Journée régionale de lAPMEP Mercredi 17 mars 2004 On trouvera ci-dessous le diaporama utilisé par Michèle Artigue (Université Paris 7 et IREM), lors de.

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1 Journée régionale de lAPMEP Mercredi 17 mars 2004 On trouvera ci-dessous le diaporama utilisé par Michèle Artigue (Université Paris 7 et IREM), lors de la conférence quelle a donnée le 17 mars 2004 à lIUFM de Grenoble. On pourra également se reporter au numéro 449 du bulletin vert de lAPMEP (Novembre-Décembre 2003), dans lequel Michèle Artigue traite des aspects voisins de ceux quelle a évoqués à cette occasion.

2 Enseigner les mathématiques aujourdhui, pourquoi? Pour qui ? Comment ? Michèle Artigue Université Paris 7 et IREM

3 Plan Une question récurrente mais sans cesse renouvelée Des tendances générales convergentes : –Mathématiques pour tous –Mathématiques et citoyenneté –Mathématiques et autres disciplines –Compétences / Contenus Mais aussi une réelle diversité : –Au niveau des cultures –Au niveau des contenus : le cas de lalgèbre

4 Une interrogation récurrente… Alain (1932) : « Un grand homme détat a exprimé en deux mots ce que chaque être humain doit savoir le mieux possible : géométrie et latin… La géométrie est la clef de la nature. Qui nest point géomètre ne percevra jamais bien ce monde où il vit et dont il dépend. Mais plutôt il rêvera selon la passion du moment, se trompant lui-même sur la puissance antagoniste, mesurant mal, comprenant mal, comptant mal, nuisible et malheureux… Il nen faut pas plus mais il nen faut pas moins. Celui qui na aucune idée de la nécessité géométrique manquera lidée même de nécessité extérieure. Toute la physique et toute lhistoire naturelle ensemble ne la lui donneront point… Le beau de la géométrie est quil y a des étages de preuves, et quelque chose de net et de sain dans toutes »

5 Une interrogation récurrente… NCTM Standards (2002) « Nous vivons dans un monde mathématique, où chaque fois que nous décidons un achat, que nous choisissons une assurance ou un plan de santé, que nous utilisons un tableur, nous nous appuyons sur une compréhension mathématique.Internet, les cédéroms et les autres média diffusent de grandes quantités dinformation. Le niveau de pensée mathématique et les capacités de résolution de problèmes requises au travail se sont accrues dramatiquement. Dans un tel monde, ceux qui comprennent et peuvent faire des mathématiques auront des opportunités que les autres nauront pas. Les compétences mathématiques ouvrent des portes. Labsence de celles-ci les ferme. »

6 Des réponses récurrentes La transmission dune culture, patrimoine de lhumanité La formation de lesprit à travers raisonnement et rigueur Lapprentissage de connaissances « utiles » voire nécessaires pour la vie sociale Le développement du capital mathématique et scientifique des sociétés

7 Mais des équilibres, des interprétations changeantes liées Aux évolutions culturelles, sociales, scientifiques et technologiques Mais aussi : Aux conceptions de lapprentissage et à lévolution de nos connaissances sur les processus associés

8 Lintérêt dun regard extérieur Questionner certaines « évidences » Elargir notre champ de référence Nous aider à mieux comprendre notre situation particulière en mettant en évidence des convergences et différences avec dautres contextes culturels et institutionnels

9 Quelques tendances générales Des mathématiques pour tous Des mathématiques au service dune citoyenneté démocratique Des mathématiques plus ouvertes sur lextérieur Et, au service de ces tendances, de nouvelles approches curriculaires où les compétences tendent à prendre le pas sur les contenus.

10 Des mathématiques pour tous Le premier principe à la base des NCTM Standards : le principe déquité : –Tous les élèves, quels que soient leurs caractéristiques personnelles, culturelles et physiques doivent avoir les mêmes possibilités détudier et dapprendre des mathématiques… –On doit avoir des ambitions élevées en termes dapprentissage pour tous les élèves Mais dans le même temps, des difficultés à mettre en œuvre ce principe provoquant des tensions évidentes : le cas du programme « No child left behind ».

11 Mathématiques et citoyenneté Une éducation promouvant des valeurs démocratiques Une société de plus en plus numérisée Quantitative literacy Mathematics and Democracy (NCED)

12 La notion de « quantitative literacy » La capacité à gérer les aspects quantitatifs de la vie. Une capacité inséparable des contextes et qui se développe plus « horizontalement » que « verticalement ». Une vision où les statistiques, le raisonnement sur lincertain jouent un rôle essentiel. Mais une question essentielle, celle des rapports entre : « quantitative literacy » et mathématiques

13 Des mathématiques ouvertes sur lextérieur Des mathématiques recherchant le dialogue avec les autres disciplines scolaires. Des mathématiques ouvertes sur lextérieur de lécole : –le développement dune pédagogie de projets, –lexemple des pays nordiques.

14 De nouvelles approches curriculaires: compétences /contenus Une importance croissante accordée à lidentification des compétences que léducation mathématique doit développer. Une organisation curriculaire qui reflète cette évolution.

