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Conférencier : Claude MAURIN Professeur à lIUFM dAix-Marseille sur le site dAvignon Membre de la COPIRELEM Membre de léquipe dauteurs de la collection.

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1 Conférencier : Claude MAURIN Professeur à lIUFM dAix-Marseille sur le site dAvignon Membre de la COPIRELEM Membre de léquipe dauteurs de la collection « Pour Comprendre Les Maths » (PCLM) Editée par HACHETTE AIX-EGUILLES - Mercredi 12 Janvier 2011 – GRANDEURS et MESURES CYCLE 2 et CYCLE 3

2 PLAN DE LA CONFERENCE Introduction 1)Quelques précisions théoriques. 2)Les principales étapes dune progression sur une grandeur. 3)Le chapitre « Grandeurs et mesures » dans les programmes de )Etude des différentes grandeurs au programme : A) La taille dune collection B) La longueur C) La masse D) La Contenance E) Les durées F) Les aires G) Les angles 5) Les grandeurs dans la collection PCLM

3 INTRODUCTION A la suite de la publication des résultats de PISA Extrait du monde de léducation (dec 2010) : …« Près de la moitié des élèves se montrent incapables de mener un raisonnement et de manipuler les notions de durée, de longueur et de volume. 15% semblent ne pas avoir tiré bénéfice des enseignements du collège… »

4 Rôle fondateur des grandeurs mesurables Citation extraite de la conférence prononcée par Catherine HOUDEMENT, Maître de conférence en didactique des mathématiques, lors des journées académiques de lIREM de LILLE le 26 janvier 2006 : « Lapprentissage des grandeurs joue un rôle important dans les mathématiques que ce soit pour le développement du raisonnement, le renforcement de lesprit critique ou lépanouissement de la vie citoyenne. Il construit un chemin entre les insuffisances du perceptif, lintérêt des instruments de mesure (quil est nécessaire dapprendre à utiliser) et la puissance du raisonnement (dont le calcul). Il prépare un terrain dexpérience pour dautres concepts mathématiques : nombres non entiers, preuves géométriques. Cest un domaine prétexte à linterdisciplinarité, un croisement des sciences, de lhistoire, de la géographie. »

5 Les grandeurs mesurables : un tremplin vers les mathématiques. Les mathématiques se caractérisent par leur fonction danticipation sur le réel quelles cherchent à modéliser pour mieux pouvoir le prévoir. Dans cette recherche, lors de certaines expériences concrètes, les grandeurs apparaissent comme un des aspects essentiels des objets impliqués dans lexpérience. Apprendre à les identifier, à les comparer, à les mesurer, permet davancer vers une représentation du monde dans laquelle les mathématiques vont pouvoir sappliquer et permettre la prévision, puis la décision.

6 Quelques questions « naïves » : Une grandeur est-ce concret ou abstrait ? Comment distinguer le monde des objets et celui des grandeurs ? Comment distinguer une grandeur et sa mesure ?

7 Ne pas confondre lobjet qui est le support de plusieurs grandeurs et la grandeur quon étudie. La grandeur est abstraite ! Ne pas confondre une grandeur et sa mesure qui est un nombre. Toutes les mesures sont des nombres qui « masquent » les grandeurs quils sont censés représenter

8 Exemples de confusion entre mesure et grandeur : Au cycle 2 : De nombreux enfants sont capables de déclarer que : « 15 cm cest plus que 3 m parce que 15 cest plus que 3 » Au cycle 3 : On a découvert que lintroduction des décimaux à partir des conversions décimales du système métrique avait provoqué des confusions profondes dans la conception dun nombre décimal : De la conversion : 1254 m = 1,254 km les enfants déduisaient que 1254 = 1,254 !

9 Que les enseignants doivent se méfier de leffet « Canada Dry » ! Les élèves peuvent nous laisser penser quils maîtrisent une notion alors quils ne donnent pas du tout la même signification que nous aux symboles quils semblent pourtant manipuler correctement. Que faut-il retenir de ces remarques ?

