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Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth.

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1 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. Méthode Numérique III Modélisation Numérique Non Linéaire 1

2 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. Méthode Numérique III Modélisation Numérique Non Linéaire 2 But de lenseignement : Étendre les compétences en modélisation numérique aux problèmes non linéaires, en particulier pour la simulation des procédés de fabrication et le calcul optimal des structures. 1 - Résolution des problèmes non-linéaires 2 - Méthodes pas à pas en dynamique 3 - Prise en compte des comportements interfaciaux 4 - Non-linéarités géométriques : calcul en grands déplacements 5 - Non-linéarités matérielles : lois de comportement 6 - Dynamique rapide

3 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 3 Rappels Un problème non-linéaire est un problème pour lequel la matrice de rigidité de la structure varie avec sa déformation. Force Allongement F = k(x) x Ressort non-linéaire raideur variable Force Allongement F = k x Ressort linéaire raideur constante Au cours dune analyse non-linéaire, la matrice de rigidité de la structure doit être assemblée et inversée à chaque incrément de temps, ce qui rend ce type danalyse souvent très longue. On ne peut pas appliquer de principe de superposition et chaque cas de charge doit faire lobjet dune analyse.

4 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 4 Rappels Types de non-linéarités : Contact et CL Géométriques Matériaux Traitement des problèmes non-linéaires à laide dalgorithmes robustes et paramétrables (Newton-Raphson standard à pas adaptatif et méthode RIKS)

5 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. Non Linéarité Matérielle Lois de Comportement 5

6 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 6 Non-linéarités matérielles Hyper-élasticité : Comportement non linéaire réversible (élastique linéaire) de certains matériaux de type caoutchouc. Plasticité : Ce type de non linéarité concerne aussi les matériaux viscoplastiques ainsi que les comportements avec rupture ou endommagement. Viscoplasticité Endommagement Généralités

7 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 7 Plasticité Description de la courbe décrouissage au-delà de la zone linéaire - Pour la plupart des métaux lécoulement plastique correspond à 0,05-0,1% de E. - Acier (E = 210 GPa ; Re 0,2 = 500 MPa e = 2, ) Contrainte découlement Re 0,2 Écrouissage

8 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 8 Plasticité Notion de contrainte et déformation nominale et vraie - contrainte nominale - déformation nominale (allongement par unité de longueur). (force par unité de surface non déformée), Mesure adaptée aux hypothèses de petites déformations. Nouvelle mesure de la déformation par passage à la limite à partir de la définition précédente Après intégration, nous trouvons :

9 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 9 Plasticité Notion de contrainte et déformation nominale et vraie - déformation vraie : - contrainte vraie : De même, on définit la contrainte vraie ou force par unité de surface déformée à partir de lhypothèse de déformation à volume constant, on montre :

10 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 10 Plasticité Partition de la déformation totale On mesure la déformation totale On calcule la déformation élastique Puis la déformation plastique

11 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 11 Plasticité Différents types de modèles de comportement plastique a – Loi de comportement élasto- plastique parfait b – Loi de comportement élasto- plastique avec écrouissage linéaire (isotrope)

12 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 12 Plasticité Différents types de modèles de comportement plastique c – Loi de comportement élasto-plastique avec écrouissage (isotrope) non linéaire - Loi dHollomon - Loi de Ramberg-Osgood ou

13 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 13 Plasticité Différents types de modèles de comportement plastique - Traitement multiaxial de la Loi de Ramberg-Osgood Pression hydrostatique : Contrainte équivalents : Déviateur des contraintes :

14 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 14 Plasticité Plasticité isotrope / anisotrope & écrouissage isotrope / cinématique / anisotrope - On distingue divers aspects concernant le critère découlement et lécrouissage - aspect lié au critère découlement : - aspect lié à lécrouissage : isotrope anisotrope isotrope cinématique anisotrope

15 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 15 Plasticité Écrouissage isotrope / cinématique - Écrouissage isotrope : lécrouissage acquis en traction reste valable en compression (satisfaisant dans les calculs à chargement monotone ; mauvaise représentation des phénomènes cycliques). - Écrouissage cinématique : lécrouissage cinématique linéaire représente assez bien leffet Bauschinger (adoucissement en compression suite à un écrouissage en traction), mais mal les effets de consolidation cyclique. Écrouissage isotrope Écrouissage cinématique

