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Cours de microéconomie Semestre 1 Dr S. BOUMOULA Université de Béjaïa.

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1 Cours de microéconomie Semestre 1 Dr S. BOUMOULA Université de Béjaïa

2 Introduction générale Lanalyse microéconomique est une discipline de la science économique qui étudie le comportement des agents économiques (le consommateur et le producteur) considérés comme centres de décisions autonomes agissant pour leur bien - être propre dans un contexte de production et de répartition des ressources supposées rares. Lanalyse micro – économique utilise les instruments conceptuels de lécole néoclassique dont le but est de tenter une explication de la formation des prix sur les différends marchés des biens et services.

3 Introduction générale A travers lanalyse des comportements du consommateur et du producteur (on dira aussi de lentreprise ou de la firme), les néo - classiques bâtissent leur théorie de la production et de la répartition des richesses. Ils proposent en même temps, leur propre définition de loptimum économique dans un contexte de libre concurrence.

4 Introduction La libre concurrence entre les producteurs, ces agents économiques qui vendent (qui « offrent ») leurs produits et les consommateurs qui achètent (qui demandent) les biens nécessaires à la satisfaction de leurs besoins (ou qui leur procurent de lutilité) aboutit à la formation de léquilibre sur le marché grâce au jeu de la loi de loffre et de la demande qui va imposer la formation du prix (des biens et services) et des quantités déquilibre des biens ainsi échangés.

5 Introduction générale Pour mener à bien leur démonstration, les néo classiques utilisent une démarche de raisonnement dite « à la marge ». Ainsi, le consommateur naura pas atteint son «équilibre » tant que la consommation dune unité supplémentaire du bien demandé lui procure un surcroît de satisfaction ou « dutilité ». Lutilité marginale est en effet, dans le modèle néo classiques, à la base des choix du consommateur.

6 Introduction De même la firme continuera à produire (ou à offrir) des biens sur le marché, tant que la productivité liée à lutilisation dune unité supplémentaire dun facteur de production (utilisé dans le processus de fabrication des biens quil met sur le marché) reste positive, cest à dire tant quelle assure accroissement de loffre. La productivité marginale, (tout comme le coût marginal des facteurs) est à la base du comportement de la firme. Pour cette raison, lécole néo classique est appelée également école marginaliste.

7 Introduction Lanalyse marginaliste est composée de quatre grands axes qui forment ce que lon appelle communément la micro économie mathématique. La microéconomie mathématique est la branche de la science économique qui étudie les comportements du consommateur (le ménage) et du producteur (la firme) considérés individuellement comme « centre de décision autonome »

8 Première partie La théorie du comportement du consommateur

9 Première partie Introduction 1 - LÉcole néo classique sintéresse aux conditions de production et de répartition des biens supposés répondre à des besoins de consommation exprimés par les ménages Dune manière générale les biens et services destinés à la satisfaction des besoins exprimés ne sont pas disponibles sans efforts. Ils sont dits rares en plus du fait quils sont utiles. 2 - Les biens rares sont appelés biens économiques. Ils sopposent ainsi à la notion de biens libres dont lutilisation pour la satisfaction des besoins ne nécessite pas defforts particuliers car disponibles dans la nature en quantité abondante: cest le cas par exemple du besoin de respirer quéprouve, à tout instant chacun dentre nous sans que cela nexige de nous de produire lair que lon respire ou den payer le prix).

10 Première partie Introduction Comme « la nature ne met pas à notre disposition (tous) les moyens de satisfaction de nos besoins, des hommes (les producteurs) suppléent à cette pauvreté naturelle en fabriquant, eux-mêmes, à laide déléments empruntés au milieu naturel ambiant, transformés et aménagés par leurs efforts et leur savoir faire des objets capables dapaiser ces besoins. (G. Pirou : Cours déconomie politique T1, Ed. Domat Montchrestien, Paris 1947 p. 8 ).

11 Première partie Introduction 3 - Les biens économiques offerts sur le marché par les firmes sont « demandés » par les consommateurs contre paiement « dun prix » : la formation du prix déquilibre sur le marché dun bien constitue lobjectif des néoclassiques à travers lanalyse marginaliste quils proposent comme fondement de leur démarche. 4 - Puisquils ont la faculté de satisfaire un besoin exprimé, les biens économiques sont également utiles. En conséquence, le consommateur est demandeur dun bien sur le marché parce quil lui procure de « lutilité ». Obtenir de lutilité constitue « lobjectif » de lactivité de consommation.

12 Première partie Introduction 5 - Ainsi on suppose que le consommateur est capable de mesurer les quantités dutilité quil obtient en consommant une certaine quantité dun bien déterminé. Dans cette conception dite « cardinale », lutilité apparaît comme une grandeur mesurable au même titre que nimporte quelle autre quantité En fait la conception cardinale de lutilité suggère lidée que le consommateur est un agent économique dont lactivité est de « produire de lutilité » en quantités variables par le biais de la transformation des biens quil consomme.

13 Première partie Introduction 6 - Dans la réalité pourtant, il est difficile de vérifier une telle hypothèse (la quantification de lutilité) : En effet, sil est parfaitement plausible quun consommateur soit capable à tout moment dexprimer ses préférences de consommation « je préfère une glace à un morceau de chocolat » aucun consommateur ne pourra raisonnablement dire quil retire cinq fois plus dutilité (ou de satisfaction) dans la consommation dune glace plutôt que dans la consommation dun morceau de chocolat. Cela signifie que le consommateur exprime tout au plus un ordre de préférence parmi tous les biens qui satisfont à ses besoins. Cette évaluation ordinale de lutilité que procure la consommation des biens est à la base la théorie des courbes dindifférence.

14 Première partie Introduction 7- En définitive, les néo classiques fondent leur analyse de la demande sur le comportement rationnel du consommateur supposé apte à opérer des choix de consommation en fonction dune échelle de préférence. Celle-ci est établie sur la base de lévaluation quil fait du degré dutilité que lui procurent différents complexes ou combinaisons de biens et services auxquels il peut accéder sur le marché.

15 Première partie Introduction 8 - La rationalité du consommateur chez les néo classiques est délimitée par trois hypothèses qui sont : 1/ linsatiabilité 2/ le choix unique 3/ la transitivité des choix

16 1/ Linsatiabilité Chaque fois que le consommateur pourra accéder à la consommation dune quantité supplémentaire dun bien, il le fera : cest lhypothèse de linsatiabilité appelée également principe de non saturation.