10 Quel remède ? Le seul chemin possible est celui de la construction du sens. Nos élèves sont tous intelligents, si nous leur donnons loccasion de construire un parcours cohérent, sans en précipiter les étapes, ils y adhèrent, se lapproprient et deviennent autonomes.

11 1. QUELQUES PRECISIONS THEORIQUES. Objet physiqueGrandeurMesure associée à une unité Segment, baguette, corde LongueurNombre Objet pesantMasseNombre RécipientContenanceNombre SurfaceAireNombre MomentDuréeNombre

12 Extrait dune communication de Viviane DURAND- GUERRIER Maître de conférence en didactique des mathématiques, au colloque national de la COPIRELEM de DOURDAN en 2006 : « La notion de grandeur est liée à la mise en place dun protocole expérimental qui permet des comparaisons lorsque les contrôles sensoriels, en particulier perceptifs ne suffisent pas. Ce protocole doit être en accord avec les résultats obtenus par le contrôle sensoriel lorsque celui-ci fournit des informations non ambiguës. De ce fait, la première rencontre avec la notion de grandeur passe par la manipulation dobjets sensibles et lélaboration de protocoles permettant les comparaisons, directes ou indirectes. »

13 La même idée est explicitée dans les documents daccompagnement des programmes de 2002, dans le paragraphe intitulé : « Les grandeurs avant leur mesure » : « Les premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur indépendamment de la mesure et avant que celle-ci nintervienne. Le concept sacquiert progressivement en résolvant des problèmes de comparaison, posés à partir de situations vécues par les élèves, suivi de moment dinstitutionnalisation par le maître ».

14 Quelques remarques à retenir : Le caractère fondateur du protocole expérimental de comparaison dans la conceptualisation dune grandeur par les élèves. La construction de la grandeur-somme, essentielle pour atteindre la mesure, nécessite la mise au point dun protocole précis quil ne faut pas négliger avant daborder la mesure.

15 La mesure dune grandeur a pour but de remplacer les manipulations sur les objets par des opérations sur des nombres (comparaison, addition, rapport…), elle reste donc un objectif essentiel de notre enseignement. Mais lorsquelle est abordée trop tôt ou trop rapidement, elle sérige en obstacle à la perception de la grandeur quelle est censée représenter.

16 Le protocole expérimental de comparaison des objets permet de définir légalité et une relation dordre sur une grandeur. Lutilisation dun objet de référence pris comme étalon permet dinitier le processus de mesurage grâce à la notion de grandeur-somme puis de produit par un nombre, mais certains élèves confondent repérage et mesurage Le repérage consiste à associer un nombre à une grandeur de telle sorte que cette correspondance conserve lordre et légalité, alors que la mesure nécessite. La mesure implique une condition supplémentaire qui est ladditivité.

17 2.Les principales étapes que devrait respecter une progression sur une grandeur : I) Construction de la grandeur A.Comparaison directe et protocole de comparaison B.Comparaison indirecte C.Grandeur-somme et rapport entre deux grandeurs II) Mesure A.Etalon ou unité locale B.Les unités de référence. Conversions.

18 I) Construction de la grandeur A)Comparaison directe et protocole de comparaison Faire émerger la grandeur à partir dobjets divers en définissant avec précision le protocole expérimental de comparaison directe de ces objets selon la grandeur choisie. Cest au cours de cette étape que les élèves commencent à conceptualiser la grandeur.

19 B) Comparaisons indirectes : Comparer les grandeurs dobjets éloignés dans le temps ou dans lespace amène à procéder à des comparaisons indirectes faisant intervenir un objet intermédiaire. Lutilisation dun objet intermédiaire transportable permet de comprendre quon peut déplacer la grandeur sans forcément déplacer lobjet qui la porte. Cette étape fait aussi intervenir la transitivité de la relation dordre.

20 C) Grandeur-somme et rapport entre deux valeurs dune même grandeur: Construire une grandeur-somme : - Comment construire un segment dont la longueur est la somme des longueurs de deux autres segments ? (nouveau protocole) Etablir un rapport entre deux valeurs dune même grandeur (combien de fois plus ?) - « Ma règle est cinq fois plus longue que ma gomme.»