16 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 16 Plasticité Écrouissage isotrope / cinématique tenseur (appelé Back-Stress en anglais) nul lorsque le matériau est vierge, et représentant la position du centre de surface de charge dans lespace des contraintes. Une forme simple dévolution de est : -On suppose dans lécrouissage cinématique que lors dun chargement plastique, la surface initiale de plasticité se translate sans se déformer dans lespace des contraintes. - Les paramètres dhérédité sont ici groupés dans un Critère de plasticité de VM :

17 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 17 Plasticité numérique Fondements de la plasticité « numérique » - Partition de la déformation totale - Déformation plastique volume constant - Décomposition du taux de déformation La loi de Hooke pilote le changement de volume Suite au constatations expérimentales La loi de Hooke pilote la déformation élastique Le chargement est défini par un tenseur de comportement tangent Le déchargement est toujours élastique linéaire

18 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 18 Plasticité numérique Fondements de la plasticité « numérique » Il existe un critère de plasticité F(,k), qui permet de définir le comportement élastoplastique. Dans le cas de lécoulement plastique, celui-ci seffectue normal à la surface de charge (loi de normalité ; direction qui rend maximal le travail plastique) Se traduit par le fait que lincrément de déformation plastique est perpendiculaire à la surface découlement

19 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 19 Plasticité numérique Formulation de la matrice de rigidité - différentielle de la fonction découlement : - application de la loi de comportement : - calcul de lincrément de contrainte : Cond. De normalité - Évaluation de lincrément du critère de plasticité : soit,

20 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 20 Plasticité numérique Formulation de la matrice de rigidité - Reportons le résultat précédent dans la loi de comportement matrice de comportement élastoplastique telle que : Ainsi, la matrice de rigidité tangente prend la forme : avec suivant la nature du comportement : - comportement élastique : - écoulement plastique : - décharge plastique :

21 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 21 Plasticité numérique Implémentation dans un code de calcul éléments finis Le traitement numérique de la plasticité seffectue généralement par des méthodes incrémentales. Nous cherchons à résoudre : avec : Partie élastique Partie élasto-plastique

22 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 22 Plasticité numérique

23 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 23 Plasticité numérique

24 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 24 Plasticité numérique

25 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 25 Plasticité numérique Méthode dintégration explicite Une fois F choisie on évalue le multiplicateur plastique On évalue au temps t les quantités : Actualisation à t+ t grâce à un schéma explicite : - Conditionnellement stable, - Précision dépendant de la taille de lincrément de temps, - Le multiplicateur plastique d vérifie la condition découlement au temps t, lintégration ne garantie plus cette condition au temps t+ t !!! - La solution peut dériver. - Intégration simple.

26 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 26 Plasticité numérique Méthode dintégration implicite (retour radial) - Évaluation pour un incrément de chargement impliquant une déformation plastique, dune solution au-delà de la surface limite donnée par le critère découlement (prédicteur élastique), - Calcul du correcteur plastique permettant de revenir sur la surface découlement, - Loi de Hooke - Déformation élastique en fin dincrément - La méthode implicite permet de remédier au problème du schéma explicite, en ayant de plus lavantage dêtre inconditionnellement stable. - La précision reste tout de même dépendante de taille de lincrément de temps.

27 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 27 Plasticité numérique Quelques idées sur Abaqus/Standard - utilisation dun schéma dintégration implicite, - utilisation de la contrainte de Cauchy ( v ) et de la déformation logarithmique ( v ), - partition de la déformation totale, rapport additif des taux de déformation, - incompressibilité de pl défm. à volume contant phénomènes de verrouillage éléments du second ordre à intégration complète à proscrire, - pas de problème avec les éléments du 1 ier ordre à intégration complète (de même que pour les éléments du 1 ier ordre à intégration réduite), - les éléments du second ordre à intégration réduite posent problème pour les fortes déformations (> 30%), - Il existe sur Abaqus des éléments du 2 nd ordre hybrides ou modifiés qui permettent de saffranchir des inconvénients des éléments du 2 nd ordre à intégration complète (voir doc. appropriée).

