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Les nouveaux programmes de mathématiques du cycle central et Le socle commun des connaissances Collège les Anglades Lézignan Corbières Le 10/01/07 Lilian.

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1 Les nouveaux programmes de mathématiques du cycle central et Le socle commun des connaissances Collège les Anglades Lézignan Corbières Le 10/01/07 Lilian Delpuech professeur au Collège de Cité Narbonne Thérèse Pagès IA IPR de mathématiques

2 De nouveaux enjeux qui imposent : Une relecture des programmes du cycle central en liaison avec les objectifs et contenus du socle commun des connaissances Une réflexion sur les pratiques pédagogiques pour mieux prendre en compte lhétérogénéité des classes et la difficulté La mise en place de dispositifs daccompagnement pour aider les plus faibles

3 Quest-ce que le socle commun des connaissances ? La loi du 25 avril 2005 dorientation et de programme pour lavenir de lécole stipule : Article 9 : « la scolarité obligatoire doit au moins garantir à chaque élève les moyens nécessaires à lacquisition dun socle commun constitué dun ensemble de connaissances et de compétences quil est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité, poursuivre sa formation, construire son avenir personnel et professionnel et réussir sa vie en société » Article 2 : « la nation fixe comme mission première à lécole de faire partager aux élèves les valeurs de la république »

4 Le socle commun est le ciment de la nation Il s agit dun ensemble de valeurs, d savoirs, de langages et de pratiques dont lacquisition repose sur la mobilisation de lécole et qui suppose de la part de lélève des efforts et de la persévérance

5 Lenseignement obligatoire ne se réduit pas au socle commun, il en constitue le fondement Sa spécificité réside dans la volonté de donner du sens à la culture scolaire fondamentale, en se plaçant du point de vue de lélève et en construisant des ponts indispensables entre les disciplines et les programmes. Il détermine ce que nul nest sensé ignorer en fin de scolarité obligatoire sous peine de se trouver marginalisé.

6 Maîtriser le socle commun cest … Être capable de mobiliser ses acquis dans des tâches et des situations complexes, à lécole puis dans sa vie Posséder un outil indispensable pour continuer à se former tout au long de sa vie afin de prendre part aux évolutions de la société Être en mesure de comprendre les grands défis de lhumanité, la diversité des cultures et luniversalité des droits de lhomme, la nécessité du développement et les exigences de la protection de la planète

7 Le socle commun sorganise en sept compétences ……. La maîtrise de la langue française La pratique dune langue vivante étrangère Les compétences de base en mathématiques et la culture scientifique et technologique La culture humaniste Les compétences sociales et civiques Lautonomie et linitiative des élèves

8 Chaque compétence du socle est conçue comme une combinaison de : Connaissances fondamentales pour notre temps Capacités à les mettre en œuvre Attitudes indispensables tout au long de la vie : Ouverture aux autres Goût pour la recherche de la vérité Respect de soi et dautrui Curiosité et créativité

9 Socle et évaluation … Lexigence de contenus du socle est indissociable dune exigence dévaluation. Des paliers intermédiaires, adaptés au rythmes dapprentissage définis par les cycles, sont déterminés dans la maîtrise du socle. Des outils dévaluation, correspondant aux exigences de certains paliers de maîtrise du socle commun, sont mis à la disposition des enseignants. Un livret personnel permettra à lélève, à sa famille et aux enseignants de suivre lacquisition progressive des compétences.

10 Afin de prendre en compte les différents rythmes dacquisition…. un accompagnement adapté. Études surveillées Tutorat Accès aux livres, à la culture, à internet Et pour des besoins particuliers quant-aux acquisitions nécessaires de chaque palier…… ………. PPRE Programme personnalisé de réussite éducative

11 Les mathématiques, leur enseignement et le socle Objectifs : - donner aux élèves la culture scientifique nécessaire à une représentation cohérente du monde et à la compréhension de leur environnement quotidien. - Ils doivent saisir que la complexité peut être exprimée par des lois fondamentales Moyens : Des approches concrètes et pratiques des mathématiques et des sciences, faisant appel notamment à lhabileté manuelle(par exemple, travailler un matériau, manipuler des volumes, en réaliser) aident les élèves à comprendre les notions abstraites. Remarque essentielle : Les mathématiques, les sciences expérimentales et la technologie favorisent la rigueur intellectuelle constitutive du raisonnement scientifique.

12 Les principaux éléments de mathématiques Dans chacun des domaines que sont le calcul, la géométrie et la gestion des données, les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne. Elles développent la pensée logique, les capacités d'abstraction et de vision dans le plan et dans l'espace par l'utilisation de formules, de modèles, de graphiques et de diagrammes. Il s'agit aussi de développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration. La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Les compétences acquises en mathématiques conditionnent l'acquisition d'une culture scientifique.

13 Connaissances Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul, en particulier la maîtrise des quatre opérations qui permet le calcul mental. Il est aussi indispensable d'apprendre à démontrer et à raisonner. Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser.

14 Connaissances Nombres et calcul les nombres décimaux, les nombres relatifs, les fractions, les puissances (ordonner, comparer) ; les quatre opérations et leur sens ; les techniques élémentaires du calcul mental ; les éléments du calcul littéral simple (expressions du premier degré à une variable) ; le calcul de la valeur d'une expression littérale pour différentes valeurs des variables ; les identités remarquables ;

15 Connaissances Organisation de données-gestion - fonctions la proportionnalité : propriété de linéarité, représentation graphique, tableau de proportionnalité, « produit en croix » ou « règle de 3 », pourcentage, échelle ; les représentations usuelles : tableaux, diagrammes, graphiques ; le repérage sur un axe et dans le plan ; les notions fondamentales de statistique descriptive (maximum, minimum, fréquence, moyenne) ; les notions de chance ou de probabilité ;

16 Connaissances Géométrie les propriétés géométriques élémentaires des figures planes et des solides suivants : carré, rectangle, losange, parallélogramme, triangle, cercle, cube, parallélépipède rectangle, cylindre, sphère ; les notions de parallèle, perpendiculaire, médiatrice, bissectrice, tangente (à un cercle) ; les transformations : symétries, agrandissement et réduction ; des théorèmes de géométrie plane : somme des angles d'un triangle, inégalité triangulaire, Thalès (dans le triangle), Pythagore. Il faut aussi savoir interpréter une représentation plane d'un objet de l'espace ainsi qu'un patron (cube, parallélépipède rectangle) ;

17 Connaissances Grandeurs et mesures les principales grandeurs (unités de mesure, formules, calculs et conversions) : longueur, aire, contenance, volume, masse, angle, durée, vitesse, masse volumique, nombre de tours par seconde ; les mesures à l'aide d'instruments, en prenant en compte l'incertitude liée au mesurage.