21 II) Le mesurage. A) Etalon et unité locale :Un objet va être choisi arbitrairement comme étalon, le rapport quentretient sa grandeur (qui devient une unité locale) avec celles de différents autres objets devient la mesure de la grandeur de ces objets. Cest un moyen de reproduire des objets de même grandeur, de fabriquer des grandeurs-sommes ou de multiplier une grandeur par un entier. Les opérations sur les objets sont remplacées par les opérations sur les nombres.

22 B) Les unités de référence : Comprendre que pour des besoins de communication une unité de référence doit être choisie. Lhistoire du système métrique peut opportunément être évoquée. On sefforcera dassocier les unités de référence à des objets familiers ou à des parties du corps qui seront, au début, la référence de lenfant. On découvre aussi la nécessité dadapter lunité de mesure à la grandeur à mesurer ( Voir PCLM). Des conversions peuvent devenir nécessaires. La construction et lutilisation dinstruments de mesure, la nécessité dutiliser des sous-unités, entrent aussi dans cette dernière étape accompagnant les calculs.

23 Cette dernière étape occupe souvent 95% du temps consacré à létude dune grandeur au détriment du peu de temps consacré à sa construction conceptuelle. Il faut oser réparer cette erreur !

24 3. Le chapitre « Grandeurs et mesures » dans les programmes de 2008 : Au cycle 2 : « Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre) et de temps (heure, demi- heure), la monnaie (euro, centime deuro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. »

25 Au cycle 3 : « Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre dun polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit. Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de laire dun rectangle et dun triangle. Les angles : comparaison, utilisation dun gabarit et de léquerre ; angle droit, aigu, obtus. Le repérage du temps : lecture de lheure et du calendrier. Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés. La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner du sens. A cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées. »

26 4. ETUDE DES DIFFERENTES GRANDEURS A. Un exemple naïf : la « taille » dune collection finie (GS/CP) : Les objets que lon considère sont les collections finies dobjets distincts. La grandeur mise en jeu est la « taille » de la collection. Le protocole expérimental de comparaison est la correspondance terme à terme. Le mesurage est la technique du dénombrement. La mesure de la collection est le cardinal de la collection Certaines opérations sur les collections seront traduites par des opérations arithmétiques sur leur cardinal.

27 B. La Longueur Cest une « grandeur première ». Il faut donc en profiter pour bien initialiser le processus. Le vocabulaire qui lui est associé est assez large : Hauteur, altitude, largeur, épaisseur, taille dun enfant…. - Le protocole de comparaison doit être étendu aux objets non rectilignes. - La construction de longueurs sommes de plusieurs longueurs doit être abordé avant la mesure. - Le rapport entre deux longueurs, puis le choix dune longueur de référence permet de construire une règle graduée. Sa construction permet de mieux en comprendre le fonctionnement et déviter den faire un instrument de repérage.

28 Lintroduction de la première unité de référence est laissée au choix de lenseignant : centimètre ou mètre. Il est souhaitable que chaque unité soit mise en rapport avec une partie du corps de lenfant : le mètre est la longueur dun « pas de géant » », le centimètre est à peu près la largeur dun doigt denfant. Les élèves devront assez vite comprendre que le choix de lunité dépend de la longueur à mesurer : la longueur de la cour ou celle de la trousse ne se mesurent pas avec la même unité. La combinaison des deux unités peut savérer pertinente. Des conversions peuvent devenir nécessaires mais il faut que les élèves en comprennent la nécessité : elle permettent de comparer des longueurs en comparant leurs mesures ou bien dadditionner des longueurs en additionnant leurs mesures.

29 La longueur est une « grandeur-mère » : elle est la plus facile à graduer, ce qui permet de lutiliser dans la plupart des instruments de mesure servant à mesurer dautres grandeurs plus complexes : masse, contenance, durée… Elle est aussi la grandeur de base dans les calculs daire ou de volume, ce qui en fait une grandeur de base dans le système métrique. Dans certains problèmes, les segments de droite et leur longueur servent à schématiser dautres grandeurs. Au cycle 3 les élèves devront aussi apprendre à se libérer des mesures effectives de longueurs pour apprendre à lire des schémas à main levée ou des schémas côtés.