28 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 28 Viscoplasticité Prise en compte du comportement viscoplastique des matériaux La plasticité concerne essentiellement le comportement anélastique pour de faibles températures (T° < 0,5 T f-absolue ), et de faibles taux de déformation. En revanche, la visco-plasticité concerne comportement anélastique aux hautes températures (T° > 0,5 T f-absolue ), et aux forts taux de déformation. On rencontre deux types de phénomènes viscoplastiques : - la plasticité fonction de (rate dependent plasticity) - le fluage viscoplastique (creep) Viscoplasticité évolution temporelle des déformation permanentes

29 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 29 Viscoplasticité le fluage viscoplastique ou (creep) La viscoplasticité ou (rate dependent plasticity) V

30 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 30 Viscoplasticité La viscoplasticité (rate dependent plasticity) La prise en compte de la viscoplasticité seffectue par lintroduction dans le modèle dun seuil découlement y dépendant de la vitesse de déformation plastique. (pb de dynamique rapide ; mise en forme) Une façon de faire consiste à estimer la sur contrainte à partir de la relation : contrainte découlement à contrainte découlement statique Paramètres matériau (fonctions de la T° et de variables détat)

31 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 31 Viscoplasticité La viscoplasticité (rate dependent plasticity) Définition de comme une fonction de OK pour ces 2 méthodes à condition davoir les mêmes formes de lois pour les différentes températures. Dans le cas contraire il faut spécifier directement la dépendance /. Cowper-Symonds overstress power law Johnson Cook rate dependent Autres lois

32 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 32 Viscoplasticité Le fluage viscoplastique (creep) La prise en compte du fluage viscoplastique seffectue par lajout dun nouveau terme dans la décomposition de la déformation totale. Ce terme sera caractérisé par une loi de type Andrade (fluage primaire), Norton (fluage secondaire)… Abaqus propose plusieurs lois permettant dévaluer en fonction du temps, du chargement,…. - Pour les régions à forte concentration de contrainte (pointe de fissure) on observe généralement une évolution exponentielle de la contrainte. On retrouve se caractère en utilisant une loi de fluage de type sinus-hyperbolique (pour / y >>1).

33 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 33 Viscoplasticité Le fluage viscoplastique (creep) - Bien que limitée dans ces applications (niveau de contrainte relativement faible), la loi puissance est intéressante de par sa simplicité. La version « time hardening » doit être utilisée lorsque létat de contrainte reste sensiblement constant, c'est- à-dire pour le cas de simulations de type fluage. La version « strain hardening » est utilisée lorsque létat de contrainte varie au cours de lanalyse, c'est-à-dire pour le cas de simulations de type relaxation.

34 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 34 Élasticité non linéaire Prise en compte du comportement élastique non linéaire des matériaux Phénoménologie : - Les élastomères sont couramment désignés sous le terme de caoutchouc, - Ce sont des polymères qui présentent à la température ambiante une très grande capacité de déformation, totalement réversible donc élastique, - De part leur structure moléculaires, ils sont isotropes,

35 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 35 Élasticité non linéaire Prise en compte du comportement élastique non linéaire des matériaux Phénoménologie : - Caractère visco-élastique plus ou moins marqué (relaxation, fluage, effet de la vitesse), - Effet Mullins

36 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 36 Élasticité non linéaire Modélisation du comportement hyperélastique - Le comportement hyperélastique des élastomères doit vérifier l'isotropie. Il est défini par l'expression de la densité d'énergie de déformation W qui ne dépend que de l'état de déformation courant, et se présente comme une fonction des élongations principales (, 3 ) ou des invariants du tenseur des déformations de Cauchy-Green droit : - La variation de volume est entièrement caractérisée par le 3 ième invariant du tenseur de C. En effet J = 3 doù, I 3 = J ². Lincompressibilité sera traduite par : I 3 =1.

37 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 37 Élasticité non linéaire Modélisation du comportement hyperélastique - Les matériaux hyper-élastiques sont décrits à l'aide d'un potentiel d'énergie de déformation, W( 1, 2, 3 ), qui définit l'énergie de déformation par unité de volume stockée. - Les contraintes principales de Cauchy associées à un état de déformation sont données par : p, représente un niveau arbitraire de pression hydrostatique (multiplicateur de Lagrange).

38 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 38 Élasticité non linéaire Modélisation du comportement hyperélastique - Plusieurs formes de potentiel d'énergie de déformation conduisent à différentes modélisations des élastomères isotropes et incompressibles :. Forme polynomiale : Pour les cas où les déformations nominales sont petites ou seulement modérément grandes (<100%), le premier terme de la série polynomiale procure habituellement un modèle suffisamment précis.. Forme Mooney-Rivlin : La forme la plus simple de la fonction polynomiale (N=1) donne la forme compressible de la loi classique de Mooney-Rivlin.