17 2/ Le choix unique Lorsque le consommateur est en face dun choix de consommation entre deux complexes de biens C 1 et C 2, il est capable dexprimer sa préférence. Ainsi il pourra dire sil préfère C 1 à C 2, C 2 à C 1 ou encore sil lui est «égal» de consommer C 1 ou C 2. Il choisira en tout état de cause, une seule de ces trois possibilités.

18 3/ La transitivité Lorsquil est en face de trois complexes de biens C 1, C 2 et C 3, le consommateur ordonne ses choix de consommation de telle sorte que sil préfère C 1 à C 2 et C 2 à C 3, alors nécessairement, il préfère C 1 à C 3.

19 Première partie Introduction Ces trois hypothèses sont à la base de la théorie du comportement rationnel du consommateur. Une fois admises, il est possible de bâtir la fonction dutilité du consommateur puis la fonction de demande sur le marché.

20 Chapitre I La fonction dutilité du consommateur

21 I. Définition de la fonction dutilité I.1. Définitions préliminaires I.1.1. Combinaison de biens I.1.2. Un complexe de biens

22 I.1.1. Combinaison de biens: Une combinaison de biens est une «association » de deux quantités de deux biens X et Y. La combinaison de deux biens est représentée par le couple (x, y) composé de la quantité x du bien X et de la quantité y du bien Y Une combinaison, autre celle composée des biens X et Y sera représentée par exemple par le couple (x, y) où x x et y y

23 I.1.2. Un complexe de biens Un complexe de biens est une association de quantités de n biens. Lorsque n = 2, on parle de combinaison de deux biens. Mathématiquement un complexe de biens est représenté par le n-uplet (x 1, x 2, x 3,...., x n ). Il se présente donc sous la forme dun vecteur ligne de n composantes. Économiquement, ce vecteur représente les quantités des différents biens consommées par un individu et qui lui permet dobtenir la satisfaction maximale de ses besoins (ou encore dobtenir le maximum dutilité).

24 I.2. Définition de la fonction dutilité La fonction dutilité est la traduction mathématique de léchelle des préférences exprimée par un individu (I) face à plusieurs alternatives de consommations qui se présentent à lui Elle exprime le degré de satisfaction, c'est-à-dire la valeur numérique de lutilité que procure à lindividu (I) la consommation dun « panier » de n biens, au cours dune période (T) déterminée. La fonction dutilité est donnée par la relation générale suivante : U = f (C) = f(x 1, x 2, x 3,..., x n )

25 Expressions particulières de la fonction dutilité Consommation de deux biens U= f(C) = f(x 1, x 2 ) Consommation dun seul bien U = f (x)

26 La fonction dutilité du consommateur Le problème du consommateur lindividu (I) est alors de choisir parmi tous les complexes de biens, celui qui lui procurera un maximum de satisfaction, cest à dire qui maximise sa fonction dutilité La solution du problème de la maximisation de la fonction dutilité permet alors de de déterminer la fonction de demande du consommateur

27 2. Les trois postulats de base de la fonction dutilité P1 : La fonction dutilité exprime le degré de satisfaction que lindividu obtient de la consommation de complexes de biens différents. Ainsi, lorsque le consommateur affecte deux valeurs U 1 et U 2 telles que U 1 > U 2, il exprime par là sa préférence à légard du complexe de biens C 1 qui lui procure un degré dutilité supérieur à celui que lui procure un autre complexe C 2. P2 : La fonction dutilité est définie pour une période temporelle donnée. Cela signifie que lanalyse du comportement du consommateur est une analyse statique. Lanalyse statique ne prend pas en compte les consommations différées.

28 2. Les trois postulats de base de la fonction dutilité P3 : La fonction dutilité est supposée être continue et dérivable sur son intervalle de définition. Cela signifie que pour passer dune valeur à une autre, la fonction dutilité passe par toutes les valeurs intermédiaires. Du point de vue de la signification économique, ce postulat veut dire que les biens (parmi lesquels sopèrent les choix du consommateur sont divisibles à linfini). Mais même sil nest pas totalement réaliste (ainsi, sil peut paraître juste de parler de la consommation « dun tiers » de kg de sucre, il nest pas réaliste daffirmer que lon puisse consommer « trois cinquième » de téléviseur), ce postulat est néanmoins essentiel puisquil permet dutiliser les propriétés mathématiques de la continuité des fonctions.

29 3. Utilité totale (U t ) ; Utilité marginale (Umg) 3.1. LU t : On a déjà évoqué le fait que le consommateur évoluait dans une économie à n biens. Supposons pour le moment que n = 1. Cela signifie que toute lactivité économique se résume à la production seul bien. Soit X ce bien. La fonction dutilité du consommateur I est alors U = f(x). Des quantités variables du bien X consommées par I lui procurent des degrés variables dutilité. On peut donc supposer que lindividu I est capable de dresser un tableau de ses utilités totales que lui procure la consommation de quantités variables du bien X, de la manière suivante :

30 3. Utilité totale (U t ) ; Utilité marginale (Umg) Quantités (x) consommées du bien (X) Utilité totale (U) obtenue Ce tableau montre que lorsque la consommation du bien X augmente (variation des quantités x), lutilité augmente également. Toutefois cette augmentation de lutilité nest pas proportionnelle à laugmentation des unités consommées. Laugmentation de lutilité totale évolue en effet à un taux décroissant. De plus, il est facile de comprendre que le postulat de linsatiabilité nimplique pas que lindividu consomme indéfiniment. Il signifie seulement que le consommateur est disposé à augmenter ses consommations jusqu'à la satisfaction complète du besoin exprimé.