30 Exercice donné dans une évaluation nationale de 6° : Enoncé : Ceci est un schéma à main levée. ABCD est un rectangle, sa longueur est 6 cm, sa largeur est 4 cm. A est le centre du cercle qui passe par B. Le cercle coupe le côté AD au point E. Quelle est la longueur du segment DE ?

31 BC A D E 4 cm 6 cm Réponses relevées : A) DE = 3 cm B) DE = 2 cm 3mm C) DE = 2 cm Comment les interpréter ?

32 C. La masse -A lécole on acceptera de confondre la masse et le poids. -Il faut aider les élèves à ne pas confondre masse et volume. -Le premier protocole expérimental de comparaison des objets selon leur masse va sappuyer sur laction de soupeser les objets. Celui-ci se révélant rapidement incertain, on introduit la balance de Roberval pour lever les doutes sans omettre détablir le lien entre le fonctionnement de la balance et les sensations kinesthésiques perçues lors de la comparaison de deux objets de masses très différentes. La brochure « Grandeurs et Mesures au cycle 3 » éditée par lIREM de LILLE propose la construction dune balance porte-manteau.balance porte-manteau.

33 Des comparaisons indirectes utilisant un fluide facile à doser (sable par exemple) permettront de comparer les masses dobjets distants dans le temps ou dans lespace et aideront les élèves à distinguer la masse de la forme de lobjet qui la porte. Elles favoriseront aussi un travail sur la transitivité, qui est une propriété fondamentale des raisonnements logiques, lorsquil faudra effectuer des rangements dobjets selon leur masse à laide dune balance de Roberval. Le mesurage avec une masse de référence arbitraire (unité locale) comme par exemple des billes de terre censées avoir toutes la même masse, permet de faire des comparaisons et de sapproprier lidée de mesure à laide de la balance de Roberval. La pesée à laide de masses marquées devrait précéder les pesées avec une balance graduée ou à affichage digital, même si le rapport entre ces deux types de mesures doit être établi.

34 La définition du kilogramme comme masse-unité de référence sera mise en rapport avec la masse dune bouteille contenant un litre deau. Le rapport entre le gramme et le Kilogramme ne devra pas se limiter à : 1 Kg = 1000 g, il faut aussi que les élèves soient capables de prévoir quels sont les objets dont la masse se mesure en grammes et ceux dont la masse se mesure plutôt en kilo (I) (Voir PCLM) Au cycle 3, un travail expérimental sur légalité des moments dune force par rapport à un point fixe pourra permettre de comprendre le fonctionnement dune balance romaine. La brochure « Grandeurs et Mesures au cycle 3 » éditée par lIREM de LILLE propose la construction dun pèse-cheveu qui permet de développer un travail intéressant au cycle 3.pèse-cheveuau cycle 3

35 En règle générale les conversions de longueurs ou de masses devraient être reliées à des situations de proportionnalité et sappuyer aussi bien sur le coefficient de proportionnalité : « une mesure en grammes est 1000 fois plus grande que la mesure de la même masse en kilo. » que sur les propriétés de conservation des rapports entre deux mesures de masses dans la même unité : « Une masse qui pèse 3 Kg est trois fois plus lourde quune masse de 1 Kg, une masse de 1 Kg pèse 1000 g, donc une masse de 3 Kg pèse trois fois plus : 3000 g. » Il sagit des propriétés associées à la linéarité multiplicative encore appelées conservation des rapports scalaires.