39 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 39 Élasticité non linéaire Modélisation du comportement hyperélastique. Forme neo-hookien : Quand C 10 =0 dans la loi de Mooney-Rivlin, la fonction énergie de déformation correspond à la forme compressible de la forme neo-hookien.. Forme de Ogden : Quelques recommandations Abaqus … - Si lon dispose de plusieurs expérimentations valables (1D et biaxial), alors Ogden et Van der Walls sont plus précis. - Si les données sont limitées pour létalonnage, les formes Arruda-Boyce, Van der Walls, Yeoh ou polynomial réduit donnent des résultats corrects. - Si lon ne dispose que dun jeu de données (1D, biaxial ou test plan), il est recommandé de choisir la forme de Marlow.

40 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 40 Endommagement Modélisation de lendommagement - Lendommagement se traite comme une extension de la mécanique des milieux continus, à partir du principe déquivalence en déformation ou en énergie. - Il permet la prise en compte des variations de propriété du matériau au cours du chargement et/ou du temps. - Il y a donc bien nécessité dactualisation de la matrice de comportement au cours dun calcul, doù le caractère non-linéaire. (voir module approprié)

41 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 41 Méth. pas à pas Méthodes pas à pas en dynamique

42 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 42 Méth. pas à pas Méthodes pas à pas en dynamique Ce système ne peut être découplé que dans quelques cas : - [M] et [K] indépendants du déplacement et [C] nul (syst. linéaires non amortis), - [M] et [K] indépendants du déplacement et [C] combinaison linéaire de [M] et [K] nul (syst. linéaires à amortissement linéaire), Il est alors possible les résoudre par la méthode de superposition modale… Système déquations couplés en dynamique Dans le cas général, on accède à la solution à un instant donné, en déterminant lhistoire de cette solution. On génère la solution à linstant suivant à partir de la solution aux instants précédents, doù le nom de « méthodes de résolution pas à pas ». Méthode de résolution pour les pb non-linéaires ou à amortissement quelconque.

43 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 43 Méth. pas à pas Schéma dintégration numérique Schéma dintégration numérique façon dapprocher les vecteurs inconnus En général, une relation de différences finies Utilisation dun développement en série de Taylor - / +- / + Approximation de laccélération et de la vitesse en fonction des déplacements

44 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 44 Méth. pas à pas Formulation explicite Écrivons le système à linstant t+ t à laide du schéma dintégration numérique : Le terme de droite nutilise que des quantités connues à t+ t explicite La solution est obtenue par le produit. Si ne dépend pas du déplacement, une seule inversion => itérations très rapides. Problème : méthode non conditionnellement stable

45 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 45 Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de temps est petit. Un schéma dintégration explicite permet de rendre compte des phénomènes locaux et dassurer un transfert numérique des efforts au sein de la structure. Pour ce cas la matrice [K] obtenue ne dépend pas de la matrice de raideur [K], mais uniquement de la matrice de masse [M], soit : Schéma dintégration explicite des différences centrales : Le schéma explicite nest pas inconditionnellement stable. Une condition de stabilité lie le pas de temps au pas despace et sexprime : Modélisation des phénomènes de dynamique rapide - (choc ou explosion) Méth. pas à pas Formulation explicite

46 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 46 Méth. pas à pas Formulation implicite Si on utilise une relation de différences finies décentrée à droite, on obtient lalgorithme de Houblot qui est implicite. Le système doit être résolu à chaque itération, Le schéma est inconditionnellement stable Itérations moins nombreuses, mais plus longues à effectuer

47 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 47 Le vecteur déplacement du pas suivant est fonction des caractéristiques du pas précédent et du pas suivant (algorithme de type déplacement). Algorithmes généralement inconditionnellement stable Si calcul élastique linéaire aucune condition sur le pas de temps. un seul calcul de la matrice de raideur doù un seul assemblage et une seule inversion de [K] Une force locale appliquée a un effet immédiat sur le reste de la structure. Pas de traitement dynamique local, mais rendu à léchelle de la structure dune force transitoire appliquée. Méth. pas à pas Formulation implicite

48 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 48 Méth. pas à pas Formulation mixte : algorithme de Newmark On exprime les vecteurs vitesses et déplacement en fonction des vecteurs accélérations et des anciens vecteurs vitesse et accélération : Il existe des variantes selon les valeurs de a et b utilisées, (a = 0 ; b = 0) schéma purement explicite (a = ½ ; b = ½) schéma mixte Le schéma est conditionnellement stable !