18 Capacités A la sortie de l'école obligatoire, l'élève doit être en mesure d'appliquer les principes et processus mathématiques de base dans la vie quotidienne, dans sa vie privée comme dans son travail. Pour cela, il doit être capable : - de raisonner logiquement, de pratiquer la déduction, de démontrer ; - de communiquer, à l'écrit comme à l'oral, en utilisant un langage mathématique adapté ;

19 - de saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématique, l'analyser en posant les données puis en émettant des hypothèses, s'engager dans un raisonnement ou un calcul en vue de sa résolution, et, pour cela : - savoir quand et comment utiliser les opérations élémentaires ; - contrôler la vraisemblance d'un résultat ; - reconnaître les situations relevant de la proportionnalité et les traiter en choisissant un moyen adapté ; - utiliser les représentations graphiques ; - utiliser les théorèmes de géométrie plane

20 Capacités Nombres et calculs effectuer : à la main, un calcul isolé sur des nombres en écriture décimale de taille raisonnable (addition, soustraction, multiplication, division) ; à la calculatrice, un calcul isolé sur des nombres relatifs en écriture décimale : addition, soustraction, multiplication, division décimale à 10-n près, calcul du carré, du cube d'un nombre relatif, racine carrée d'un nombre positif ; mentalement des calculs simples et déterminer rapidement un ordre de grandeur ; comparer, additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres en écriture fractionnaire dans des situations simples ;

21 Capacités Organisation et gestion de données- fonctions utiliser et construire des tableaux, des diagrammes, des graphiques et de savoir passer d'un mode d'expression à un autre ; utiliser des outils (tables, formules, outils de dessin, calculatrices, logiciels) ;

22 Capacités Géométrie d'effectuer des tracés à l'aide des instruments usuels (règle, équerre, compas, rapporteur) : parallèle, perpendiculaire, médiatrice, bissectrice ; cercle donné par son centre et son rayon ; image d'une figure par symétrie axiale, par symétrie centrale ; de se repérer dans l'espace : utiliser une carte, un plan, un schéma, un système de coordonnées.

23 Capacités concernant les mathématiques dans les autres compétences du socle

24 La maîtrise de la langue française Capacités En lecture au terme de la scolarité obligatoire, tout élève devra être capable de : - dégager l'idée essentielle d'un texte lu ou entendu ; - comprendre un énoncé, une consigne. A loral il s'agit de savoir : - prendre la parole en public ; - prendre part à un dialogue, un débat : prendre en compte les propos d'autrui, faire valoir son propre point de vue ; - rendre compte d'un travail individuel ou collectif (exposés, expériences, démonstrations...) ; - reformuler un texte ou des propos lus ou prononcés par un tiers.

25 P ratique d'une langue vivante étrangère Capacité - comprendre un texte écrit court et simple.

26 […] la culture scientifique et technologique Capacités L'étude des sciences expérimentales développe les capacités inductives et déductives de l'intelligence sous ses différentes formes. L'élève doit être capable : de pratiquer une démarche scientifique : - savoir observer, questionner, formuler une hypothèse et la valider, argumenter, modéliser de façon élémentaire ; - comprendre le lien entre les phénomènes de la nature et le langage mathématique qui s'y applique et aide à les décrire ; de manipuler et d'expérimenter en éprouvant la résistance du réel : - participer à la conception d'un protocole et le mettre en œuvre en utilisant les outils appropriés, y compris informatiques ; - percevoir la différence entre réalité et simulation ;

27 d'exprimer et d'exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche et pour cela : - utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral ; - maîtriser les principales unités de mesure et savoir les associer aux grandeurs correspondantes ; - comprendre qu'à une mesure est associée une incertitude ; comprendre la nature et la validité d'un résultat statistique ; de mobiliser ses connaissances en situation, d'utiliser les techniques et les technologies pour surmonter des obstacles.

28 La maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication Capacités La maîtrise des techniques de l'information et de la communication est développée en termes de capacités dans les textes réglementaires définissant le B2i : - s'approprier un environnement informatique de travail ; - créer, produire, traiter, exploiter des données ; - s'informer, se documenter ; - communiquer, échanger.

29 La culture humaniste Capacités Les élèves doivent être capables : - de lire et utiliser différents langages, en particulier les images ( différents types de textes, tableaux et graphiques, schémas, représentations cartographiques, représentations d'œuvres d'art, photographies, images de synthèse ) ; - de situer dans le temps les découvertes scientifiques ou techniques étudiés et de les mettre en relation avec des faits historiques ou culturels utiles à leur compréhension ; - de situer dans l'espace un lieu ou un ensemble géographique, en utilisant des cartes à différentes échelles.

30 Les compétences sociales et civiques Capacités Chaque élève doit être capable : - de respecter les règles, notamment le règlement intérieur de l'établissement ; - de communiquer et de travailler en équipe, ce qui suppose savoir écouter, faire valoir son point de vue, négocier, rechercher un consensus, accomplir sa tâche selon les règles établies en groupe ; Les élèves devront être capables de jugement et d'esprit critique: - savoir distinguer un argument rationnel d'un argument d'autorité ; - apprendre à identifier, classer, hiérarchiser, soumettre à critique l'information et la mettre à distance ; - savoir distinguer virtuel et réel ; - être éduqué aux médias et avoir conscience de leur place et de leur influence dans la société.

31 L'autonomie et l'initiative Capacités A. L'autonomie Les principales capacités attendues : s'appuyer sur des méthodes de travail : -organiser son temps et planifier son travail, -- prendre des notes, consulter spontanément un dictionnaire, une encyclopédie, ou tout autre outil nécessaire, -se concentrer, mémoriser, -élaborer un dossier, exposer ; savoir respecter des consignes ;

32 être capable de raisonner avec logique et rigueur : - identifier un problème et mettre au point une démarche de résolution ; - rechercher l'information utile, l'analyser, la trier, la hiérarchiser, l'organiser, la synthétiser ; - mettre en relation les acquis des différentes disciplines et les mobiliser dans des situations variées ; - identifier, expliquer, rectifier une erreur ; - distinguer ce dont on est sûr de ce qu'il faut prouver ; - mettre à l'essai plusieurs pistes de solution ; - savoir s'auto évaluer ; - développer sa persévérance.

33 B. L'esprit d'initiative Il s'agit d'apprendre à passer des idées aux actes, ce qui suppose savoir : - définir une démarche adaptée au projet ; - prendre des décisions, s'engager et prendre des risques en conséquence ; - prendre l'avis des autres, échanger, informer, organiser une réunion, représenter le groupe ; - déterminer les tâches à accomplir, établir des priorités.

34 Attitudes en relation avec les mathématiques dans les différents piliers du socle

35 La maîtrise de la langue française L'intérêt pour la langue comme instrument de pensée et d'insertion développe : - la volonté de justesse dans l'expression écrite et orale, du goût pour l'enrichissement du vocabulaire ; - l'ouverture à la communication, au dialogue, au débat. La pratique d'une langue vivante étrangère L'apprentissage d'une langue étrangère développe la sensibilité aux différences et à la diversité culturelle. Il favorise : - l'ouverture d'esprit et la compréhension d'autres façons de penser et d'agir.