36 D. La contenance - Le protocole expérimental de comparaison des contenances de deux récipients est fondé sur le transvasement. - Le travail expérimental de rangement de plusieurs récipients selon leur contenance est encore une bonne occasion de faire intervenir la transitivité. - Les verres-doseurs utilisés dans les recettes font apparaître un risque de confusion entre masse et volume (ou contenance), il nest donc pas inutile de faire remarquer quun même récipient na pas la même masse selon quil est rempli de farine, de sucre ou deau. La contenance ne se distingue du volume intérieur dun récipient que par le choix des unités : pour la contenance le litre et ses multiples et sous-multiples sont construits sur la base dix, pour le volume les unités déduites des unités de longueur vont de mille en mille : 1m 3 = (10 dm) 3 = 1000 dm 3

37 E. Repères chronologiques et Durée : - Les repères chronologiques : La première perception est celle du temps qui passe, notre vie sinscrit dans lécoulement chronologique du temps. Les « dates » ou les « instants » sont des repères qui sordonnent de façon naturelle en fonction de leur ordre dapparition. Les « dates » ne sont pas des grandeurs mesurables. La lecture de lheure est un repère chronologique, elle entre dans la catégorie des « dates ». Les mots « heure », « demi » ou « minutes » que prononcent les élèves en disant lheure, nexpriment pas encore pour eux des durées, ils permettent seulement de mieux repérer la position de certains moments dans le déroulement dune journée. Le temps est dabord perçu comme linéaire avant dêtre perçu comme cyclique (alternance jour/nuit, semaine, années…). Cette dernière perception est avant tout sociale.

38 Quelques repères réalistes : - Tous les enfants devraient parvenir à bien se repérer dans le déroulement dune journée de classe en fin de maternelle (GS). -Ils parviennent à se repérer correctement dans une semaine en fin de CP ou de cycle 2. - Ils doivent savoir lire lheure en début de cycle 3 - Le repérage sur lannée prenant appui sur un calendrier nest effectif quau cours du cycle 3 même si on commence à laborder au cycle 2. Le vocabulaire employé dans le langage courant naide guère les enfants à distinguer les notions de repères chronologiques et celle de durée : « Il est 10 heures, jai dormi 10 heures » « Il y a dix ans javais trente ans »

39 La durée ne doit pas être confondue avec le repérage chronologique. Cest une grandeur mesurable qui mérite dêtre construite pas à pas, mais sa construction est particulièrement délicate et semble difficile avant le cycle 3. Elle est souvent représentée par la longueur dun segment, les extrémités du segment se plaçant sur laxe du temps qui passe. temps qui passe 8 h9 h10 h 8 h 409 h 20 Le temps vécu nest pas perçu comme uniforme.. Ceci doit être ouvertement abordé avec les enfants

40 Le protocole expérimental permettant de comparaison directe des durées de deux moments nécessite que les deux moments débutent au même instant (simultanéité). Quand ce nest pas le cas, on peut « emprisonner » la durée du premier moment dans un sablier pour pouvoir la comparer à celle du second moment (comparaison indirecte). La durée dun sablier peut aussi être utilisée comme durée de référence et permettre détablir les premières mesures de durées : « La récréation du matin a duré 8 sabliers, celle de laprès-midi a duré 9 sabliers, elle est donc plus longue ». Ce genre de travail amène les élèves à mieux comprendre ce quest une mesure de durée et à distinguer durée et repères chronologiques.

41 La seconde est lunité légale de mesure des durées. Elle est souvent associée au temps séparant deux mots- nombres successifs de la comptine numérique. Pour ne pas que la récitation soit trop rapide il vaut mieux énoncer un mot bref entre chaque mot nombre : 1 « toc », 2 « toc », 3 « toc »… La minute La minute va apparaître comme un groupement de 60 secondes facilitant la mesure des durées dont la mesure en secondes devient trop importante. On va constater que le chronomètre utilisé en EPS mesure les durées en minutes et secondes. Lheure napparaît que pour les durées longues comme un moyen dexprimer une durée de 60 minutes. Quand les élèves ont assimilé ces différentes relations la connexion avec la lecture de lheure peut être faite et les calculs de durées peuvent prendre du sens. Cela ne peut fonctionner efficacement quen fin de cycle 3.