31 T 1: Exemple particulier de la relation dutilité Quantités (x) consommées du bien (X) Utilité totale (U) obtenue Il existe donc un point maximal (le point de satiété) au delà duquel, lutilité totale naugmente plus avec laugmentation des quantités (x) consommées. En examinant le tableau précédent, on remarquera que le passage de x = 5 à x = 6 ne se traduit pas par une augmentation de lutilité. Cela montre que le consommateur néprouve plus le besoin de « continuer » à consommer X. En effet, au point de satiété, lutilité totale commence à décroître. On remarque alors que lutilité marginale du bien X est nulle. (Cf. T2)

32 T2/ Utilité totale (U t ) ; Utilité marginale (x)UtUt Umg LUtilité marginale (Umg) : Elle peut être définie comme la variation de lutilité totale U t résultant de la variation dune unité de la quantité du bien consommé. En reprenant le tableau de lutilité totale établi précédemment on peut donc calculer à laide de cet exemple lutilité marginale correspondant aux variations unitaires des quantités consommées du bien X. (Cf. la troisième colonne de T2)

33 Expression mathématique de l Umg 3.3. La définition précédente de lutilité marginale Umg peut être exprimée mathématiquement de la manière suivante : On sait que U t = f (x) est lexpression de la fonction de lutilité totale U t. Elle exprime le degré dutilité que procure à un individu la consommation de quantités variables x du bien X Elle est par ailleurs supposée continue en vertu du postulat P3. Ainsi, si x représente la variation de la quantité consommée du bien X, lutilité totale représente la variation correspondante U de U t = f(x). On définira lutilité marginale Umg x du bien X comme la limite du rapport U t / x quand x tend vers zéro. Lutilité marginale Umg x du bien X exprime donc la variation de lutilité U t consécutive à une variation infinitésimale de la quantité x.

34 Expression mathématique de l Umg Or on sait quen mathématiques, la limite du rapport U t / x quand x tend vers zéro exprime la dérivée de la fonction U t = f (x) Cest à dire : Finalement, on peut écrire que :

35 Expression mathématique de l Umg Lutilité marginale dun bien X est calculée à laide de la dérivée de la fonction dutilité totale. Elle exprime la variation de lutilité totale induite par la variation dune unité du bien consommé. Jusqu'à présent, nous avons supposé que lutilité est fonction de la consommation dun seul bien. On avait en effet posé n = 1. Abandonnons ce cas particulier et plaçons-nous dans le cas général où les besoins des individus sexpriment à lendroit de plusieurs biens de sorte que lon ait : U t = f (x 1, x 2, x 3,..., x n ) Par un raisonnement identique au cas précédent, il est possible de déterminer la variation de lutilité que procure au consommateur la variation de la quantité consommée de chacun des biens. On applique pour cela le concept connu en mathématique sous le nom de dérivée partielle.

36 Expression mathématique de l Umg Pour simplifier, supposons, dans un premier temps que n = 2. Cela signifie que la fonction dutilité de (I) prend la forme dune fonction à deux variables. Soient x la première variable et y la seconde. On peut donc écrire U t = f (x, y). A. La dérivée partielle de U t par rapport à x qui exprime, on le sait maintenant, lutilité marginale procurée par le bien X est donnée par léquation : B. De même, la dérivée partielle de U t par rapport à y qui exprime lutilité marginale procurée par le bien y est donnée par léquation :

37 Expression mathématique de l Umg C. Finalement, lorsque U t = f (x, y) on a : et en généralisant à n biens, on aura pour U t = f (x 1, x 2, x 3,...,x n ) :

38 4. Les courbes dindifférence 4.1. Reprenons la fonction U t = f (x 1, x 2, x 3,..., x n ). Elle signifie, rappelons le, que lutilité est fonction du complexe de biens C = (x 1, x 2, x 3,..., x n ). Supposons que ce complexe de biens se réduise à la combinaison de deux biens X et Y tels que : U t = f(C) = f (x, y ).

39 4. Les courbes dindifférence Considérons alors toutes les combinaisons telles que: U t = U 0 par exemple, U 0 = f (C 1 ) = f (C 2 ). C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X Y Y1Y1 Y3Y3 Y2Y2 Y4Y4 U0U0 U1U1 Fig. 1 Courbes dindifférence Considérons de même toutes les combinaisons telles que U t = U 1 U 0 ; par exemple U 1 = f (C 3 ) = f (C 4 ).

40 4. Les courbes dindifférence C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X Y Y1Y1 Y3Y3 Y2Y2 Y4Y4 U0U0 U1U1 Fig. 1 Courbes dindifférence On dira que les combinaisons de biens qui procurent un même niveau dutilité sont situées sur une même courbe dindifférence Sur la fig.1 ci- contre, les combinaisons de biens C 1 et C 2 sont situées sur la même courbe : Elles procurent au consommateur (I), le même niveau dutilité U 0.

41 4. Les courbes dindifférence De même, les combinaisons de biens C 3 et C 4 sont situées sur une même courbe : C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X Y Y1Y1 Y3Y3 Y2Y2 Y4Y4 U0U0 U1U1 Fig. 1 Courbes dindifférence elles procurent au consommateur I le même niveau dutilité U 1.

42 4. Les courbes dindifférence C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X Y Y1Y1 Y3Y3 Y2Y2 Y4Y4 U0U0 U1U1 Fig. 1 Courbes dindifférence 4.3. La courbe dindifférence peut donc être définie, dans le cas général (où C = x 1, x 2, x 3,.. x n ) comme le lieu géométrique de tous les complexes de biens qui procurent à lindividu (I) le même niveau dutilité.

43 4.4. Les trois propriétés des courbes dindifférence P1. Les CI ont une inclinaison ou pente négative : ce sont des courbes « descendantes » représentant des fonctions décroissantes. P3. Les CI sont convexes par rapport à lorigine des axes de coordonnées : une diminution de la quantité de lun des deux biens est compensée par une augmentation de la quantité consommée de lautre bien. P2. Les CI dun même individu ne peuvent se couper : dans le cas contraire cela signifierait quil existe plusieurs niveaux dutilité pour une même combinaison de biens, ce qui serait contraire au postulat (P1) de la fonction dutilité tel que défini plus haut. C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 Y Y1Y1 Y3Y3 Y2Y2 Y4Y4 U0U0 U1U1

44 4.4. Les trois propriétés des courbes dindifférence Pourquoi deux CI dun même consommateur ne peuvent se couper? C1C1 C2C2 X1X1 X2X2 X3X3 Y1Y1 Y3Y3 Y2Y2 U0U0 U1U1 C3C3 Le point C 3 (x 3, Y 3 ) qui est est situé à la fois sur la courbe U 1 et U 2 est en contradiction avec la définition de la Courbe dindifférence en particulier compte tenu de la propriété P2 de la CI. En effet, dans ce cas de figure, cela signifie quil existe deux niveaux dutilité pour une même combinaison (c 2 ) de biens! Ce qui serait contraire au postulat (P1) de la fonction dutilité tel que défini plus haut.