36 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique A. - Les principaux éléments de mathématiques L'étude des mathématiques permet aux élèves d'appréhender l'existence de lois logiques et développe : - la rigueur et la précision ; - le respect de la vérité rationnellement établie ; - le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver. B. - La culture scientifique et technologique L'appréhension rationnelle des choses développe : - le sens de l'observation ; - la curiosité pour la découverte des causes des phénomènes naturels, l'imagination raisonnée, l'ouverture d'esprit ; - l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte.

37 La maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication Le développement du goût pour la recherche et les échanges d'informations à des fins éducatives, culturelles, sociales, professionnelles doit s'accompagner d'une attitude responsable - domaine également développé dans la définition du B2i - c'est-à-dire : - une attitude critique et réfléchie vis-à-vis de l'information disponible ; - une attitude de responsabilité dans l'utilisation des outils interactifs. La culture humaniste La culture humaniste que dispense l'école donne aux élèves des références communes. Elle a pour but de cultiver une attitude de curiosité.

38 Les compétences sociales et civiques Au terme de son parcours civique scolaire, l'élève doit avoir conscience de la valeur de la loi et de la valeur de l'engagement. Ce qui implique : - la conscience de ses droits et devoirs ; - l'intérêt pour la vie publique et les grands enjeux de société.

39 L'autonomie et l'initiative A. L'autonomie La motivation, la confiance en soi, le désir de réussir et de progresser sont des attitudes fondamentales. Chacun doit avoir : - la volonté de se prendre en charge personnellement ; - d'exploiter ses facultés intellectuelles et physiques ; - conscience de la nécessité de s'impliquer, de rechercher des occasions d'apprendre ; - une ouverture d'esprit aux différents secteurs professionnels et conscience de leur égale dignité. B. L'esprit d'initiative L'envie de prendre des initiatives, d'anticiper, d'être indépendant et inventif dans la vie privée, dans la vie publique et plus tard au travail, constitue une attitude essentielle. Elle implique : - curiosité et créativité ; - motivation et détermination dans la réalisation d'objectifs.

40 Atelier du matin En vous appuyant sur les contenus des programmes et le socle : Que serait-il intéressant de faire chercher, de manipuler, de démontrer en classes de 5° et de 4° ? Préciser les objectifs, les contenus, les outils, les conditions de mise en oeuvre …

41 Atelier de laprès midi Par groupes en croisant les programmes et en vous référant aux contenus du socle, à quels moments du programme de mathématiques « solliciterez-vous » lapport de l autre discipline ? Une discipline ( Technologie, SVT, histoire et géographie, physique chimie) par groupe

42 Des propositions …. de Claudine Tena professeur au collège de Langogne CHAMP DES COMPETENCES SOCIALES ET CIVIQUES

43 Vivre en société Lobjectif est de préparer les élèves à bien vivre ensemble par lappropriation progressive des règles de la vie collective Chaque élève doit être capable de : - respecter les règles ; - de communiquer et de travailler en équipe, ce qui suppose savoir écouter, faire valoir son point de vue, négocier, rechercher un consensus, accomplir sa tâche selon les règles établies en groupe ; - prendre conscience de la contribution nécessaire de chacun à la collectivité ; - davoir le sens de la responsabilité et de la solidarité par rapport aux autres.

44 Se préparer à la vie de citoyen Lélève devra connaître : - quelques notions de gestion (établir un budget personnel, contracter un emprunt, etc) ; - lUnion européenne. Les élèves devront être capables de jugement et desprit critique, ce qui suppose : - savoir évaluer la part de subjectivité dun discours ; - savoir distinguer un argument rationnel dun argument dautorité; - apprendre à identifier, classer, hiérarchiser, soumettre à la critique linformation (activité : lecture critique de représentations graphiques).

45 Activité proposée : lecture critique de représentations graphiques Objectifs : -Faire une lecture critique dune représentation graphique, -Dans le cas dun histogramme, constater que certaines caractéristiques peuvent être gommées par le choix dune amplitude trop grande.

46 Première partie : Lors dune émission télévisée, un journaliste commente le graphique ci- contre en affirmant : « Ce graphique montre quil y a une très forte augmentation du nombre de cambriolages entre 1998 et 1999 ». 1) Pensez-vous que cette affirmation soit une interprétation correcte de ce graphique ? Justifiez votre réponse. 2) Pouvez-vous trouver un graphique faisant changer davis ce journaliste ?

47 Deuxième partie : Le tableau ci-dessous représente les densités de population (en habitants par km²) des différentes régions françaises ainsi que des Territoires dOutre Mer

48 Les deux histogrammes ci-dessous sont deux représentations différentes des données fournies dans ce tableau

49 1)Quels points communs et quelles différences y a-t-il entre ces deux représentations graphiques ? 2)Pour chaque représentation, quelles sont les classes pour lesquelles il ny a pas de régions ou de Territoires dOutre Mer ? 3)Que ne voit-on pas sur la seconde représentation graphique.

50 CHAMP DES PRINCIPAUX ELEMENTS DE MATHEMATIQUES ET DE LA CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE

51 Il sagit de donner aux élèves la culture scientifique nécessaire à une représentation cohérente du monde et à la compréhension de leur environnement quotidien. Des approches concrètes et pratiques des mathématiques et des sciences, faisant notamment appel à lhabileté manuelle, aident les élèves à comprendre les notions abstraites. (activité : autour de la fabrication des solides en cinquième)

52 Capacités visées A la sortie de lécole obligatoire, lélève doit être en mesure dappliquer les principes et processus mathématiques de base dans la vie quotidienne, dans sa vie privée comme dans son travail. Pour cela, il doit être capable : - de raisonner logiquement, de pratiquer la déduction, de démontrer (activité : comparaison daires) ; - de communiquer, à lécrit comme à loral, en utilisant un langage mathématique adapté ; - de saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématique ; - danalyser en posant les données puis en émettant des hypothèses ; - de sengager dans un raisonnement ou un calcul en vue de sa résolution.

53 Attitudes visées Létude des mathématiques permet aux élèves dappréhender lexistence de lois logiques et développe : - la rigueur et la précision, - le respect de la vérité rationnelle établie, - le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver.

54 Activité : autour de la fabrication des solides en 5ème 1ère étape : au cours de plusieurs devoirs-maison, les élèves ont eu à tracer les patrons de différents prismes et cylindres. 2ème étape : je propose aux élèves de fabriquer un objet de leur choix à partir de prismes et de cylindres. Chaque objet devra comporter un solide de chaque sorte au minimum. Les prismes et cylindres utilisés seront choisis parmi la liste de solides dont les patrons ont été tracés en DM. Lobjet fabriqué devra être « décoré », propre. Lutilisation de ruban adhésif est interdite. Les élèves disposent dun mois et demi environ pour leur fabrication

55 3ème étape : présentation des objets devant la classe puis exposition dans la vitrine du collège. Je vois apparaître des robots, des camions, une navette spatiale, une locomotive à vapeur, la cathédrale de Chartres, un énorme flocon de neige…. Les élèves se sont investis totalement dans ce projet. Ceux qui étaient en grande difficulté se sont souvent montrés les plus imaginatifs et ont présenté de superbes réalisations.