42 F. Laire Laire est une grandeur mesurable associée à lobjet « surface ». Elle ne possède guère de synonymes fidèles, on la compare souvent à létendue dune surface ou à la place quoccupe une surface, or cela est souvent associé par les élèves à « lencombrement » : un rectangle de 10 cm de long sur 4 cm de large sera souvent considéré comme plus « étendu » quun carré de 7 cm de côté alors que son aire est inférieure à celle du carré. Cest le protocole expérimental de comparaison des surfaces qui va le mieux permettre aux élèves de comprendre ce quest laire dune surface. Ce protocole nest pas simple !

43 Le cas de comparaison directe le plus simple est celui où lune des deux surfaces (A) est entièrement contenue dans lautre surface (B), on déclare alors que laire de A est inférieure à laire de B. A B A

44 Les choses se compliquent quand lune des deux surfaces dépasse le contour de lautre sans la recouvrir entièrement. A B A Il faut alors procéder à des découpages pour comparer la partie de A qui dépasse de B à la partie de B qui dépasse de A. En réitérant éventuellement plusieurs fois lopération.

45 Ce nest que lorsquon parvient à une exacte superposition sans chevauchement des différentes parties de A avec les différentes parties de B quon peut affirmer que laire de A est égale à laire de B. Si toutes les parties de A finissent par être entièrement contenues dans les parties de B alors laire de A est déclarée inférieure à laire de B. Pour faciliter la compréhension de ce procédé complexe, on utilise généralement des parties polygonales de forme simple nourrissant entre elles dévidentes relations de complémentarité. Exemple :

46 Les trois formes fabriquées à partir des deux triangles jumeaux ont nécessairement la même aire. Les pièces du Tangram se prêtent particulièrement bien à ce travail de décomposition/ recomposition de formes de même aire. Elles peuvent aussi permettre détablir des rapports entre leurs aires qui préfigurent la mesure des aires.

47 Avant dadopter les unités déduites du système métrique pour mesurer certaines aires (mètre carré : m² ; décimètre carré : dm² ; centimètre carré : cm²) il est recommandé dinsister sur le fait que chacune de ces unités est une aire qui ne dépend pas de la forme quon lui donne, cette forme nétant pas nécessairement carrée !

48 Voici par exemple trois surfaces de forme différentes représentant chacune une aire dun décimètre-carré. 1 dm² 1 dm²1 dm²

49 Un autre écueil que rencontrent les élèves au cycle 3 est de considérer quune même surface étant porteuse de deux grandeurs géométriques différentes : son périmètre qui est une longueur, et son aire ; ces deux grandeurs varient forcément de la même façon. Si lune augmente, lautre aussi. Or cette idée est fausse et il est souhaitable de le faire réaliser aux élèves : A B Laire de A est supérieure à laire de B car on a enlevé une partie de A pour fabriquer B. Par contre le périmètre de A est inférieur au périmètre de B car un segment de droite est le plus court chemin pour rejoindre deux points.

50 Laire est une grandeur mesurable, mais il nexiste aucun instrument pour la mesurer, il faut la calculer, ce qui nest pas toujours facile. La première « formule de calcul daire » est celle du rectangle. Dans cette formule les élèves découvrent quon peut multiplier des longueurs par des longueurs pour obtenir une aire. Cest un aspect de la multiplication qui entre en rupture complète avec la multiplication conçue comme addition réitérée. Cest laspect « produit de mesure ».

51 Exemple : Un rectangle qui a pour longueur 5 côtés de carreau et pour largeur 3 côtés de carreau, a une aire égale à laire de 15 carreaux. Dans cette étape il ne faut pas confondre le côté du carreau qui est une unité de longueur avec le carreau dont laire devient lunité daire, cest ce qui permettra aux élèves de comprendre que 5 m 3 m = 15 m² et non pas 15 m. Un abus de langage du maître peut entraîner des confusions lourdes de conséquences chez les élèves.