45 5. TMS: Définition et Illustration graphique 1 er cas Le TMS xày est linstrument qui permet au consommateur de déterminer la quantité (dx) du bien X à laquelle il renonce pour lui substituer une certaine quantité (dy) du bien Y de telle sorte quil conserve le même niveau dutilité. C2C2 C1C1 X2X2 X1X1 Y Y2Y2 Y1Y1 U1U1 dx dy 1 er cas: Passage de C 1 à C 2 x

46 5. TMS: Définition et Illustration graphique 2 ème cas Le TMS yàx permet, à linverse, de déterminer la quantité (dy) du bien y à laquelle renonce le consommateur pour lui substituer une certaine quantité (dx) du bien x de telle sorte quil conserve le même niveau dutilité. C2C2 C1C1 X2X2 X1X1 Y Y1Y1 U1U1 dx dy Y2Y2 2 ème cas: Passage de C 2 à C 1 x

47 5.1 TMS: EXPRESSION MATHEMATIQUE Nous savons quune variation des quantités consommées des biens X et Y, implique normalement une modification du degré dutilité. Appelons dU t la variation de lutilité totale U t = f (x,y), suite aux variations dx et dy des quantités respectives du bien X et du bien Y. On se rappelle par ailleurs que Umg x = U t / x et Umg y = U t / y On se rappelle également que les utilités marginales représentent les variations de lutilité totale suite à une variation unitaire de x (respectivement de y). La variation de lutilité totale dU t sera donc égale à :

48 5.1 TMS: EXPRESSION MATHEMATIQUE Ou encore : Expression qui représente la différentielle totale de léquation U t = f (x, y )

49 5.1 TMS: EXPRESSION MATHEMATIQUE Mais si le consommateur (I) désire conserver le même niveau dutilité tout en substituant une quantité de X à une quantité de Y, cela signifie quil reste sur la même courbe dindifférence. Cela signifie aussi que U t = f(x,y) = U 0, où U 0 reste constant lorsque varient les quantités consommées. On aura par conséquent, dU t = 0 (la variation de lutilité totale est égale à 0). Autrement dit on aura :

50 Ce qui donne, en définitive Ce qui montre que le TMS y à x est égal au rapport des utilités marginales des deux biens. 5.1 TMS: EXPRESSION MATHEMATIQUE

51 5.2 Commentaires A. Lexpression précédente montre que le rapport des utilités marginales est égal à lopposé de la dérivée de la fonction y = f (x) B. La fonction y = f (x) donne la variation de la quantité y quand varie la quantité x. Lexpression dy/dx est la pente de la courbe dindifférence représentative de la fonction y = f (x) : elle est donc négative (cf. supra, propriété 4.1. des CI). Par définition, la quantité (- dy/dx) est le taux marginal de substitution de y à x. On vient de démontrer que le TMS y à x est égal au rapport des utilités marginales des deux biens.

52 Chapitre II La maximisation de la fonction de lutilité

53 I. Position du problème Nous avons vu que lobjectif du consommateur était doptimiser son utilité. Or, sa fonction dutilité dépend des quantités des biens X n auxquels il peut accéder. On a en effet U t = f(x 1, x 2, x 3,...x n ). 1 Lacquisition de quantités déterminées dépend des prix (p i ) de ces biens et de la consistance de son revenu (R).

54 I. Position du problème Sil décide de consacrer son revenu à lachat de tous les biens X n on aura : R = p 1 x 1 +p 2 x 2 +p 3 x p n x n 2 Légalité 2 est appelée « équation du budget » ou encore « équation du revenu »

55 I. Position du problème Le problème du consommateur est donc un problème lié, (on dit aussi « sous contrainte »). ll cherche en effet, à maximiser son utilité en tenant compte à la fois de son revenu et des prix des biens que lui impose le marché. Transcrit mathématiquement ce problème sécrit : 3 Ecrite sous forme condensée l équation (2) précédente du budget devient léquation (3) ci dessus

56 Supposons pour simplifier que U t = f(x,y) et que les prix des biens X et Y soient respectivement : p x et p y, le problème général précédent sécrira (dans ce cas particulier) où les choix du consommateur sont limités à deux biens : I. Position du problème Dans ce cas particulier, léquation (4) du revenu du consommateur représente une droite dite « droite du budget ». 4

57 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité Reprenons léquation de la droite du budget du consommateur I. On se souvient que dans le cas de deux biens X et Y, elle était de la forme : R = x.p x + y.p y Tirons de cette équation, la valeur de y, on aura : Léquation de revenu (5) du consommateur représente ici, léquation dune droite appelée « droite du budget » du consommateur! 5

58 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité Reprenons de même, la fonction dutilité U t = f (x,y). En remplaçant y par sa valeur dans lexpression de U, on obtient U t = f (x, (R - x.p x ) / p y ) Ce résultat montre que la fonction initiale du problème posé est devenue une fonction à une seule variable. Par ailleurs, on sait quune fonction de la forme U t = f (x) admet un maximum au point x 0 lorsque :

59 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité 1/ la dérivée première U t est égale à 0. Soit U t = 0 Cest la condition de 1 er ordre 2/ la dérivée seconde U t est négative. Cest à dire U t (x 0 ) < 0 Cest la condition de 2 ème ordre

60 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité Exemple dapplication La fonction dutilité dun consommateur supposé rationnel, est donnée par léquation U t = 2xy. Soit p x = 2 DA le prix du bien X et p y = 1 DA le prix du bien Y. Le consommateur dispose par ailleurs dun revenu R égal à 10 DA quil décide de consacrer entièrement à lachat des biens X et Y. Quelles vont être les quantités du bien X et du bien Y qui maximisent lutilité de ce consommateur ?