56 Activité : comparaison daires Tracer un rectangle ABCD tel que : AB = 8 cm et BC = 5cm. Placer un point E sur [AC] tel que AE = 3cm. Tracer la parallèle à (AD) qui passe par E ; elle coupe [AB] en N et [DC] en L. Tracer la parallèle à (AB) qui passe par E ; elle coupe [AD] en M et [BC] en K. Comparer les aires des deux rectangles EMDL et ENBK

57 Figure :

58 Objectifs : -Prise de conscience par les élèves des conséquences tirées de mesures effectuées sur un dessin ; -Recherche de preuve. Les élèves dessinent, mesurent, calculent ou comptent… Un débat est organisé dans la classe à partir des résultats contradictoires obtenus par les élèves. Ils prennent conscience de limprécision de leur méthode et de la nécessité de chercher à faire un raisonnement à partir des données de lénoncé.

59 Morgane : le rectangle EMDL a une aire plus grande que le rectangle ENBK car il est plus grand Kévin : je dois calculer laire des deux rectangles. Aire de EMDL = EM × MD = 2,5 × 3,5 = 8,75 Aire de NEBK = NE × NB = 1,5 × 5,5 = 8,25 Cest le rectangle EMDL qui est le plus grand. Guillaume : ELDM = 8,16 NBEK = 9,69 La plus grande aire est le rectangle NBEK car si on effectue 5,7 × 1,6 = laire de NBEK; 3,4 ×2,5 = aire de ELDM et puis on compare les deux aires et on trouve laire la plus grande Benjamin : le rectangle le plus grand est le ENBK. Il a 14 carrés. Mélodie : je choisis ENBK car il y a 14 carreaux et lautre 12. Julien : le rectangle EMDL est plus grand car il a plus de carreaux.

60 CHAMP DE LA MAITRISE DE LA LANGUE FRANCAISE Savoir lire, écrire et parler le français conditionne laccès à tous les domaines du savoir et lacquisition de toutes les compétences. Faire accéder tous les élèves à la maîtrise de la langue française, à une expression précise et claire à loral comme à lécrit. Chaque professeur et tous les membres de la communauté éducative sont comptables de cette mission prioritaire de linstitution.

61 Connaissances visées Enrichir quotidiennement le vocabulaire des élèves est un objectif primordial. En mathématiques, on a une rigueur de langage, de vocabulaire (à une notion correspond un mot) : on développe principalement la justesse du vocabulaire employé. Lutilisation de codes (codage en géométrie, symboles) montre quon a bien un langage mathématique. (activité : autour des quadrilatères) Le sens de certains mots nest pas le même dans la vie courante et en mathématiques (racine, puissance …)

62 Capacités visées Lire : au terme de la scolarité obligatoire, tout élève devra être capable de : - dégager lidée essentielle dun texte lu ou entendu, - comprendre un énoncé, une consigne (activité : données utiles). Ecrire : la capacité à écrire suppose de savoir : - répondre à une question par une phrase complète, - rédiger un texte bref, cohérent, construit en paragraphes, correctement ponctué, en respectant des consignes imposées.

63 Sexprimer à loral : il sagit de savoir : - prendre la parole en public, - prendre part à un dialogue, un débat : prendre en compte les propos dautrui, faire valoir son propre point de vue (activité : combien de diviseurs ?), - rendre compte dun travail individuel ou collectif, - reformuler un texte ou des propos lus ou prononcés par un tiers.

64 Attitudes visées Lintérêt de la langue comme instrument de pensée et dinsertion développe : - la volonté de justesse dans lexpression écrite et orale, - louverture à la communication, au dialogue, au débat.

65 Activité : données utiles ou inutiles ? Objectif : Repérer si un élève est capable de sélectionner dans des énoncés les données numériques nécessaires pour résoudre un problème. Pour chaque énoncé, lélève doit souligner les données numériques qui sont utiles pour résoudre le problème et seulement celles-ci. La résolution elle même nest pas demandée. Différentes unités de mesure interviennent dans les problèmes.

66 Première partie : Entoure dans lénoncé la ou les informations utiles pour répondre à la question posée. 1)Une coopérative voudrait acheter une nouvelle télévision qui coûte 499. Il y a dans la caisse 241 qui proviennent de cotisations et 232 qui proviennent de subventions diverses. Lachat est-il possible ? 2)Les 7 classes de Quatrième sont parties en train au Futuroscope. Partis mardi à 5h, les 200 élèves, encadrés par 7 accompagnateurs, sont revenus mercredi à 23 h. Le voyage a coûté 78 par élève, les accompagnateurs ne paient pas. Quel sera le coût de la visite ?

67 Deuxième partie : Dans les énoncés suivants, il y a des données inutiles. Barre-les. 1)Un village est peuplé de 618 habitants. A 23 km de là, un autre village, situé à 247 mètres d'altitude, compte 149 habitants de moins. Calculer le nombre d'habitants du second village. 2)Il y a 5 ans, Julien avait 7 ans et pesait 30 kg. Aujourdhui, cest son anniversaire. Il mesure 1m55. Quel est son âge ? 3)Pour faire de la confiture, on mélange 5 kg de fruits à 1,95 le kg et 4 kg de sucre à 1,20 le paquet de 1 kg. Après 1h15 min de cuisson, ce mélange a perdu 1,350 kg. Avec cette confiture, on remplit des pots de 450 g. Calculer le nombre de pots obtenus.

68 Activité : combien de diviseurs ? « Dans lexpression n x n – n + 11, si on remplace n par nimporte quel nombre entier, on obtient toujours un nombre qui a exactement deux diviseurs. » Daprès vous, cet énoncé est-il vrai ou faux ? Justifiez votre réponse.

69 Cette activité peut conduire à un débat. En mathématiques, il y a des règles non négociables : un énoncé est soit vrai soit faux. Soit on démontre, soit on trouve un contre- exemple mais on ne peut en aucun cas, comme par exemple lors dun sondage, voter pour choisir une solution.

70 Activité : autour des quadrilatères Objectifs : - lire et interpréter un dessin codé; - utiliser les propriétés caractéristiques des quadrilatères. Il sagit dassocier les textes (fiches 2 et 3) aux dessins (fiche 1). La fiche 1 représente des figures réalisées à main levée. Chaque dessin montre les quatre côtés dun quadrilatère et, pour certains dentre eux, les diagonales. Certaines informations ont été portées sur les dessins sous forme codée.

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72 Voici une liste de textes correspondant aux codages des quadrilatères de la fiche 2. Associe à chaque dessin le texte qui le décrit. 1.Les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. 2.Le quadrilatère a trois angles droits 3.Les diagonales du quadrilatère se coupent à angle droit. 4.Les deux diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires et lune passe par le milieu de lautre. 5.Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu, ont même longueur et sont perpendiculaires. 6.Les côtés opposés du quadrilatère sont parallèles et deux des côtés consécutifs ont même longueur. 7.Deux des angles opposés du quadrilatère sont droits 8.Deux côtés du quadrilatère sont perpendiculaires à un même troisième côté. 9.Les côtés opposés du quadrilatère sont parallèles et deux des côtés consécutifs ont même longueur. 10.Deux des côtés consécutifs du quadrilatère ont la même longueur et les diagonales sont perpendiculaires. ….