15 Le projet Danois KOM (www.nvfaglighed.emu.dk) Utiliser la notion de compétence pour structurer le curriculum : –la compétence mathématique est définie comme la capacité dun individu à agir de façon mathématiquement appropriée face à une situation problématique, –personne nest totalement compétent (respectivement incompétent).

16 Les raisons dun tel choix: lutter contre la « syllabusitis » Syllabusitis : Penser que la maîtrise dun domaine peut être identifiée à celle des contenus dun programme. Une approche qui rend difficile, selon les auteurs du projet : –de clarifier ce quest la formation mathématique, –de faire une place au travail essentiel de mathématisation, –de prendre en compte des types et des niveaux différents de besoins mathématiques.

17 Une classification des compétences autour de 8 pôles Penser mathématiquement Poser et résoudre des problèmes mathématiques Analyser et construire des modèles mathématiques Raisonner mathématiquement Représenter des entités mathématiques Manipuler des symboles et formalisations mathématiques Communiquer en, avec et à propos de mathématiques Savoir utiliser aides et instruments, dont les TIC

18 Les compétences (suite) Des compétences déclinables ensuite suivant les domaines mathématiques et les niveaux, et évaluées selon trois dimensions : le niveau dapprofondissement, le rayon daction, le niveau technique.

19 Et, complétant ces 8 pôles… Des vues densemble et avis sur : –les applications actuelles des mathématiques dans dautres disciplines et dans les pratiques, –le développement historique des mathématiques, –la nature des mathématiques comme discipline.

20 Un exemple de problème 10 = 44 Une vitesse élevée tue ! Une voiture conduit à la vitesse de 50km/h est dépassée par une voiture roulant à 60 km/h. Quand les deux voitures sont juste côte à côte, une petite fille sengage sur la route quelques mètres devant. Les deux conducteurs pilent au même instant et leurs voitures ont des capacités de freinage identiques. La première voiture sarrête juste à temps, la seconde heurte la petite fille à 44 km/h. 7 enfants sur 10 meurent dans un tel accident.

21 Mais aussi des diversités indéniables reflétant la diversité des cultures Linfluence de systèmes de valeurs très différents qui dépassent le seul monde de léducation Des organisations et choix curriculaires très divers : –curriculum intégré ou non, –équilibres entre les domaines, –stratégies didactiques.

22 Le cas de lentrée dans le monde de lalgèbre Trois stratégies principales : lentrée par le monde des équations, lentrée par la recherche de « patterns » et les formules, lentrée par les fonctions.

23 Trois stratégies principales Privilégiant chacune un certain rapport à la lettre. Posant de façon différente les rapports arithmétique / algèbre. Exploitant des fonctionnalités différentes de lalgèbre. Induisant des dynamiques dapprentissage différentes.

24 Lentrée par patterns et formules Nombre généralisé, généralisation Equations Fonctions Pays anglo- saxons

25 La bordure (IREM de Poitiers) Combien de carreaux dans la bordure pour un carré de côté 4, de côté 10 ? Comment trouver le nombre de carreaux pour nimporte quel carré ? N+N+N+N+4, 4N+4 4(N+2)-4 2(N+2)+2N (N+2) 2 -N 2

26 Patterns et formules : vers fonctions et équations Si je double le côté du carré, que se passe-t-il pour la bordure ? Est-ce quil y a des bordures de 200, 210, 1000 carreaux ?

27 Patterns et formules : larticulation de registres sémiotiques

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29 Lentrée par formes et formules Une entrée qui privilégie un parcours : –Nombre généralisé – Variable – Inconnue –Généralisation – Fonctions – Equations Une entrée qui adoucit la transition arithmétique / algèbre. Une entrée qui est généralement associée à des enseignements précoces de lalgèbre. Une entrée qui réhabilite le travail sur les formules.

30 Les entrées dans le monde algébrique Equations France Hongrie Israel Italie Hong Kong Fonctions

31 Les entrées dans le monde algébrique La modélisation fonctionnelle de situations Equations Pays Bas Japon

32 Les Pays Bas : Realistic Mathematics Education Une entrée par des situations fonctionnelles « réalistes », en utilisant divers registres sémiotiques Une entrée dès le début du collège avec une grande attention accordée à la modélisation et à la progressivité du symbolisme Une routinisation des procédures qui ne seffectue que plus tardivement (grade 10)

33 La diversité curriculaire en algèbre Des choix sensiblement différents pour lentrée dans le monde algébrique : –Entrée précoce ou non –Généralisation, Equations, Fonctions Mais aussi La répercussion des structures générales : curriculum intégré ou non Des attentes très différentes dans la maîtrise technique

34 Que retirer de ces comparaisons ? Lentrée dans le monde algébrique : une entrée reconnue universellement comme problématique et dont on comprend mieux la complexité aujourdhui du fait des nombreuses recherches menées dans ce domaine. Diverses stratégies possibles. Lintérêt au début du collège dun travail sur patterns et formules qui peut aider à mettre en place de façon moins brutale le symbolisme algébrique tout en faisant vivre une valeur essentielle de lalgèbre : sa valeur doutil de généralisation.