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Septembre 20041 30 ANS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE ET DOPTIMISATION Yves Crama Ecole dAdministration des Affaires.

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1 Septembre ANS DE RECHERCHE OPERATIONNELLE ET DOPTIMISATION Yves Crama Ecole dAdministration des Affaires

2 Septembre PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles

3 Septembre Intro… HOMER SIMPSON A CYBERLAND

4 Septembre 20044

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10 10 PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles

11 Septembre Vieille question: Pourquoi certains problèmes mathématiques sont-ils (ou semblent-ils) intrinsèquement plus difficiles à résoudre que dautres ?

12 Septembre Gödel, Turing, Von Neumann ~1965: Jack Edmonds introduit la notion de « bonne caractérisation » des solutions et dalgorithme «polynomial». ~ 1972: Stephen Cook définit les classes de problèmes P et NP

13 Septembre Idée : distinguer entre les problèmes 1) pour lesquels on peut « facilement » trouver la réponse; 2) pour lesquels on peut « facilement » vérifier quune réponse est correcte, lorsquelle est connue; 3) les autres…. P et NP

14 Septembre Exemple 1: Déterminer si léquation du second degré 5x 2 - 4x - 3 = 0 possède deux racines distinctes. Facile à résoudre… (« oui »)

15 Septembre Exemple 2: Déterminer si N 1 = est un nombre premier. Pas très facile à résoudre… La réponse est « non ».

16 Septembre = Preuve:

17 Septembre Exemple 3 (voyageur de commerce): Déterminer si il existe une tournée de longueur inférieure à 1650 kms visitant 67 grandes villes de Belgique. Pas très facile à résoudre… La réponse est « oui ».

18 Septembre Preuve: Il suffit que je donne la tournée:

19 Septembre

20 Septembre

21 Septembre Exemple 3 (suite): Déterminer si il existe une tournée de longueur inférieure à 1500 kms visitant 67 grandes villes de Belgique. Pas très facile à résoudre… La réponse est « non ».

22 Septembre Preuve: ????

23 Septembre Problèmes de décision Un problème de décision est une question qui admet une réponse « Oui » ou « Non ».

24 Septembre P et NP Un problème de décision est dans P (polynomial) si il peut être résolu par un algorithme efficace, cest-à-dire un algorithme dont le temps de calcul n'augmente pas trop rapidement (polynomialement) avec la taille du problème à résoudre.

25 Septembre P et NP Un problème de décision est dans NP (polynomial non déterministe) si il existe une preuve permettant de vérifier efficacement la validité de la réponse lorsque cette réponse est « Oui ». (par exemple, « existe-t-il une tournée de longueur au plus 1650…? »)

26 Septembre P vs NP Il est à peu près évident que P et NP sont deux classes différentes de problèmes. En fait, P contient par définition des problèmes « faciles » à résoudre, alors que certains problèmes très difficiles sont dans NP.

27 Septembre NP problème du voyageur de commerce programmation linéaire en variables binaires ordonnancement dateliers localisation dentrepôts etc.

28 Septembre Cook (1972) a conjecturé que P nest pas égal à NP. Mais personne na pu le démontrer rigoureusement !! Il sagit dun des problèmes ouverts les plus célèbres des maths et de linformatique théorique. P = NP ?

29 Septembre P = NP ? A loccasion du passage à lan 2000, le Clay Mathematics Institute a offert 1 million de dollars pour la solution de cette question (et de lhypothèse de Riemann, etc.) De là lintérêt dHomer Simpson…

30 Septembre

31 Septembre PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles

32 Septembre Programmation linéaire (PL) Min c j x j s.c. j a ij x j b i (i = 1,…,m) Résolu par lalgorithme du simplexe (Dantzig 1947). Archétype du modèle doptimisation en RO.

33 Septembre Complexité de la PL Les travaux dEdmonds, Cook et al. soulèvent de nouvelles questions: PL est-il dans NP ? Oui (quand une solution est connue, il est facile de calculer sa valeur).

34 Septembre Complexité de la PL PL est-il dans P ? Oui (parce que la méthode du simplexe est efficace)? Pas évident… Klee et Minty (1972) observent que la méthode du simplexe peut effectuer un nombre exponentiel d'itérations sur certains exemples et n'est donc pas un algorithme polynomial (« efficace »).