73 Voici une liste de textes correspondant aux codages des quadrilatères de la fiche 3. Associe à chaque dessin le texte qui le décrit. 1.Ce parallélogramme est un losange car il a deux côtés consécutifs de même longueur. 2.Ce quadrilatère est un trapèze rectangle car il a deux angles droits consécutifs. 3.Ce quadrilatère a deux angles droits; mais ses côtés opposés ne sont pas forcément parallèles. 4.Ce parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur : cest donc un carré. 5.Ce quadrilatère est un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires : cest donc un carré. 6.Lune des diagonales de ce quadrilatère est médiatrice de lautre ; cest tout. 7.Les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires ; rien de plus. 8.Ce quadrilatère est un rectangle car il a trois angles droits. 9.Les diagonales de ce quadrilatère sont médiatrices lune de lautre. 10.Ce parallélogramme est un rectangle car deux de ses côtés sont perpendiculaires. …….

74 Des propositions …. de Liliane Dray professeur au collège la Providence de Montpellier

75 ATTITUDES VISEES PAR LE SOCLE COMMUN EN MATHEMATIQUES L'étude des mathématiques permet aux élèves d'appréhender l'existence de lois logiques et développe : - la rigueur et la précision ; - le respect de la vérité rationnellement établie ; - le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver.

76 CAPACITES VISEES PAR LE SOCLE COMMUN EN MATHEMATIQUES A la sortie de l'école obligatoire, l'élève doit être en mesure d appliquer les principes et processus mathématiques de base dans la vie quotidienne, dans sa vie privée comme dans son travail. Pour cela, il doit être capable : - de saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématique, -de communiquer, à l'écrit comme à l oral, en utilisant un langage mathématique adapté, -danalyser la situation en posant les données puis en émettant des hypothèses, -de s'engager dans un raisonnement ou un calcul en vue de sa résolution, et donc de savoir quand et comment utiliser les opérations élémentaires.

77 LANGAGE COURANT ET LANGAGE SYMBOLIQUE Présentation Les quatre opérations ont été définies, au cycle III à lécole primaire, puis en classe de 6ème au collège, avec le vocabulaire correspondant. En classe de 5 ème, il pourrait être intéressant de reprendre un travail sur le vocabulaire opératoire avant létude des diverses règles dorganisation dun calcul, les priorités opératoires, le développement et la factorisation. Cela correspondra alors à des activités préparatoires au calcul littéral, pour que lutilisation par lélève dune formule littérale prenne du sens pour lui.

78 Objectifs Consolider le vocabulaire : somme, différence, termes, produit, facteurs, quotient... Connaître, comprendre et utiliser les symboles mathématiques déjà utilisés en 6ème Travailler dans les deux sens le passage entre langage naturel et langage symbolique. Organisation Matériel : tableau, craies de diverses couleurs, cahiers délèves, photocopies. Durée : une heure environ, en fonction du niveau et des acquis des élèves.

79 DÉROULEMENT DE LA SÉQUENCE A) Phase orale collective -Le professeur est au tableau, il sollicite des élèves un rappel des correspondances entre expressions du langage courant et symboles mathématiques. -Ainsi apparaissent au tableau, avec des craies de couleurs différentes, des notations proposées en classe. Cependant, des discussions peuvent surgir, lorsque plusieurs solutions de codages conviennent, bien quétant différentes. - Un débat peut alors sinstaurer pour mieux consolider le vocabulaire correspondant aux quatre opérations.

80 EXEMPLES DE NOTATIONS ÉCRITES AU TABLEAU : La somme de 4 et de 3 se note ……… Les nombres 4 et 3 sont appelés des ……….termes. La différence de 25 et de 13 se note ………… Les nombres 25 et 13 sont appelés des ………..termes. 6 x 5 représente ……..le produit de 6 et de 5. Les nombres 6 et 5 sont appelés des ……….facteurs. 2 x 5 représente …….le produit de 2 et de 5, mais aussi ………le double de 5. Le quotient de 21 par 7 se note 21 / 7 ou 21 ÷ 7 ou 21 : 7 Le quotient de 15 par 2 se note 15 / 2 ou 15 ÷ 2 ou 15 : 2 ………..On lappelle aussi la moitié de 15.

81 B) Phase écrite individuelle 1.Une photocopie est distribuée à chaque élève, il sagit dexercices dont la consigne est: « Complète les phrases suivantes » la somme de 4,4 et de 5,6 se note,,,,,,,,,,,,,,,,,, le produit de 35 et de 0,1 se note,,,,,,,,,,,,,,,,, le triple de 5 se note,,,,,,,,,,,,,,,,,,, la somme de 8,3 et du double de 7 se note,,,,,,,,,,,,, la différence de 12 et du tiers de 9 se note,,,,,,,,,,,,,,,,, le quotient de 1,5 par 0,1 se note,,,,,,,,,,,,,,,,,

82 Lors de la correction faite au tableau par plusieurs élèves, se pose parfois le problème de transformation de la phrase donnée dans lénoncé, en effet, certains élèves, qui se rappellent de règles antérieures de calcul, peuvent transformer : 35 x 0,1 par 35 : 10, de même que 1,5 : 0,1 par 1,5 x Ce qui permet un rappel des diverses techniques de calcul rapide.

83 2 ème partie de la Phase écrite individuelle Une deuxième feuille dexercices, avec la même consigne, est distribuée: « Complète les phrases suivantes » 5 x 4 représente,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, x 6 représente,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 x 9 représente,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 16 – 4 x 3 représente,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3 x x 6 représente,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (8 + 4) x 7 représente,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, x 7 représente,,,,,,,,,,,,,,,,,,

84 Cette recherche individuelle est suivie dune correction au tableau. Les élèves proposent des solutions. La classe intervient lorsquil y a désaccord. Il est peut être intéressant de profiter de ce débat pour rappeler et consolider les règles dorganisation dun calcul. - présence de parenthèses, - priorités opératoires, - propriétés de développement ou de factorisation, -lecture dun enchaînement de calculs reliée à la dernière opération réalisée.

85 UNE AUTRE ACTIVITÉ POSSIBLE Un exercice photocopié est distribué à chaque élève, avec la consigne suivante « Relie ce qui va ensemble » Langage courant Expressions symboliques Le double de la différence de 9 et de 7 2 x (9 + 7) Le double de la somme de 9 et de 7 9 : La différence du double de 9 et de 7 2 x x 7 La somme du double de 9 et du double de 7 9 x 7 : 2 La moitié du produit de 9 et de 7 2 x (9 - 7) La somme de la moitié de 9 et de 7 2 x 9 - 7

86 PROLONGEMENTS Il serait souhaitable de poursuivre des activités similaires, dans les classes suivantes, en utilisant dautres symboles, et réaliser ainsi le même travail avec un vocabulaire enrichi.