61 1 ère méthode pour trouver la solution A. On a R = x.p x +y.p y cest à dire R = 2x +y doù lon tire : y = R - 2x 1 Remplaçons y par sa nouvelle valeur dans lexpression de U. On obtient : U t = 2x (R-2x) II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité

62 ou encore U t = - 4x 2 +2xR 2 Comme on a R = 10, on peut écrire : U = - 4x2 +20x à partir de léquation (2). La dérivée première de léquation U ci-dessus est alors : U t = -8x doù, quand U t = 0 il vient : x = 20/8 = 5/2 = 2,5 1ère méthode pour trouver la solution

63 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité 1 ère méthode pour trouver la solution B. Remplaçons donc x par sa valeur dans léquation (1) on aura : y = R-2.(5/2) = R-5 comme R= 10 on obtient finalement : y = = 5 Le couple (x,y) tel que x =5/2 et y =5 est le point qui annule la dérivée U t = 0. Vérifions donc que U t < 0.

64 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité Reprenons léquation (3). Sa pente est égale à (-8). Ceci montre que la dérivée de U t est bien négative : CQFD. La combinaison de biens X et Y telle que x =5/2 et y = 5 est bien la combinaison qui permet au consommateur de maximiser sa fonction dutilité. Cest la solution au problème lié présenté sous la forme :

65 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité 2ème méthode C/ Il existe une 2ème méthode plus générale de résolution de ce type de problème « sous contrainte » : Cest la « méthode de Lagrange ».

66 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité 2ème méthode On démontre que les problèmes doptimisation sous contrainte de la forme : Max.(Min.) f (x 1,x 2, x 3,...,x n ) s/c g (x 1,x 2,x 3,...,x n ) = 0 (1) admettent des solutions identiques à celles des fonctions de type : F(x 1,x 2,x 3,...,x n ) = f (x 1,x 2,x 3,...,x n ) + g (x 1,x 2,x 3,...,x n ) ( 2)

67 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité 2ème méthode est appelé « multiplicateur de Lagrange ». Il joue le rôle dune variable comme les autres dans lexpression de la fonction (2) ci dessus. Nous préciserons par la suite sa signification économique dans le cadre du problème particulier de la maximisation de la fonction dutilité dun consommateur.

68 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité La condition nécessaire pour que la fonction (2) admette un maximum, est que ses dérivées partielles par rapport à ( x 1, x 2, x 3,..., x n ) et soient nulles en même temps. Le problème consiste donc à résoudre le système déquation à (n+1) variables de la forme :

69 F x1 = 0 F x2 = 0 S F xn = 0 F = 0 Reprenons notre exemple précédent. On avait : Max. U t =f( x, y) s/c R = x.p x + y.p y (1) Formons la fonction (2) de la même manière que précédemment. Il vient : F(x, y) = 2xy + (R-2x-y) (2)

70 II. Les conditions de maximisation de la fonction de lutilité Pour maximiser la fonction dutilité du consommateur, il suffit donc de résoudre le système déquations (S ) ci après : Après calcul, par la méthode directe ou par la méthode des déterminants on obtient : x = 5/2 ; y = 5 et = 5. Cette solution correspond bien au résultat trouvé par la première méthode. F x = 2y - 2 = 0 (S ) F y = 2x - = 0 F = x - y = 0

71 Signification économique du multiplicateur de Lagrange : Reprenons le système déquation (S ) dans le cas général. A partir des deux premières équations de (S ),il vient : F x = U tx - p x = 0 = U tx /p x = ( Ut/ x)/p x F y = U ty - p y = 0 = U ty /p y = ( U t / y)/p y

72 Signification économique du multiplicateur de Lagrange : Ces résultats montrent que le multiplicateur est égal aux utilités marginales des biens X et Y pondérées par leur prix Par ailleurs, comme on a : U tx /px = U ty /p y U tx / U ty = p x /p y on peut énoncer que :

73 Signification économique du multiplicateur de Lagrange : Le consommateur atteint le niveau de son utilité maximale lorsque les utilités marginales pondérées par les prix sont égales ou encore : A léquilibre, le rapport des utilités marginales est égal au rapport des prix des biens consommés. Revenons à la troisième équation de (S ). On peut lécrire dans le cas général, de la manière suivante : F = R - x.p x - y. p y = 0. Ce qui revient à écrire que R = x.p x + y. p y. Si on dérive cette expression de R successivement par rapport à (x) puis par rapport à (y), il vient R/ x = p x et R/ y = p y.

74 Signification économique du multiplicateur de Lagrange : On peut donc écrire : U tx / U ty = U t / x / U t / y puisquon sait déjà que : U tx / U ty = p x /p y. Il vient alors: R/ x / R/ y = U t / x / U t / y. Enfin, on a U t / x = px = ( U t / x)/px et U t / y = py = ( U/ y)/py (en vertu de la résolution des deux premières équations de S ). Or, on sait aussi que : R/ x = p x et R/ y = p y on peut alors écrire que

75 Signification économique du multiplicateur de Lagrange : = ( U t / x)/p x = ( U t / x)/ ( R/ x) de même = ( U t / y)/ ( R/ y) et en simplifiant dans les deux cas, il vient finalement : = U t / R Ce qui signifie que exprime la variation de lutilité totale quand le revenu du consommateur varie dune unité

76 III - Représentation graphique de loptimum du consommateur : Y X Carte dindifférence dun consommateur (I ) U1U1 U2U2 X1X1 X2X2 X3X3 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 Nous savons maintenant que la fonction dutilité dun individu peut être exprimée graphiquement par une « carte dindifférence », cest à dire par plusieurs courbes dindifférence qui indiquent les différents niveaux dutilité obtenus à partir de quantités variables des biens consommés. U3U3 U 1 < U 2 < U 3

77 III - Représentation graphique de loptimum du consommateur : Or les niveaux dutilité varient en fonction de la variation du montant du revenu R lorsque les prix des biens ne changent pas eux - mêmes (cette. question de leffet de la variation des prix sera examinée plus loin, infra). Y X Carte dindifférence dun consommateur (I ) U1U1 U2U2 X1X1 X2X2 X3X3 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 U3U3 U 1 < U 2 < U 3

78 III - Représentation graphique de loptimum du consommateur : Reprenons pour linstant, notre exemple précédent où : U t = 2xy avec p x =2, p y = 1 et R = 10. Supposons que le consommateur (I) décide de consacrer entièrement son revenu R à la consommation du seul bien X, il pourra acheter au plus x = R/px = 5 unités du bien X. Ce point peut donc être représenté sur un graphique par le couple (5, 0) /2 E x y Fig.2 Equilibre du consommateur. Ut Ut

