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Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Laboratoire G-SCOP 46, av Félix Viallet.

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1 Centre National de la Recherche Scientifique Institut National Polytechnique de Grenoble Université Joseph Fourier Laboratoire G-SCOP 46, av Félix Viallet Grenoble Cedex OPTIMISATION COMBINATOIRE problèmes doptimisation pour les graphes, hypergraphes, polyèdres, … solutions individuelles, sur mesure et méthodes générales confection András SEBŐ séminaire G-SCOP 17 avril 2007

2 Léquipe –Claude BENZAKEN (ex-prof UJF) –Wojciech BIENIA (ENSIMAG) –Olivier BRIANT (GILCO ENSGI) –Michel BURLET (UJF) –Frédéric MAFFRAY (CNRS) –Myriam PREISSMANN (CNRS) –Denis NADDEF (ID prof ENSIMAG) –András SEBŐ (CNRS) –Zoltán SZIGETI (nouveau prof ENSIMAG) Doctorants : Gaëlle GIBERTI, Roland GRAPPE, Benjamin LÉVÊQUE, Guyslain NAVES, Júlia PAP+3

3 Doctorants, postdocs 2006 David DÉFOSSEZ : Coloration d'hypergraphes et clique-coloration (Myriam) Gaëlle GIBERTI : Combinatoire et biologie (Myriam, András) Roland GRAPPE : Connectivité des graphes (Zoltán) Vincent JOST : Ordonnancement chromatique: polyèdres, complexité et classification (Nadia, András) Benjamin LÉVÊQUE : Graphes parfaits (Frédéric) Frédéric MEUNIER : Pleins étiquetages et configurations équilibrées aspects.. topologiques de l'Optimisation Combinatoire (András) Guyslain NAVES : Chemins disjoints (András) Sylvain THOMAS : Dimensionnement et Pilotage des effectifs logistiques. d'approvisionnement Bord de Ligne (Olivier, Yannick) Olivier RICHARD : Résolution de problèmes combinatoires liés à un régulateur court terme du trafic aérien (Wojciech) + Attila BERNÁTH (7 mois), Júlia PAP (10 mois), László VÉGH (3 mois 07) Postdocs : Henning BRUHN (1 an), Genna SHMONIN (6 mois 07)

4 Quelques thèmes de recherche - Fiabilité de réseaux, connectivité - Problèmes de chemins disjoints, routage - Coloration, noyaux, graphes parfaits - Théorie des couplages, factorisation des graphes - Fonctions sous-modulaires - Géométrie des nombres, intégralité des polyèdres, cones, « High multiplicity cutting stock » - Trafic aérien (collaboration possible avec RO) - Vehicle routing - Gestion de la diversité (thesard commun avec GCSP G-SCOP) - Nouvelles applications dans les sciences naturelles (autres avec dautres) … du sur mesure jusquaux modèles généraux

5 Projets MATHSTIC CNRS (2005): Combinatoire et géométrie des polyèdres ADONET ( ): Integer Programming and Combopt EURECO ( ) NANA BQR INPG (2007) Zoltán avec Van Dat et Nadia GDR RO CNRS (2006, 2007) Franco-Algérien CMEP Franco-Israélien MEA COFECUB, AMSUD CNRS PEPS CNRS (avec les autres equipes de G-SCOP, sur la diversité)

6 En 1736, Euler résout un problème connu sous le nom du problème des sept ponts de Königsberg, publiant un article Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis qui pourrait être l'application la plus ancienne de la théorie des graphes ou de la topologie. Cette publication serait également la plus ancienne et donc la première en Recherche Opérationnelle. Les ponts de Königsberg … Leonhard Euler min tour postier

7 Les ponts de Königsberg Théorème (Euler 1736): Il existe un tour Eulérien si et seulement si il y a un nombre paire de ponts qui partent de chaque « bout de terre » Théorème (Edmonds-Johnson 1973) :.. min tour = nombre de ponts (arêtes). + max nombre de « coupes impaires disjointes ». Continuation jusquà nos jours !

8 Problèmes dOptimisation Combinatoire DU POSTIER (CHINOIS) : DONNÉES : Graphe arête-pondéré TÂCHE: parcours de poids min de toutes les arêtes 1 fois. DU VOYAGEUR COMMERCE: DONNÉES : Graphe arête-pondéré TÂCHE: parcours de poids min de tous les sommets 1 fois. : DIFFICILE FACILE

9 La diversité des voitures =n produit semi-fini (PSF) : n options : module préfabriqué de certaines options, cad un sous-ensemble doptions Exemple : Combien de sortes de voitures différentes peut-on. fabriquer en assemblant k=2 des PSF suivants ? les 4 PSF les 2 lignes + 1 = 7

10 Un problème de « diversité » DIVERSITÉ DES VOITURES : DONNÉES : nombre k, liste des voitures voulues TÂCHE : minimiser le nombre de PSF tq puisse être assemblée de k PSF. Yannick et Hakim: n, k la seule donnée,. min {nombre de PSF : tout peut être assemblé de k PSF} PSF(n,k):= Diviser en k lots de taille p:= n/k ( -1 ) et prendre. comme PSF toutes les parties non-vides des lots. V = P ({1,…,n} ) V P ({1,…,n} ) Voiture V DIFFICILE n=16, k=6 PSF TOTAL 34 PSF 2 16 = produits finis

11 Un problème extrémal PSF (16, 6) Pour k=2 cest une conjecture dErdős (1993) ! PSF TOTAL 34 PSF 2 16 = produits finis Et si on voulait seulement des voitures à 7 options ? (= k+1) minimiser le nombre darêtes dun graphe, sans avoir 7 sommets sans arêtes Turán (1941): k+2: Füredi, Katona (2006) PSF(n,k):= Diviser en k lots de taille p:= n/k ( -1 ) et prendre. comme PSF toutes les parties non-vides des lots. Conjecture : PSF(n,k) est optimal pour tout n,k (et unique si p 3)

12 Théorème: Si k n/3 alors psf(n,k) est optimal. Preuve: p 3 ; Conjectures + Théorèmes Yannick, Benjamin, András )2.) 3.)4.) psf(n,k)= psf(n-1,k) + 3 (+ 1 singleton) Soit G un ensemble opt de PSF (tq tout peut etre assemble de k): o option: | G| |G - o| + | G o |. Existe-t-il o tq | G o | 3 ? G graphe: sommets = options ; |M| 2, M PSF : 1arête ab, a b M de façon que le nombre de comp est min. On trouve k + t sommets avec t - 1 paires et aucun triplet PSF. k=15, t=2 Q E D OUI, toujours !


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