87 DES NOMBRES ET DES LETTRES Présentation Le vocabulaire correspondant aux quatre opérations a été consolidé. Les règles dorganisation dun calcul, liées aux parenthèses, aux priorités opératoires, au développement ou à la factorisation, ont été reprises. Les élèves ont été entraînés à traduire une situation mathématique en formulation symbolique ou schématique, et vice versa. Cette activité composée de situations devinettes, avec élément à déterminer débute par des essais numériques, pour éviter chez les élèves, la difficulté liée à labstraction.

88 Objectifs Sinterroger sur lutilité et lintérêt de lusage des lettres. Prendre conscience de lintérêt stratégique et économique de la mise en formule dune situation. La lettre possède différents statuts, mais au cours de cette séance, le statut de variable sera plus particulièrement développé. Organisation - Matériel : tableau, cahiers délèves, photocopies, calculatrices. - Durée : cette activité peut se dérouler sur deux séances, en fonction des niveaux de difficulté, dusage et de compréhension.

89 DÉROULEMENT DE LA SÉQUENCE Découverte du « Magicien » : Familiarisation numérique Le professeur dévoile la consigne du jeu, en exigeant des élèves une grande attention : « Pensez à un nombre, ajoutez lui 5 puis multipliez la somme obtenue par 2, ensuite à ce produit trouvé, vous retrancherez 10 et enfin vous diviserez par 2 la différence que vous venez de trouver et ……. le résultat trouvé, nest-il pas égal au nombre que vous aviez choisi au départ ! Est-ce exact ? (les élèves traduisent sur leurs cahiers dexercices, les différents calculs en saidant parfois de leurs calculatrices). Plusieurs élèves proposent leurs calculs.

90 Un autre tour de magie est proposé aux élèves Phase de recherche collective « Pensez à un nombre, ajoutez lui 3 puis doublez la somme obtenue, ensuite à ce produit que vous venez de trouver vous retranchez 5 et, enfin, vous retranchez à cette différence obtenue le double du nombre choisi au début, et... »

91 Les élèves calculent, proposent leurs solutions ; on affiche au tableau le nombre choisi au départ et le résultat final, et... on saperçoit que ce résultat ne dépend pas de ce que chacun avait choisi au départ. Le résultat final est toujours égal à 1! Remarque : Plusieurs élèves voudraient une « explication » de ces résultats. Le professeur peut attendre lintroduction des lettres pour présenter ces justifications (voir fin de séquence).

92 Phase de recherche par groupes Le « magicien » professeur change à nouveau la consigne de son jeu : « Vous pensez à un nombre, retranchez 8 à ce nombre » Nombreuses interpellations quand le nombre a été choisi inférieur à 8 !

93 « Bien, pensez à un nombre (supérieur à 8), -retranchez 8 à ce nombre, -puis multipliez la différence obtenue par 5, -ensuite ajoutez 10 à ce produit trouvé et enfin -ajoutez 3 à cette somme que vous venez dobtenir. Notez bien le résultat trouvé » Les élèves ont écrit tous leurs calculs, par groupes de deux, en saidant éventuellement de leurs calculatrices (certains choisissent au départ des nombres assez compliqués, pour « épater » les autres)

94 Le jeu se poursuit Le jeu se poursuit. Le professeur annonce: « Je ne connais pas le nombre que vous avez choisi au départ mais si vous me donnez le dernier résultat trouvé, je pourrais peut être deviner le nombre pensé au départ » Différents groupes se prêtent au jeu et ça marche !! Certains élèves veulent comprendre comment le professeur fait, il doit y avoir un truc !!

95 - Le professeur demande alors à un groupe de venir schématiser au tableau les différentes étapes, voici un exemple : x Dans cet exemple, le résultat est 48, comment pourrait- on revenir au nombre 15 choisi au départ ? ? +8 ? : 5 ? -10 ? Plusieurs élèves viennent au tableau pour déterminer le nombre mystérieux du départ choisi par les groupes.

96 C) Phase individuelle de recherche dun nouvel exercice Un nouvel enchaînement de calculs à exécuter est distribué à chaque élève sur une photocopie. Pensez à un nombre, ajoutez lui 7, multipliez par 3 la somme obtenue, à ce produit que vous venez de calculer ajoutez le nombre choisi au départ, enfin vous enlevez 1 à cette somme. Notez bien tous vos calculs et le résultat final. Le professeur propose de reprendre le jeu précédent où connaissant le nombre final, on essaye de retrouver le nombre du début.

97 La classe revient à la méthode utilisée dans lexercice précédent: On prend un dernier résultat trouvé par un élève et un autre doit deviner le nombre pensé au départ... Mais, cela ne marche pas. On n arrive pas à aller du connu vers linconnu en utilisant le sens inverse. On fait divers essais, on tâtonne, puis un élève finit par parler de la possibilité de désigner par une lettre le nombre inconnu. On schématise au tableau les différentes étapes du jeu en utilisant cette lettre dans les calculs. La lettre représente la même valeur tout au long des calculs. a +7 a+7 x3 3x(a+7) +a 3x(a+7)+a -1 3x(a+7)+a-1

98 On recherche collectivement des règles de manipulation de cette expression littérale, pour la transformer, la simplifier, et on obtient: a 4a + 20 Il sera donc possible, connaissant le résultat final de trouver le nombre pensé au départ. Après discussion, la solution est affichée au tableau. Nombre pensé :4 -20 Résultat final Le résultat final est fonction de la valeur choisie au départ.

99 Prolongements possibles à la fin de la phase A, plusieurs élèves avaient demandé à connaître « le truc », comment le professeur faisait. On revient donc sur les exemples travaillés au début de cette séquence et la classe voit à présent que dans : Le premier jeu a a+5 (a+5)x2 (a+5)x2-10 [(a+5)x2-10]:2 Après transformation et simplification, on comprend alors que : a a Le 2ème jeu aa+3 (a+3)x2(a+3)x2 -5 (a+3)x2-5 -2a Après transformation et simplification, en utilisant les diverses règles dorganisation dun calcul, on voit alors que : a 1

100 CONSTRUCTIONS RAISONNEES AU CYCLE CENTRAL I-DE LA FIGURE AU TEXTE PRESENTATION De nombreuses activités, ont déjà permis de développer des apprentissages liés à une géométrie dobservation : - Description - Reconnaissance - Tracés de figures Dans cette séance, les élèves de 5eme vont être amenés à sinterroger sur larticulation entre le texte et la figure dun problème de géométrie ; cette liaison entre différents registres de langage sera le fil conducteur des séances suivantes, proposées de façon non suivie au cours de lannée.

101 OBJECTIFS - Savoir décoder une figure et en tirer des informations par simple lecture. - Organiser les informations données par deux supports de lecture que sont un texte et une figure qui laccompagne. - Développer chez les élèves des capacités danalyse critique. ORGANISATION - Matériel : Photocopies - cahiers des élèves - Instruments de géométrie - Durée : une heure environ - Déroulement: A.Une figure et un texte « Où est lerreur » B. Une figure et un texte à compléter C. Une figure et un texte à créer

102 A – Une figure et un texte « Où est lerreur » Le travail est collectif et essentiellement oral. Au tableau se trouve lénoncé dun problème accompagné dune figure. Un élève a mesuré les angles du triangle ABC ci-contre Il a obtenu les résultats suivants: angle A = 35° angle B = 8O° angle C = 45° Sans utiliser le rapporteur, dis pourquoi une de ces mesures est visiblement fausse.