52 Depuis les programmes de 2008, on étudie aussi au cycle 3 laire du triangle que lon déduit de celle du rectangle. Cela peut se justifier par le fait que tout polygone étant triangulable, si on connaît un moyen de calculer laire dun triangle, on peut arriver à calculer laire de nimporte quel polygone. Toutefois il ne faut pas tomber dans linflation de formules car au cycle 3 un élève doit dabord penser à décomposer et recomposer une aire avant de penser la calculer. Exemple : Quelle est laire de cette figure ? La même que celle de la figure ci-contre que je sais calculer !

53 G. Les angles Le support de la grandeur « angle » est le couple de demi- droites de même origine. Chaque couple de demi-droites est associé à deux régions du plan : un secteur angulaire saillant et un secteur angulaire rentrant. Généralement cest le secteur saillant qui est pris en compte. Lintroduction souvent trop rapide du mot « angle » ne facilite pas sa compréhension. O x y

54 Les élèves de cycle 3 confondent angle et longueur des côtés du secteur angulaire, ou bien angle et surface comprise entre les côtés dun triangle quils ferment par un troisième côté imaginaire. Pour éviter ces confusions il faut clarifier le protocole expérimental de comparaison qui fait appel au papier calque : si les sommets et les deux côtés du secteur angulaire coïncident au moins partiellement on déclare que les deux angles sont égaux. On vérifie avec un calque que ces deux angles sont égaux. A S

55 La mesure des angles nest pas au programme du cycle 3 et cest une bonne chose car cela permet aux élèves de mieux sapproprier la grandeur angle avant dapprendre à la mesurer au collège. En comparant différents angles à un angle droit on aboutit à la différence entre angles aigus et angles obtus. Toutefois il est souhaitable daborder la construction de la somme de deux angles en faisant coïncider leur sommet, un de leur côté et en plaçant les autres côtés de part et dautre de leur côté commun.

56 Il nest pas interdit alors de constater que les trois angles dun triangle ont pour somme un angle plat quelle que soit la forme du triangle, ou que les trois angles dun triangle équilatéral sont égaux et représentent donc chacun un tiers dangle plat. La comparaison des angles de certains polygones nécessitera fréquemment de prolonger les côtés du polygone au-delà de leur longueur initiale, cest un geste auquel il ne faut pas hésiter à habituer les élèves de CM2 afin quils se libèrent de la relation entre valeur de langle et longueur des côtés.

57 5.Grandeurs et Mesures dans la collection PCLM ( « Pour comprendre les maths » de Hachette) Au cycle 2 : Sommaire du fichier de CP : Leçon 25 : Ranger du plus petit au plus grand. Leçon 34 : Utiliser la monnaie. Procédures personnelles. Leçon 45 : Utiliser la monnaie. Vers une procédure experte. Leçon 48 : Se repérer dans le temps. Leçon 65 : Comparer des longueurs (1) Leçon 79 : Comparer des longueurs (2) Leçon 93 : Compter avec la monnaie

58 Leçon 94 : Lheure (1). Leçon 99 : Les jours et les mois de lannée. Leçon 104 : Mesurer une longueur par report dunité. Leçon 117 : Utiliser la règle graduée. Leçon 124 : Lheure (2) Leçon 133 : Plus lourd, plus léger. Leçon 134 : Utiliser la règle graduée. Leçon 139 : Vers le CE1. Se repérer dans le mois. Soit 15 leçons consacrées au thème « Grandeurs et mesures » sur lannée de CP

59 Sommaire du fichier de CE1 Leçon 30 Leçon 30 : Mesure des longueurs (1) Leçon 54 Leçon 54 : Mesure des longueurs (2) Leçon 64 : Le calendrier (1) Leçon 78 : Lheure (1) Leçon 79 : Lheure (2) Leçon 82 Leçon 82 : Mesure des longueurs (3) Leçon 83 Leçon 83 : Mesure des longueurs (4) Leçon 99 : Jour, heure et minute Leçon 106 : Le calendrier (2) Leçon 112 Leçon 112 : Mesure des longueurs (5) Leçon 113 Leçon 113 : Mesure des longueurs (6)

60 Leçon 122 : Comparaison des masses. Leçon 123 : Mesure des masses :g et kg. Leçon 125 : Mesure des contenances : Le litre. Leçon 133 : Le calendrier (3) Soit à nouveau 15 leçons consacrées au thème « Grandeurs et Mesures » au CE1.