79 III - Représentation graphique de loptimum du consommateur : Dans le cas où au contraire, il décide de ne consommer que du bien Y, il obtiendra au plus une quantité y = R/py = 10 unités du bien Y. Ce point peut être représenté sur le même graphique par le couple ( 0,10). En joignant ces deux points on obtient la représentation graphique de la « droite de budget » du consommateur I /2 E x y Fig.2 Equilibre du consommateur. Ut Ut

80 Le point E représente loptimum du consommateur, tel que nous lavons calculé précédemment. Au point E (x =5/2, y = 5), lutilité maximale U t =2xy = U E = /2 E x y Fig.2 Equilibre du consommateur. Le point E sur le graphique montre que léquilibre du consommateur (I) est atteint au point de tangence entre la courbe dindifférence U t = 25 et la droite de budget y = R/p y - x.p x /p y = - 2x + 10 Ut Ut III - Représentation graphique de loptimum du consommateur :

81 IV - Les variations de léquilibre du consommateur : CCR Y X0 R 1 /p x R 2 /px R 3 /p x R 3 /p y R 2 /p y R 1 /p y E1E1 E2E2 E3E3 Construction de la courbe consommation - revenu : Le point déquilibre E a été obtenu dans des conditions de prix et de revenu donnés Aussi, est - il intéressant dexaminer la situation où se modifie la contrainte de revenu. Fig.3 Courbe Consommation -Revenu

82 IV - Effet de la variation du revenu : Construction de la courbe consommation - revenu : CCR Y X0 Fig.3 Courbe Consommation -Revenu R 1 /p x R 2 /px R 3 /p x R 3 /p y R 2 /p y R 1 /p y E1E1 E2E2 E3E3 Le consommateur étant rationnel, sa consommation déquilibre va être modifiée si son revenu R venait à changer. Graphiquement cela signifie que sa droite de budget va se déplacer : « vers le haut » lorsque R> R Ou « vers le bas » lorsque R< R

83 IV - Effet de la variation du revenu : Construction de la courbe consommation - revenu : La courbe de niveau de vie (ou courbe consommation - revenu) est formée des points de tangence (qui déterminent les points déquilibre successifs(E 1 E 2 E 3 etc.) entre les différentes courbes dindifférence et les droites budgétaires. CCR Y X0 Fig.3 Courbe Consommation -Revenu R 1 /p x R 2 /px R 3 /p x R 3 /p y R 2 /p y R 1 /p y E1E1 E2E2 E3E3

84 IV -Effet de la variation du revenu : Construction de la courbe consommation - revenu : La courbe de revenu coupe les axes de coordonnées au point O car pour R = 0, les consommations des biens X et Y sont nulles (R= 0 x = 0 et y = 0) CCR Y X0 Fig.3 Courbe Consommation -Revenu R 1 /p x R 2 /px R 3 /p x R 3 /p y R 2 /p y R 1 /p y E1E1 E2E2 E3E3

85 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : De la même manière que le consommateur a été placé dans lhypothèse probable de la variation de son revenu, imaginons ici lhypothèse de la variation du prix sur le marché de lun des deux biens. Supposons que cest le prix du bien X qui varie à partir dune situation déquilibre initiale matérialisée par le point E 1 E1E1 Y x X=R/p x R/Py Situation déquilibre initiale matérialisée par le point E 1

86 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : E1E1 E2 Y x X = R/p x R/Py Variation de léquilibre de E 1 à E 2 suite à la diminution de p x Lorsque p x diminue, tel que p x < p x et si le consommateur I utilise tout son revenu R à lachat de X, il pourra disposer dune quantité plus importante de X. Soit x cette nouvelle quantité.

87 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : Lorsque par contre, le prix px augmente, tel que p x > p x et si le consommateur utilise tout son revenu à lachat de X, il disposera dune quantité moins importante de X. Soit x cette nouvelle quantité. E2 E1 E 3 Y x X=R/px R/Py X = R/px Variation de léquilibre de E 3 à E 1 suite à la laugmentation de p x

88 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : Comme entre temps le prix de Y na pas varié, les droites de budgets obtenues auront pour point commun le point où la consommation de Y est maximale (cas possible mais peu probable, où il consacre la totalité de son revenu à lachat de Y uniquement). E2 E1 E 3 Y R/P x R/p x R/Py CCP Fig.4 : Courbe consommation - prix 0 X

89 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : Définition : La courbe qui joint les points E 1, E 2, et E 3 est appelée courbe consommation – prix (CCP). Elle rend comte de leffet de la variation du prix de lun des deux biens sur les quantités consommées des deux biens (lautre prix et le revenu R demeurant constants). E2 E1 E 3 Y R/P x R/p x R/Py CCP Fig.4 : Courbe consommation - prix 0 X

90 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : La courbe (CCP) montre que plus le prix augmente, plus la quantité du bien X que le consommateur (I) pourra sacheter avec son revenu R (constant), diminue. E2 E1 E 3 Y R/P x R/p x R/Py CCP Fig.4 : Courbe consommation - prix 0 X

91 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : Si P x augmente, D x diminue La demande dun bien est une fonction décroissante de son prix Si P x diminue, D x augmente Ce que lon peut résumer schématiquement par :

92 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : La CCP part du point de coordonnées (0, R/P y ) car, en supposant que P x continue à augmenter, il arrivera un moment où lindividu I ne pourra plus acquérir le bien X, cela voudra dire que dans ce cas extrême, il consacre la totalité de son revenu R à la consommation de Y et dans ce cas le point déquilibre, (E) va se confondre avec le point (0, R/p y ). E2 E1 E 3 Y R/P x R/p x R/Py CCP Fig.4 : Courbe consommation - prix 0 X

93 Variation de léquilibre du consommateur 2 - Effet de la variation du prix de lun des biens : Construction de la courbe consommation - prix : Cela montre quen réalité, la demande du bien X dépend à la fois du prix de ce bien (p x ) du revenu (R) et du prix de tous les autres biens Y (p y ) en plus évidemment du goût (G). On exprime donc ce résultat par la relation générale : D x = f (R, p x, p y, G) ou G est une variable psychologique (donc non quantifiable E2 E1 E 3 Y R/P x R/p x R/Py CCP Fig.4 : Courbe consommation - prix 0 X