35 Septembre Complexité de la PL PL est-il dans P ? Cette question a généré un nouvel intérêt pour la PL et un important courant de résultats.

36 Septembre Complexité de la PL Khachiyan (1979) propose un algo polynomial pour la PL – mais inefficace en pratique! Karmarkar (1984) décrit un algo polynomial et efficace en pratique: méthode de point intérieur.

37 Septembre Retombées algorithmiques Développement de nouvelles méthodes de points intérieurs, de plus en plus efficaces Suscite des améliorations spectaculaires de la méthode du simplexe.

38 Septembre État des lieux Empiriquement, méthodes du simplexe et de point intérieur sont complémentaires (selon les caractéristiques du problème à résoudre).

39 Septembre État des lieux De 1987 à 2002, réduction du temps de calcul pour la solution de grands problèmes: facteur de (1 an 30 sec), dont - facteur de 1000 dû au « hardware » - facteur de 1000 dû aux algorithmes

40 Septembre Heuristiques Puisque certains problèmes ne peuvent pas être résolus en temps polynomial: Heuristiques: méthodes approchées efficaces Métaheuristiques: stratégies génériques de développement dheuristiques

41 Septembre Heuristiques Exemples: - recuit simulé (simulated annealing) - exploration tabou (tabu search) - algorithmes génétiques - arrondi déterministe ou stochastique, voisinages variables, algorithmes de fourmis, réseaux de neurones, …

42 Septembre PLAN: 1. Quelques notions de complexité algorithmique 2. Impact en optimisation 3. Retombées industrielles

43 Septembre Tendance lourde: Développement simultané et « symbiotique » de linformatique (micro-informatique, structures de données, bases de données, systèmes embarqués,…) et de la RO. Intégration croissante des algos doptimisation dans les systèmes dinformation et daide à la décision.

44 Septembre Exemples: - calcul de routes et de tournées (navigateurs GPS, transport routier, Géoroute, …) - construction dhoraires (écoles, infirmiers, équipes douvriers,…) - planification de production (affectation aux unités de production, gestion des stocks, ordonnancement, projets,…)

45 Septembre Exemples: - optimisation des achats (localisation, rabais, …) - optimisation des recettes de production (pétrochimie, agro-alimentaire,…) - découpe de matériaux (verre, métal, tissu) - électronique (conception et production de circuits intégrés)

46 Septembre Exemples: - yield management (optimisation des réservations et pricing pour les compagnies de transport, hôtels, …) - optimisation de portefeuilles financiers - moteurs de recherche Internet - bioinformatique (identification de structures génétiques) - etc.

47 Septembre Un exemple dintégration: ERP - APS : Systèmes MRP - aide à la gestion des matières (approvisionnement des stocks, lancements de production) - comportent des fonctionnalités doptimisation, peu utilisées

48 Septembre Un exemple dintégration: ERP - APS 1990: Systèmes ERP - systèmes dinformation couvrant les différentes fonctions de lentreprise (production, stocks, achats, clients, personnel, comptabilité, …) - peu de capacité doptimisation

49 Septembre Un exemple dintégration: ERP - APS 2000: Systèmes APS (Advanced Planning Systems) - compléments aux ERP - optimisation de lallocation des ressources, planification de production, ordonnancement dateliers, etc

50 Septembre Un exemple dintégration: ERP - APS Rendus possibles grâce à ladoption des systèmes ERP (dont ils utilisent les bases de données) et à lamélioration des performances des algorithmes doptimisation (programmation linéaire, programmation en variables entières, heuristiques, …)

51 Septembre Conclusions

52 Septembre De la théorie à la pratique… Cheminement: théorie de la complexité (informatique théorique) algorithmes doptimisation plus efficaces (simplexe, point intérieur, heuristiques) systèmes daide à la décision performants (ERP, etc)

53 Septembre The worlds most important invisible profession… Les algorithmes de RO sont intégrés de plus en plus complètement dans les systèmes daide à la décision ils deviennent invisibles pour lutilisateur (cf. M. Jourdain) Cest probablement une preuve de succès.

54 Septembre


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