (déviations) ? Modèle stochastique ? Modèle stochastique ? Conclusions ???

32 32 REFERENCES Daniels Kouvelis. Management Science 1995 Guinand Moukrim Sanlaville. Parallel Computing 2003 Hall Posner. www-iwse.eng.ohio-state.edu/ISECourses/ise824 Lebedev Averbakh. Discr. Appl Math, à para î tre Mahjoub A. These GILCO Grenoble 2004 Penz Rapine Trystram. EJOR 2001 Wallace S. Operations research 2000


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