49 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. Dynamique rapide 49 Dynamique Rapide

50 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 50 Dynamique Rapide Dynamique rapide Domaine : Forces dinertie (liées à la masse et à la vitesse) supérieures aux efforts internes (liés à la rigidité) Difficultés auxquelles il faut faire face : - distorsion du maillage en raison des très grands déplacements, - lois de comportement extrêmes, pl forte élévation locale de température, - traitement explicite des équations très faible pas de temps (nombre ditérations élevé, ) (ici s t crit à s), - Gestion délicate des zones de contact.

51 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 51 Dynamique Rapide Dynamique rapide - (ou explicit dynamic) Cest une méthode efficace pour résoudre une large variété de problèmes non linéaires en mécanique du solide et des structures. - Étude des événements survenant à grande vitesse sur des temps très courts (explosion…), - Problèmes complexes de contact (en raison dune formulation plus simple) gestion du contact entre différentes pièces indépendantes… étude du transitoire dans les problèmes dimpact et des variations rapides de surfaces de contact, - Problèmes dévolution post-flambement (traitement dinstabilités), - Problèmes quasi-statiques fortement non-linéaires (pb. de contact & de mise en forme ; forgeage, filage, étirage…), - Problèmes avec prise en compte dendommagement et de ruine des matériaux (fissuration fragile dans les bétons et les céramiques, endommagement ductile des métaux avec gestion de la disparition des éléments totalement endommagés…)

52 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 52 Dynamique Rapide Méthode éléments finis dynamique explicite - Un schéma dintégration explicite est construit à laide des différences finis centrés pour lintégration temporelle de la cinématique Pour ce cas la matrice [K] obtenue ne dépend pas de la matrice de raideur [K], mais uniquement de la matrice de masse [M], soit : Au début dun incrément, on doit résoudre léquilibre dynamique tel que la matrice de masse nodale [M] par laccélération nodale, soit égale aux forces nodales (différence entre les forces extérieures P et les forces internes I. Laccélération au début de lincrément courant (temps t) sera : La matrice de masse utilisée étant diagonale (lumped mass matrix), ce calcul est trivial et très rapide.

53 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 53 Dynamique Rapide Méthode éléments finis dynamique explicite Lintégration temporelle de laccélération par différences finis centrés donne : Lintégration temporelle de la vitesse, ajoutée au déplacement au temps t, permet le calcul du déplacement en fin dincrément On constate bien que le déplacement en fin dincrément sexprime uniquement en fonction des quantités (déplacement, vitesse, accélération) calculées au début de lincrément.

54 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 54 Dynamique Rapide Algorithme - Méthode éléments finis dynamique explicite 1 – résolution aux nœuds 2 – Calcul sur les éléments b – intégration temporelle explicite a – équilibre dynamique a – évaluer lincrément de déformation à partir du taux des déformations b – calcul des contraintes à partir de loi constitutive c – assemblage des forces internes aux nœuds 3 – Actualiser t à t+ t puis aller à létape 1.

55 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 55 Dynamique Rapide Méthode éléments finis dynamique explicite Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de temps est petit. Un schéma dintégration explicite permet de rendre compte des phénomènes locaux et dassurer un transfert numérique des efforts au sein de la structure. Le schéma explicite nest pas inconditionnellement stable. Le critère de stabilité fait intervenir la plus grande fréquence propre du système et vaut en labsence damortissement : Dune façon pratique la condition de stabilité lie le pas de temps au pas despace par la relation : Distorsion / mass scaling ? L e : longueur du plus petit élément C d : plus grande célérité des ondes dans la structure Acier : (210 GPa ; 7800 kg.m -3 ) C d 5200 m/s Si L e = 5mm alors t s

56 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 56 Dynamique Rapide Propagation numérique dune force sur une barre dont le modèle est exposé ci- dessous. Méthode de résolution : exemple

57 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 57 Dynamique Rapide Méthode de résolution : exemple inc 1 : - le nœud 1 possède une accélération résultant de la force P exercée - lincrément de déformation est obtenu par intégration du taux de déformation sur linc. de temps 1. La déformation totale sera la somme de lincrément de déformation et de la déformation initiale. - La contrainte au sein de lélément 1 sera calculée à partir de la loi de comportement : - laccélération engendre une vitesse au nœud 1 qui en retour induit un taux de déformation de lélément 1. - Les nœuds 2 et 3 ne bougent pas au cours de cet inc. puisque aucune force ne leur est appliquée.