103 - Un élève lit lénoncé, la classe observe la figure et tous recherchent sil y a cohérence entre le texte et la figure. De nombreuses réponses apparaissent, certains ont identifié de façon perceptive langle obtus B et justifient ainsi lerreur B = 80° proposé dans le texte. - Quelques élèves proposent dutiliser léquerre du tableau et argumentent sur le fait que langle B est plus grand que langle droit, donc langle B = 80° est faux.

104 - Même en début de la classe de 5ème, il se trouve souvent certains élèves qui utilisent la propriété de la somme des mesures des angles dun triangle pour valider le fait quune des trois mesures est fausse puisque A +B + C = 160° - Les diverses discussions autour de la mesure fausse de langle B, permettent daider certains élèves à mieux comprendre cette erreur encore fréquente, même en classe de 5ème, de mauvaise lecture de mesure dangle sur un rapporteur.

105 B. Une figure et un texte à compléter - Un énoncé de problème est photocopié pour chaque élève. Des groupes de deux peuvent se former pendant la phase de recherche. - Une figure étant donnée, il sagit de lanalyser pour compléter le texte associé. - Cette activité permet de mobiliser des informations de différents types : celles données par le décodage de la figure celles obtenues en utilisant une propriété dun élément de la figure celles trouvées en effectuant un calcul celles obtenues en utilisant un instrument de mesurage.

106 Enoncé

107 - Lors de la phase de communication des résultats, pour la mesure de langle GIy, lenseignant peut montrer quaucun codage de la figure nautorise les élèves à penser que les demi-droites [Ix) et [Iy) sont dans le prolongement lune de lautre. - En fait, il est fréquent que lalignement des points dune figure soit une donnée implicite, et cela crée des difficultés supplémentaires.

108 - Lorsque certains élèves proposent de mesurer langle GIy à laide dun rapporteur, un débat sétablit dans la classe à propos de la figure en grandeur réelle et du schéma à main levée. - Ainsi, pour la mesure de langle GIy, on peut obtenir un résultat approximatif en mesurant à laide dun instrument. Cependant, il faut convaincre lélève que, si mesurer peut être utile pour contrôler un résultat ou pour conjecturer, cela ne peut pas permettre dêtre sûr du résultat annoncé.

109 C. Une figure et un texte à créer « message téléphoné » 1 ) Exercice à faire à la maison. Le travail de chaque élève est de créer une figure géométrique simple, et de la construire sur le cahier dexercices de mathématiques. 2 ) Retour en classe et travail en groupe Lactivité est présentée collectivement. « Vous allez rédiger un petit texte sur une figure géométrique simple, pour que dautres élèves puissent la construire sans lavoir vue ». Par groupe de quatre, les élèves découvrent les figures crées à la maison par chacun, la consigne étant à présent de ne retenir quune seule figure; celle qui paraît la plus facile à décrire, afin que dautres élèves puissent la reproduire. Lorsque le groupe est daccord sur une figure, les élèves se mettent à écrire ( sur une feuille où cette figure napparaît pas ) un texte décrivant la figure, en donnant suffisamment déléments dinformations pour pouvoir la construire.

110 3) Réalisation des constructions Une fois le texte « message » reçu, dautres élèves en groupe construisent la figure, soit sur papier quadrillé, soit sur papier blanc, avec leurs instruments de mesures et de tracés. 4) Comparaisons des figures et rédaction dun commentaire Chaque groupe délèves dispose à présent, de la figure dorigine que les élèves « émetteurs » avaient, de la figure quils ont construite, et du texte du message quils avaient reçu pour leur permettre de réaliser cette construction. Après lobservation des points communs mais aussi des différences éventuelles, entre la figure dorigine et la figure construite, la consigne donnée par lenseignant est de rédiger alors quelques lignes de commentaires sur les raisons possibles, des différences observées entre ces figures.

111 5) Débat collectif - Lobjectif des échanges est de prendre conscience de la nécessité de donner des informations précises lorsquon décrit une figure, de donner ces informations dans un ordre qui permette la construction, de bien connaître le vocabulaire géométrique associé aux figures usuelles de base, en terme de lexique, de notation, de symboles, et de sens donné à ce vocabulaire. -Certains messages sont alors réécrits en tenant compte des commentaires rédigés par les élèves. A la fin, tous les messages et les figures associées seront relevés.

112 II. UNE SEQUENCE DE DECODAGE - De nombreuses activités de description, reconnaissance et tracés de figures ont été réalisées, dans les classes antérieures, en utilisant différents codages et en émettant diverses conjectures. - En classe de 5ème, les élèves apprennent à mieux utiliser les apports dune figure dans la présentation des informations, dans la construction dun raisonnement, en exploitant les différents rôles dun dessin. - Dans cette séquence, vont être proposés aux élèves, des problèmes de construction de nature très différente, les premiers seront des reproductions en vraie grandeur de figures données, les suivants nécessiteront un raisonnement à partir dun schéma à main levée, en supposant le problème résolu.

113 OBJECTIFS 1.Apprendre à analyser, organiser et enchaîner des informations : - Informations données par lénoncé ou par le codage de la figure. - Informations repérées en analysant la figure en sous - figures. - Informations induites par la connaissance de telle ou telle configuration. - Informations déduites de lutilisation de définitions ou de théorèmes. 2. Développer des compétences permettant aux élèves daccéder à une géométrie de traitement des informations

114 ORGANISATION - Matériel : Photocopies - cahiers délèves - Instruments de géométrie. - Durée : Deux heures (ou plus selon le niveau et les expériences antérieures des élèves) - Déroulement : A. Figure Figure B. Texte Figure

115 A. Figure Figure Des photocopies sont distribuées individuellement aux élèves. Les figures à reproduire seront réalisées sur leurs cahiers dexercices. Ces figures ont été choisies selon des objectifs précis. Figure a : Il nest pas nécessaire dutiliser des connaissances autres que celles données par la figure, ce qui importe dans ce programme de construction, cest lordre des différentes tâches à exécuter.

116 Reproduis la figure ci-dessous en respectant les données Figure a

117 Figure b : La construction est réalisable, en utilisant les propriétés liées aux côtés opposés et aux diagonales dun parallélogramme. Figure c : Ce problème de construction, pour lequel il faut reproduire la figure donnée en respectant les informations proposées, nécessite, soit lutilisation de la définition dun triangle isocèle et des propriétés liées aux angles alternes – internes, soit dautres connaissances, mais ne provenant pas uniquement des informations directes données par la figure ou le texte associé.

