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Septembre 20041 30 ANS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE ET DOPTIMISATION Yves Crama Ecole dAdministration des Affaires.

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1 Septembre 20041 30 ANS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE ET DOPTIMISATION Yves Crama Ecole dAdministration des Affaires

2 Septembre 20042 PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles

3 Septembre 20043 Intro… HOMER SIMPSON A CYBERLAND

4 Septembre 20044

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10 10 PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles

11 Septembre 200411 Vieille question: Pourquoi certains problèmes mathématiques sont-ils (ou semblent-ils) intrinsèquement plus difficiles à résoudre que dautres ?

12 Septembre 200412 Gödel, Turing, Von Neumann ~1965: Jack Edmonds introduit la notion de « bonne caractérisation » des solutions et dalgorithme «polynomial». ~ 1972: Stephen Cook définit les classes de problèmes P et NP

13 Septembre 200413 Idée : distinguer entre les problèmes 1) pour lesquels on peut « facilement » trouver la réponse; 2) pour lesquels on peut « facilement » vérifier quune réponse est correcte, lorsquelle est connue; 3) les autres…. P et NP

14 Septembre 200414 Exemple 1: Déterminer si léquation du second degré 5x 2 - 4x - 3 = 0 possède deux racines distinctes. Facile à résoudre… (« oui »)

15 Septembre 200415 Exemple 2: Déterminer si N 1 = 281472829095937 est un nombre premier. Pas très facile à résoudre… La réponse est « non ».

16 Septembre 200416 281472829095937 = 131071 2147483647 Preuve:

17 Septembre 200417 Exemple 3 (voyageur de commerce): Déterminer si il existe une tournée de longueur inférieure à 1650 kms visitant 67 grandes villes de Belgique. Pas très facile à résoudre… La réponse est « oui ».

18 Septembre 200418 Preuve: Il suffit que je donne la tournée:

19 Septembre 200419

20 Septembre 200420

21 Septembre 200421 Exemple 3 (suite): Déterminer si il existe une tournée de longueur inférieure à 1500 kms visitant 67 grandes villes de Belgique. Pas très facile à résoudre… La réponse est « non ».

22 Septembre 200422 Preuve: ????

23 Septembre 200423 Problèmes de décision Un problème de décision est une question qui admet une réponse « Oui » ou « Non ».

24 Septembre 200424 P et NP Un problème de décision est dans P (polynomial) si il peut être résolu par un algorithme efficace, cest-à-dire un algorithme dont le temps de calcul n'augmente pas trop rapidement (polynomialement) avec la taille du problème à résoudre.

25 Septembre 200425 P et NP Un problème de décision est dans NP (polynomial non déterministe) si il existe une preuve permettant de vérifier efficacement la validité de la réponse lorsque cette réponse est « Oui ». (par exemple, « existe-t-il une tournée de longueur au plus 1650…? »)

26 Septembre 200426 P vs NP Il est à peu près évident que P et NP sont deux classes différentes de problèmes. En fait, P contient par définition des problèmes « faciles » à résoudre, alors que certains problèmes très difficiles sont dans NP.

27 Septembre 200427 NP problème du voyageur de commerce programmation linéaire en variables binaires ordonnancement dateliers localisation dentrepôts etc.

28 Septembre 200428 Cook (1972) a conjecturé que P nest pas égal à NP. Mais personne na pu le démontrer rigoureusement !! Il sagit dun des problèmes ouverts les plus célèbres des maths et de linformatique théorique. P = NP ?

29 Septembre 200429 P = NP ? A loccasion du passage à lan 2000, le Clay Mathematics Institute a offert 1 million de dollars pour la solution de cette question (et de lhypothèse de Riemann, etc.) De là lintérêt dHomer Simpson…

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31 Septembre 200431 PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles

32 Septembre 200432 Programmation linéaire (PL) Min c j x j s.c. j a ij x j b i (i = 1,…,m) Résolu par lalgorithme du simplexe (Dantzig 1947). Archétype du modèle doptimisation en RO.

33 Septembre 200433 Complexité de la PL Les travaux dEdmonds, Cook et al. soulèvent de nouvelles questions: PL est-il dans NP ? Oui (quand une solution est connue, il est facile de calculer sa valeur).