61 Au cycle 3 : Sommaire du fichier de CE2 : Leçon 3 : Comparer des longueurs. Leçon 14 : Mesurer des longueurs avec la règle graduée. Leçon 15 : La monnaie. Leçon 29 : Unités de longueur (1) Leçon 48 : Unités de longueur (2) Leçon 49 : Lire lheure (1) Leçon 59 : Ajouter ou retrancher des longueurs. Leçon 93 : Périmètre dun polygone. Leçon 68 : Lire lheure (2) Leçon 72 : Unités de temps.

62 Leçon 76 : Mesurer une masse. Leçon 80 : Le calendrier. Leçon 91 : Unités de masse. Leçon 95 : Construire et utiliser un calendrier. Leçon 98 : Mesurer une contenance. Leçon 101 : Utiliser des instruments de mesure. Sommaire du fichier de CM1 : Leçon 7 : Du mètre au millimètre. Leçon 9 : Lire lheure. Leçon 23 : Calcul de durées (1) Leçon 27 : Du mètre au kilomètre. Leçon 33 : Calcul de durées (2).

63 Leçon 37 : Le calendrier. Leçon 47 : Les masses. Leçon 48 : Les angles. Leçon 52 Leçon 52 : Les aires : comparaison Leçon 56 Leçon 56 : Mesure des aires. Leçon 60 Leçon 60 : Aire et périmètre. Leçon 68 : Contenances. Leçon 83 : Unités de mesure et système décimal. Leçon 86 : Périmètre du carré et du rectangle. Sommaire du fichier de CM2 : Leçon 10 : Mesure des longueurs (1) Leçon 24 : Mesure des aires : unité arbitraire.

64 Leçon 38 : Mesurer des aires : encadrement. Leçon 44 : Comparer et tracer des angles. Leçon 47 : Périmètre du carré et du rectangle. Leçon 48 : Mesure des longueurs (2). Leçon 49 : Aire et périmètre. Leçon 53 : Mesure des masses. Leçon 59 : Angles et triangles particuliers. Leçon 60 : Périmètre du disque. Leçon 62 : Calcul des durées. Leçon 64 : Mesure des aires : unités usuelles. Leçon 65 : Aire du triangle. Leçon 71 : Mesure des contenances. Leçon 75 : Sport et mathématiques Leçon 80 : Vers la sixième : Volume du pavé droit.

65 Conclusion Les grandeurs mesurables ne sont pas aussi évidentes à percevoir au travers des objets qui les portent quun adulte instruit peut le penser. Le protocole expérimental de comparaison des objets relativement à une grandeur donnée est ce qui permet le mieux aux élèves de concevoir la grandeur mise en jeu, il ne faut donc pas le négliger. La mesure dune grandeur ne doit pas être présentée de façon trop précoce sous peine de masquer la grandeur quelle est censée représenter. Lapprentissage sétalant toujours dans la durée, il faut offrir plusieurs occasions aux élèves de revenir sur les notions abordées comme la collection PCLM sefforce de le faire.

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77 FABRIQUER UN MILLIGRAMME : Quand on utilise du papier pour photocopieuse de format A4 de 80 g cela signifie quun mètre carré de ce papier pèse 80 g. Or une feuille de format A 0 a une aire de 1 m², elle pèse donc 80 g Le format normalisé vérifie la propriété quen pliant une feuille de format A n en deux suivant un pli parallèle à sa largeur, on obtient deux feuilles de format A n+1 A 0 = 2 A 1 = 4A 2 = 8A 3 = 16A 4 On en déduit quune feuille de format A 4 pèse 5 g RetourRetour Ses dimensions étant 21 cm sur 29,7 cm, il devient possible de la diviser en 5, puis en 10, puis en mm 297 mm pèse 1 g 42 mm 29,7 mm pèse 1dg 42 mm 2,97 mm pèse 1cg 4,2 mm 2,97 mm pèse 1 mg


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