94 Chapitre III : Fonction de la demande et notion délasticité de la demande :

95 I/ Expression, construction et déplacement de la courbe de demande : 1 - Lexpression de la demande : Rappel : on vient de montrer que la quantité demandée dun bien X quun individu I (le consommateur I ) est « capable » de sacheter au cours dune période déterminée, dépend de plusieurs éléments: Le prix p x, le prix des autres biens p y son revenu R et également ses goûts G. La demande D x peut donc être formalisée de la manière suivante : D x = f (p x, p y, R, G,) (1)

96 1/ Expression, construction et déplacement de la courbe de demande : Comme G est une donnée naturelle, propre à chaque individu, la demande dun bien se détermine par rapport aux autres éléments, cest à dire par rapport aux seules variables économiques quantifiables. On aura donc : D x = f (p x, p y, R) 2

97 1/ Expression, construction et déplacement de la courbe de demande : Remarque :Si lon admet conformément à la réalité quil existe n biens parmi lesquels (I) effectue ses choix, la variable (p y ) va symboliser le prix de tous les autres biens X n -1 dans la formulation de léquation (2). Dautre part, si lon considère la période au cours de laquelle R et p y sont constants, la demande du bien X sexprime alors comme une fonction de la seule variable p x. On aura donc : D = f ( px) (3)

98 1/ Expression, construction et déplacement de la courbe de demande : Comme le revenu R de I est limité, si p x augmente, alors D x diminue et si p x diminue, alors D x augmente. Ce résultat, nous l interprétons de la manière suivante : La demande dun bien est une fonction décroissante de son prix.

99 1/ Expression, construction et déplacement de la courbe de demande : Commentaires de la fig.4bis La représentation graphique de la demande individuelle est obtenue à partir de la CCP du consommateur (I) et de sa carte dindifférence matérialisées sur le graphique GR1 par les courbes dutilité U 1, U 2 et U 3. Rappelons que la carte dindifférence est obtenue lorsque (P x ) varie pendant que le revenu de (I) demeure constant. y x PxPx CCP P x2 P x3 R1R1 R2R2 R3R3 X1X1 X3X3 DxDx GR1 U1U1 U2U2 U3U3 E1E1 E 2 Fig.4bis Construction de la courbe de demande via la CCP 0 E3 E3 P x1 R/P y X X 0 GR2 X2X2

100 1/ Expression, construction et déplacement de la courbe de demande : Commentaires de la fig.4bis La courbe située sur le graphique GR2 représente lévolution des quantités déquilibre de (I) compte tenu de lévolution à la baisse des prix du bien X c'est-à-dire (ce qui revient au même) compte tenu de lévolution à la hausse de son revenu réel. y x PxPx CCP P x2 P x3 R1R1 R2R2 R3R3 X1X1 X3X3 DxDx GR1 U1U1 U2U2 U3U3 E1E1 E 2 Fig.4bis Construction de la courbe de demande via la CCP 0 E3 E3 P x1 R/P y X X 0 GR2 X2X2

101 1/ Expression, construction et déplacement de la courbe de demande : Dire que la demande est une fonction décroissante du prix, cela revient à dire que la pente de léquation D x = f (p x ) est négative. Cela signifie aussi que la courbe représentative de la demande est décroissante. 2/ Construction et déplacement de la courbe de demande : Exemple : Soit un consommateur I dont les quantités demandées du bien X varient de la manière ci - après (T1) :

102 T1 : Variation de la quantité demandée du bien X en fonction de son prix DxDx 123 PxPx 1074 Point/GrapheABC Le déplacement de la courbe de demande de (d) à (d ) ou (d ) indique un changement dans les conditions de la demande Dx Px d d d

103 1/ Expression, construction et déplacement de la courbe de demande : Si lon faisait varier lune des variables de la fonction D x = f (p x, p y, R, G), autre que la variable p x, la courbe représentative de D x va se déplacer de (d) à (d ) ou (d ) : 1/ On dit quun changement des conditions de la demande entraîne un déplacement de la courbe de demande. 2/ Au contraire, un déplacement le long de la courbe signifie quil y a eu une variation des quantités demandées suite à une variation du prix du bien Dx Px d Dx Px d d d Fig. 4ter.

104 Notion de bien ordinaire et notion de bien inférieur b/ Lorsquune augmentation du revenu R dun consommateur (I) nentraîne pas daccroissement de la demande du bien X, le bien X est dit bien inférieur pour le consommateur (I). a/ Lorsquun accroissement (une baisse) du revenu R dun consommateur (I) entraîne une augmentation (une diminution) de la demande du bien X celui ci est un bien ordinaire pour le consommateur (I).

105 4 - Notion de biens complémentaires et biens équivalents : Cest par exemple, le cas du café (bien X) et du sucre (bien Y) : Comme la consommation de sucre (Y) accompagne la consommation de café (X), laugmentation du prix (p y ) du sucre va entraîner la diminution de la demande de café. a/ Biens complémentaires : Dans lhypothèse où le prix (px) du bien X et le revenu R du consommateur (I) restent constants, le bien Y sera dit complémentaire du bien X si une augmentation du prix (py) du bien Y entraîne une diminution de la quantité demandée du bien X.

106 Notions de biens complémentaires et biens équivalents dxdx dxdx 2ème cas: Si une augmentation de p y entraîne une augmentation de la demande du bien x on dira que les deux biens x et y sont équivalents Y x 1 er cas: Si une augmentation de p y entraîne une diminution de la demande du bien x on dira que les deux biens x et y sont complémentaires dxdx dx GR1 GR2 Dans lhypothèse où R et p x sont constants on aura

107 Notions de bien ordinaire et de bien Inférieur X est un bien Ordinaire X est un bien inférieur 1 er cas: Lorsque R augmente et p x reste constant! 2 ème cas Lorsque R diminue et p x reste constant! Lorsque R augmente et P x reste constant! dxdx dxdx dxdx dx

108 Demande individuelle et Demande du marché D I1 D I2 D I1 + D I2

109 5 - La demande du marché : La demande globale est égale à la somme des demandes individuelles exprimées par lensemble des consommateurs à un moment donné. Si Dx Dx P P La demande du marché ou demande globale dun bien (X) représente la quantité totale demandée par tous les consommateurs de ce bien au cours dune période T donnée.