34 Septembre 200434 Complexité de la PL PL est-il dans P ? Oui (parce que la méthode du simplexe est efficace)? Pas évident… Klee et Minty (1972) observent que la méthode du simplexe peut effectuer un nombre exponentiel d'itérations sur certains exemples et n'est donc pas un algorithme polynomial (« efficace »).

35 Septembre 200435 Complexité de la PL PL est-il dans P ? Cette question a généré un nouvel intérêt pour la PL et un important courant de résultats.

36 Septembre 200436 Complexité de la PL Khachiyan (1979) propose un algo polynomial pour la PL – mais inefficace en pratique! Karmarkar (1984) décrit un algo polynomial et efficace en pratique: méthode de point intérieur.

37 Septembre 200437 Retombées algorithmiques Développement de nouvelles méthodes de points intérieurs, de plus en plus efficaces Suscite des améliorations spectaculaires de la méthode du simplexe.

38 Septembre 200438 État des lieux Empiriquement, méthodes du simplexe et de point intérieur sont complémentaires (selon les caractéristiques du problème à résoudre).

39 Septembre 200439 État des lieux De 1987 à 2002, réduction du temps de calcul pour la solution de grands problèmes: facteur de 1.000.000 (1 an 30 sec), dont - facteur de 1000 dû au « hardware » - facteur de 1000 dû aux algorithmes

40 Septembre 200440 Heuristiques Puisque certains problèmes ne peuvent pas être résolus en temps polynomial: Heuristiques: méthodes approchées efficaces Métaheuristiques: stratégies génériques de développement dheuristiques

41 Septembre 200441 Heuristiques Exemples: - recuit simulé (simulated annealing) - exploration tabou (tabu search) - algorithmes génétiques - arrondi déterministe ou stochastique, voisinages variables, algorithmes de fourmis, réseaux de neurones, …

42 Septembre 200442 PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles

43 Septembre 200443 Tendance lourde: Développement simultané et « symbiotique » de linformatique (micro-informatique, structures de données, bases de données, systèmes embarqués,…) et de la RO. Intégration croissante des algos doptimisation dans les systèmes dinformation et daide à la décision.

44 Septembre 200444 Exemples: - calcul de routes et de tournées (navigateurs GPS, transport routier, Géoroute, …) - construction dhoraires (écoles, infirmiers, équipes douvriers,…) - planification de production (affectation aux unités de production, gestion des stocks, ordonnancement, projets,…)

45 Septembre 200445 Exemples: - optimisation des achats (localisation, rabais, …) - optimisation des recettes de production (pétrochimie, agro-alimentaire,…) - découpe de matériaux (verre, métal, tissu) - électronique (conception et production de circuits intégrés)

46 Septembre 200446 Exemples: - yield management (optimisation des réservations et pricing pour les compagnies de transport, hôtels, …) - optimisation de portefeuilles financiers - moteurs de recherche Internet - bioinformatique (identification de structures génétiques) - etc.

47 Septembre 200447 Un exemple dintégration: ERP - APS 1970-80: Systèmes MRP - aide à la gestion des matières (approvisionnement des stocks, lancements de production) - comportent des fonctionnalités doptimisation, peu utilisées

48 Septembre 200448 Un exemple dintégration: ERP - APS 1990: Systèmes ERP - systèmes dinformation couvrant les différentes fonctions de lentreprise (production, stocks, achats, clients, personnel, comptabilité, …) - peu de capacité doptimisation

49 Septembre 200449 Un exemple dintégration: ERP - APS 2000: Systèmes APS (Advanced Planning Systems) - compléments aux ERP - optimisation de lallocation des ressources, planification de production, ordonnancement dateliers, etc

50 Septembre 200450 Un exemple dintégration: ERP - APS Rendus possibles grâce à ladoption des systèmes ERP (dont ils utilisent les bases de données) et à lamélioration des performances des algorithmes doptimisation (programmation linéaire, programmation en variables entières, heuristiques, …)

51 Septembre 200451 Conclusions

52 Septembre 200452 De la théorie à la pratique… Cheminement: théorie de la complexité (informatique théorique) algorithmes doptimisation plus efficaces (simplexe, point intérieur, heuristiques) systèmes daide à la décision performants (ERP, etc)

53 Septembre 200453 The worlds most important invisible profession… Les algorithmes de RO sont intégrés de plus en plus complètement dans les systèmes daide à la décision ils deviennent invisibles pour lutilisateur (cf. M. Jourdain) Cest probablement une preuve de succès.

54 Septembre 200454


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