58 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 58 Dynamique Rapide Méthode de résolution : exemple inc 2 : - Au cours de cet incrément, la contrainte au sein de lélément 1 induit des forces internes agissant sur les nœuds liés à 1 - Config début inc2 - Config début inc3 - Le processus se poursuit jusquà atteindre le temps souhaité.

59 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 59 Dynamique Rapide Description du mouvement La prise en compte dune description particulière du mouvement permet de limiter les fortes distorsions du maillage. - Description Lagrangienne : Lobservateur est fixe par rapport à lécoulement de la matière, on suit le mouvement dune particule observée. Les grandeurs physiques sont exprimées dans la configuration de référence. (pb distorsion maillage, HPP) - Description Eulérienne : Lobservateur fixe un point géométrique de lespace, qui est le siège découlement de matière. Les grandeurs physiques sont exprimées dans la configuration déformée. (pb gestion des CL, des surfaces libres) - Description Euléro-Lagrangienne Arbitraire : Description mixte du mouvement. Lobservateur fixe un point de référence dont on gère arbitrairement le mouvement. Cette description est associée à un algorithme de r lage automatique et adaptatif…(Cf. cours spécialisé).

60 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 60 Dynamique Rapide Avantage dune description ALE avec r lage automatique… Description du mouvement

61 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 61 Dynamique Rapide Sensibilité de lécrouissage à la vitesse de déformation et à la température. Lois de comportement thermo-élasto-viscoplastique J-C Lécriture des équations constitutives dans les axes corotationnels permet dutiliser un schéma dintégration de la loi constitutive élasto-plastique identique à celui utilisé en petites déformations

62 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 62 Dynamique Rapide Endommagement plastique ductile des métaux (J.-C.). Intégration dun critère dendommagement à la loi de comportement.

63 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 63 Dynamique Rapide Modélisation de lusinage : coupe orthogonale & fraisage

64 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 64 Plasticité numérique Exemple :

65 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 65 Plasticité numérique Exemple :

66 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 66 Plasticité numérique Exemple :

67 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 67

68 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 68 Solveur ? Équations déquilibre locales + Conditions initialesu(0) déplacement, v(0) vitesses, + Conditions aux limites sur les déplacements. MMC conservation de lénergie totale, conservation de la masse. sur un é l é ment de volume V de la structure sur un é l é ment de surface d de la structure Problème à résoudre

69 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 69 Solveur ? Formulation variationnelle : Principe des Puissances Virtuelles Soit : ou encore : (1) Discrétisation de lespace par éléments finis : équation matricielle

70 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 70 Solveur ? Problème à résoudre t n-2 t n-1 tntn t n+1 t n Axe des temps Discrétisation en temps résolution successive du système sur p pas de temps Résolution sur chaque pas de temps par intégration directe : Exprimer grâce à des approximations ( schémas dintégrations ) les déplacements, vitesses ou accélérations du pas suivant en fonction des résultats du pas précédent deux types de schémas dintégrations : Implicite & Explicite

71 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 71 Solveur ? Algorithme de résolution : Schéma implicite

72 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 72 Solveur ? Le vecteur déplacement du pas suivant est fonction des caractéristiques du pas précédent et du pas suivant (algorithme de type déplacement). Algorithmes généralement inconditionnellement stable Si calcul élastique linéaire aucune condition sur le pas de temps. un seul calcul de la matrice de raideur doù un seul assemblage et une seule inversion de [K] Une force locale appliquée a un effet immédiat sur le reste de la structure. Pas de traitement dynamique local, mais rendu à léchelle de la structure dune force transitoire appliquée. Algorithme de résolution : Schéma implicite

73 Méthode Numérique III – S9 Modélisation Numérique Non Linéaire Introduction. Rappels NL matériau. Plasticité. Viscoplasticité. Hyperélasticité. Endo. Méth. Pas à pas Dyn. Rapide. Généralités. Méthode. Algo.. ALE. Loi Comp t. Conclusion. 73 Solveur ? Algorithme de résolution : Schéma explicite Ainsi plus le maillage est fin plus le pas de temps est petit. Un schéma dintégration explicite permet de rendre compte des phénomènes locaux et dassurer un transfert numérique des efforts au sein de la structure. Pour ce cas la matrice [K] obtenue ne dépend pas de la matrice de raideur [K], mais uniquement de la matrice de masse [M], soit : Schéma dintégration explicite des différences centrales : Le schéma explicite nest pas inconditionnellement stable. Une condition de stabilité lie le pas de temps au pas despace et sexprime : Modélisation des phénomènes de dynamique rapide - (choc ou explosion)


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