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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit mixte Produit mixte.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit mixte Produit mixte

2 Mise en situation Le produit mixte de deux vecteurs est un scalaire. Cest le résultat dun produit vectoriel suivi dun produit scalaire. Il met donc en cause trois vecteurs. Nous verrons comment effectuer le produit mixte de vecteurs algébriques dans R 3 et nous lutiliserons pour calculer des volumes et des distances.

3 Produit mixte de vecteurs Le produit mixte de ces trois vecteurs est défini par : Définition Produit mixte de vecteurs algébriques u (v w) Soit u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ), v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ) et w = (w 1 ; w 2 ; w 3 ), trois vecteurs de R 3.

4 Calcul du produit mixte v w = S u (v w) Déterminons la procédure à suivre pour effectuer le produit mixte. = (v 2 w 3 – v 3 w 2 ) ijk v1v1 v2v2 v3v3 w1w1 w2w2 w3w3 v1v1 i– (v 1 w 3 – v 3 w 1 )j+ (v 1 w 2 – v 2 w 1 )k En effectuant le produit scalaire, on obtient : = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) (v 2 w 3 – v 3 w 2 ; – (v 1 w 3 – v 3 w 1 ); (v 1 w 2 – v 2 w 1 ) = v1v1 v2v2 v3v3 w1w1 w2w2 w3w3 u2u2 u3u3 u1u1 S On constate que, pour calculer le produit mixte des trois vecteurs, on peut appliquer une démarche analogue à celle pour effectuer le produit vectoriel en plaçant sur la première ligne les composantes du vecteur u au lieu de i, j et k. Le produit vectoriel v w donne :

5 Produit mixte nul Le produit mixte est nul si les vecteurs u, v et w sont coplanaires. En effet, le vecteur u est alors perpendiculaire au produit vectoriel v w. Si les vecteurs ne sont pas coplanaires, le produit mixte est non nul.

6 Produit mixte

7 Exemple u (v w) = 3– Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs : u = (2; 1; 4), v = (3; –2; 5) et w = (8; 1; 3) S Le produit mixte donne : = [2 (–11)] – [1 (–31)] + [4 (19)] = 85 On a donc : u (v w) = 85 Le volume du parallélépipède est de 85 unités de volume.

8 Distances dans R 3 Distance dun point Q à un plan dont on connaît deux vecteurs directeurs. Distance dun point Q à un plan dont on connaît trois points. La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède. On lobtient en divisant le volume par laire de la base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. On détermine un point R du plan ainsi que le vecteur RQ. On détermine le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs, D 1, D 2 et RQ donné par la valeur absolue du produit mixte. Soit A, B et C, les points. On procède de façon analogue en consi- dérant les vecteurs D 1 = AB, D 2 = AC et AQ.

9 Distances dans R 3 pour trouver la distance dun point Q à un plan dans R 3 (en utilisant des vecteurs directeurs) 1.Déterminer deux vecteurs directeurs du plan. 2.Déterminer un point R du plan. 3.Construire le vecteur allant du point R du plan au point Q dont on cherche la distance au plan. 4.Utiliser le produit mixte pour trouver le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs. Procédure 5.Calculer la hauteur du parallélépipède en divisant son volume par laire de sa base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. La hauteur du parallélépipède est la distance cherchée.

10 Exercice S La distance est denviron 6,47 unités. Le volume du parallélépipède est alors : 6,47 Trouver la distance du point Q(4; 5; 7) au plan : x = 2 + 3s – 2t y = 5 – 4s + t z = –7 + 5s – 3t Les vecteurs directeurs sont : = (3; –4; 5) etD1D1 R(2; 5; –7) est un point du plan et D2D2 = (–2; 1; –3) et RQ = (2; 0; 14). RQ (D 1 D 2 ) = 3–4 5 –21 – = –56 D 1 D 2 = 3–4 5 –21 –3 ijk ijk= 7– 1– 5= (7; –1; –5) (–1) 2 + (–5) 2 D 1 D 2 = =75 et d (Q, ) = –56 75 S

11 Distances dans R 3 Distance entre deux droites gauches (Méthode du produit mixte). La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède que lon obtient en divisant le volume par le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs, puisque celui-ci donne laire de la base du parallélépipède. Par le produit mixte, on détermine le volume du parallé- lépipède construit sur les vec- teurs D 1, D 2 et PR. On considère un point P de lune des droites et un point R de lautre droite pour construire le vecteur PR.

12 Exercice Trouver la distance entre les droites suivantes : SS 1 : x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t Les vecteurs directeurs sont : = (–3; 7; –2) et D1 D1 = (6; –2; –3). D2 D2 2 : x = 8 + 6s y = 2 – 2s z = –3 – 3s On a P(2; –5; –3) sur 1 et R(8; 2; –3) sur 2, doù : = (6; 7; 0). PR Le produit mixte des vecteurs donne : La distance du point au plan est donc denviron 6,11 unités. La distance est alors donnée par : = 6(–21 – 4) – 7(9 + 12) + 0(6 – 42) = 6(–25) – 7(21) + 0(–36) = –297 6,11 6 7–2 6 –3 70 D 1 D 2 ) = PR ( d( 1, 2 ) = = – D 1 D 2 ) PR ( D 1 D 2 De plus, D 1 D 2 = –25i– 21jk– 36 D 1 D 2 et =

13 Distance entre deux droites gauches Produit mixte pour déterminer la distance entre deux droites gauches 1.Déterminer les vecteurs directeurs des droites. 3.Effectuer le produit mixte des trois vecteurs directeurs et prendre la valeur absolue du produit pour obtenir le volume du parallélépipède. 2.Déterminer un point sur chacune des droites et le vecteur joignant ces deux points. 4.Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs et prendre le module de celui-ci pour déterminer laire de la surface de la base. Procédure 5.Diviser le volume du parallélépipède par laire de sa base pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.

14 Exercice Trouver la distance entre les droites suivantes : SS Le produit mixte des vecteurs donne : La distance est alors donnée par : = 6(4 – 30) – 5(–8 + 25) + 7(24 – 10) = 6(–26) – 5(17) + 7(14) = –143 6 –25 –56– D 1 D 2 ) = PR ( 1 : x = 5 + 4t y = 4 – 2t z = –2 + 5t Les vecteurs directeurs sont : = (4; –2; 5) et D1 D1 = (–5; 6; –2). D2 D2 2 : x = 11 – 5s y = 9 + 6s z = 5 – 2s On a P(5; 4; –2) sur 1 et R(11; 9; 5) sur 2, doù : = (6; 5; 7). PR d( 1, 2 ) = D 1 D 2 ) PR ( D 1 D 2 = – ,20 La distance entre les droites est donc denviron 4,20 unités. De plus, D 1 D 2 = –26i– 17jk+ 14 D 1 D 2 et =

15 Conclusion Le produit mixte de trois vecteurs de R3 R3 est un scalaire dont la valeur absolue représente le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs ramenés à une origine commune. Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires. On peut utiliser le produit mixte pour calculer des distances dans R3R3 en utilisant le fait que le volume du parallélépipède divisé par laire de sa base donne la hauteur. On peut également déterminer léquation cartésienne du plan dont on connaît un point et deux vecteurs directeurs à laide du produit mixte.

16 Lecture Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.4, p. 289 et 290. Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.3, p. 281 à 283.


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