118 ABCD et ABFE sont des parallélogrammes Le parallélogramme ABFE a pour centre D Reproduis la figure ci-dessous en respectant les données Figure b

119 Reproduis la figure ci-dessous en respectant les données Le triangle AGB est isocèle en G – Les droites (AB) et (FC) sont parallèles – Les points F, E, D, C, sont alignés Figure c

120 Gestion de la classe - Après un temps de recherche individuel, plusieurs élèves viennent à tour de rôle faire la construction au tableau. - Lenseignant instaure dans un premier temps, un travail danalyse de la tâche; les élèves interviennent à loral, collectivement, avant le démarrage de la construction au tableau.

121 - Les questions débattues sont par exemple : Ce quil me faut faire? Ce que je sais ? Ce que je ne connais pas ? Dois-je commencer par un endroit particulier ? Puis-je commencer par nimporte quel côté de la figure ? Comment puis-je avoir cette information ? - Le rétroprojecteur peut être utile, en superposant différents transparents. Les corrections sont faites au tableau et les programmes de construction élaborés collectivement. - Chaque élève note à côté de sa figure construite, lalgorithme de construction qui lui a permis de mener à bien la tâche demandée, et précise bien lordre des instructions.

122 B. Texte Figure - Plusieurs problèmes de construction vont être proposés pendant cette activité. Les élèves sont par groupe de deux - Les énoncés des exercices seront écrits au tableau. - Quand la construction demandée ne peut pas se faire sans tâtonner, les élèves vont faire un schéma à main levée et coder au fur et à mesure les informations données par lénoncé, en faisant en sorte de supposer le problème résolu.

123 - Avec le schéma muni de toutes les informations, vient alors le temps du raisonnement à partir de ce schéma, qui permet de trouver dautres informations encore, qui rendront enfin réalisable la construction demandée. - En fait, lélève crée ainsi une étape intermédiaire, où le croquis devient un lieu détude, un support de raisonnement. A ce stade là, on revient à lactivité A : Figure Figure - Lorsque le schéma codé permet davoir toutes les informations, lélève émet certaines conjectures et il doit apprendre à justifier sa production de tracés par une argumentation.

124 ENONCE 1 - Construis un parallélogramme ABCD tel que BAC = 69° - DAC = 42° et AC = 6 cm. - Sur quelles connaissances tappuies-tu pour obtenir des données supplémentaires, nécessaires à la construction demandée? - Fais une conjecture à propos du triangle ABC. Cette conjecture peut-elle être prouvée ? Certains élèves restent bloqués au stade du schéma à main levée, même lorsquil est muni de toutes les informations, ils ne savent pas quoi en faire, par quel bout le prendre.

125 AB C D 6cm 69° 42°

126 - Lactivité peut être modifiée en proposant des aides pour guider la construction. - Ce guidage, sous forme dinstructions, est photocopié, posé sur le bureau de lenseignant, et lélève qui se sent en difficulté, peut venir chercher ces aides. En voici un exemple: a) Tu as réalisé un schéma à main levée, sur lequel tu as codé toutes les informations données dans lénoncé. b) Compare la mesure des angles DAC et ACB. c) Construis le triangle ACB. d) Tu peux maintenant construire le parallélogramme ABCD. e) Réponds à la question posée, en justifiant ta conjecture.

127 ENONCE 1 Bis - Construis un parallélogramme EFGH tel que FEG = 49°, HEG = 42° et EG = 6 cm. - Sur quelles connaissances tappuies-tu pour obtenir des données supplémentaires, nécessaires à la construction demandée? - Fais une conjecture à propos du triangle EFG. Cette conjecture est-elle toujours vraie? Cet énoncé 1bis est proposé aux groupes délèves plus rapides.

128 EF G H 6cm 49° 42°

129 - La particularité de ce nouvel énoncé, qui ressemble beaucoup au précédent, est de présenter une perception visuelle forte qui induit une conjecture fausse, qui sera donc mise en défaut par le raisonnement. - Dans lénoncé 1, lélève «voit» un triangle ABC isocèle et peut le prouver, alors que dans lénoncé 1bis, lélève «voit» un triangle EFG rectangle mais il arrive, grâce à la propriété de la somme des mesures dangles dun triangle, à établir que langle EFG mesure 89°. - La recherche de ce problème permet de montrer aux élèves que la vision sur une figure géométrique peut induire en erreur et quil faut donc apprendre à sen méfier.

130 ENONCE 2 -Trace un triangle quelconque ABC, marque un point O sur le côté [AC] Trace la parallèle à la droite (BC) passant par O, cette parallèle coupe le coté [AB] en un point M. Trace une parallèle à la droite (AB) passant par le point O, cette nouvelle parallèle coupe le côté [CB] en un point P. - Comment faut-il placer le point O sur le côté [AC] pour que les mesures de longueur AO et MB soient égales?

131

132 Ce problème est un problème de recherche. Il peut être proposé en fin de classe de 5ème ou en 4ème selon la méthode de narration de recherche. Tout comme les précédents problèmes de construction, il peut être proposé aux élèves après létape du schéma, un guidage pour conjecturer sur la construction demandée.

133 En voici un exemple a)Tu as réalisé un schéma à main levée, et codé sur cette figure toutes les données de lénoncé. b) Quelle est la nature du quadrilatère PBMO ? - Compare les mesures de longueur BM et P0. - Compare aussi les mesures des angles BAP et AP0. c) En supposant le problème résolu, compare alors les mesures de longueur P0 et OA. Peux-tu alors en déduire la nature du triangle AOP ? Compare les mesures des angles APO et PAO d) En utilisant toutes ces informations que tu as codées au fur et à mesure sur ta figure, compare les mesures des angles BAP et PAO, en déduire la nature de la demi- droite [AP) e) Tu peux enfin déterminer la position du point O cherché.

134 - Il est possible de donner autrement ces instructions aux élèves. Les informations peuvent ne pas être utilisées ainsi : ni ensemble, ni en totalité, car cela dépend des activités antérieures de mise en place de raisonnements, qui ont déjà été réalisées avec les élèves. - Par ailleurs, ce travail peut-être proposé en activité de narration de recherche et, le problème commencé en classe, pourra être développé et rédigé à la maison.

135 Enoncé 3 - Construis un triangle ABC connaissant: la mesure de deux angles : ABC = 40° et ACB= 110° le périmètre du triangle ABC : P = 15 cm - Ce problème est un problème de recherche. Il peut être proposé en fin de classe de 5ème ou en 4eme selon la méthode de narration de recherche. -Tout comme les précédents problèmes de construction, il peut être proposé aux élèves après létape du schéma, un guidage pour conjecturer sur la construction demandée.

136 40° 110° A B C AB+AC+BC=15cm

137 40° 110° A B C 15cm

138 Des propositions …. de Lilian Delpuech professeur au collège Cité de Narbonne

139 MATHS en SCENE Le théâtre au service de lenseignement des mathématiques

140 Daprès le travail de Michèle Muniglia Plot N°16

141 PRINCIPE

142

143

144 Expérience personnelle Somme de relatifs: -Très facile à mettre en place. -Permet à tous les élèves de participer activement. -A bien accrocher les élèves en difficultés.


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