110 II / Notion délasticité de la demande : Ainsi, lorsque D = f (p x ), on a : ED x / p x = [ Dx / D x ] / [ p x / p x ] Ou encore ED x /p x = D x / p x.p x /D x 1 / Définitions: a/ Lélasticité - prix de la demande mesure la variation relative de la quantité demandée dun bien X consécutive à la variation relative de son prix (p x )

111 II / Notion délasticité de la demande E Dx /R = ( D x /D x ) / ( R/R) ED x /R = D x / R).R/D x Remarques : 1/ On sait que D x = f (p x ) est une fonction décroissante du prix. Lélasticité - prix de la demande est donc négative puisque D x et p x varient en sens contraire. 2/ On sait aussi que dune manière générale, on a D x = f (R, p x, p y ). b/ Définition: Lélasticité - revenu de la demande mesure la variation relative de D x consécutive à une variation relative du revenu R. Ce coefficient prend la forme mathématique ci après : 3/ On peut ainsi calculer un coefficient délasticité - revenu et un coefficient délasticité - prix croisée de D x par rapport à p y

112 c/ Lélasticité prix - croisée de la demande du bien X mesure la variation relative de la demande D x consécutive à une variation relative du prix p y du bien Y ED x /p y = D x /D x / p y /p y ED x /p y = x / p y.p y /D x II / Notion délasticité de la demande :

113 2 / Demande élastique, demande inélastique, demande unitaire : a/ Remarques préliminaires : a1/ On sait que lélasticité de la demande par rapport au prix dun bien est négative du fait que D x et p x varient en sens contraire. Pour ne pas avoir à compliquer les calculs en « traînant » des nombres négatifs, il suffit de multiplier par (-1) lexpression (ED x /p x ). On aura ainsi : (- ED x /p x ) = - ( D x / p x ).p x / D x > 0 (1)

114 2 / Demande élastique, demande inélastique, demande unitaire : a2/ On définit lélasticité de la fonction D x = f (p x ) comme étant la limite du rapport de laccroissement relatif de D x à laccroissement relatif de p x.Cest à dire : ED x /p x = lim. D x / D x / p x /p x p x 0 = p x / D x.dD x / dp x = p x / D x.f p x (2)

115 2 / Demande élastique, demande inélastique, demande unitaire : b/ On dira que la demande D x = f (p x ) est élastique lorsque (-ED x /p x ) >1 c/ On dira que la demande D x = f (p x ) est inélastique lorsque (-ED x /p x ) <1 d/ On dira que la demande D x = f (p x ) a une élasticité unitaire lorsque (- ED x /p x ) =1

116 3/ Elasticité ponctuelle et élasticité darc a / Définitions : On appelle élasticité darc, lélasticité - prix de la demande entre deux points A et B de la courbe de demande dont lexpression est de la forme: D x = f (p x ). Lélasticité darc a une valeur approximative qui devient dautant plus précise que larc est plus petit, cest à dire que les deux points se rapprochent lun de lautre ( p x 0 ED x /p x = p x /D x. f p x ) jusqu'à ne plus représenter quun point limite. A B D PxPx b/ Formule de calcul de lélasticité dun arc AB en variables discrètes [( Q/ P)].[(Q A + Q B ) /2] / [(P A +P B )/2] = [( Q/ P)].[(Q A + Q B )] /[(P A +P B )]

117 3/ Elasticité ponctuelle et élasticité darc Or daprès léquation (2) ci - dessus lélasticité prix de la demande peut être calculée en tout point de la courbe de demande. Sa valeur ponctuelle est donnée justement par la formule (2). On appellera alors élasticité ponctuelle lélasticité en un point quelconque de la courbe de demande du bien X représentative de la fonction D x = f (p x ). Elle est donnée par la formule générale : ED x /p x = f (p x ).p x /D x

118 4/ Elasticités partielles de la demande : On a défini précédemment la notion délasticité de la demande en considérant que celle - ci était une fonction dune seule variable (p x ). Or nous savons quen réalité, la quantité demandée dun bien X dépendait à la fois du prix de X et des prix des autres biens.

119 4/ Elasticités partielles de la demande : On écrira donc dune manière générale D x = f (p x, p y ) où (p y ) symbolise le prix de tout bien autre que X. A partir de cette équation on peut donc calculer les coefficients délasticité partielle de la demande (D x ) par rapport à toutes les variables (p x ) et (p y ).

120 4/ Elasticités partielles de la demande : 1/ Elasticité partielle de (D x ) par rapport à (p x ) ED x /p x = D x / p x.p x /D x Elasticité partielle directe Ainsi, on aura : 2/ Elasticité partielle de (D x ) par rapport à (p y ) : ED x /p y = D x / p y.p y /D x Elasticité partielle croisée

121 III/ Effet de substitution, effet de revenu et effet total : Soit D x = f (p x, p y, R) une fonction de la demande dun consommateur I. Leffet de substitution (ef/s) traduit la manière dont varie la quantité demandée du bien X (ou du bien Y) par rapport au bien Y (par rapport au bien X) lorsque varie le prix p x (ou p y ) du bien X ( du bien Y) « toutes choses étant égales par ailleurs ».

122 III/ Effet de substitution, effet de revenu et effet total : Ainsi, si P x (ou p y ) augmente (pendant que R et p y restent inchangés) lef/s traduira la manière dont le consommateur substituera une certaine quantité du bien Y à X (du bien X à Y). Ce que lon peut résumer de la manière suivante : 1. ° p x (ef/s) substitution de Y à X 2. ° p y (ef/s) substitution de X à Y

123 III/ Effet de substitution, effet de revenu et effet total : Leffet de revenu (ef/R) traduit la modification des quantités demandées du bien X (ou du bien Y) lorsque varie le revenu R du consommateur, « toutes choses étant égales par ailleurs ». Ainsi, lorsque R varie (pendant que les prix (p x ) de X et le prix (p y ) de Y restent inchangés) lef/R traduira la manière dont se modifie léquilibre du consommateur par rapport à X (par rapport à Y). Ces deux effets de la modification de lun des facteurs de la fonction de demande se traduisent graphiquement de la manière suivante (Fig.6).

124 Hypothèse : ° p x avec p y et R constants. 1/ ef/s glissement du point de E 1 à E 2 sans ° du niveau dutilité U 1 : La courbe dindifférence U 1 est tangente à une droite de budget fictive GF. 2/ ef/R glissement de E 1 à E 3 entraînant un déplacement de U 1 à U 2 dont la courbe dindif- férence est tangente à la droite de budget AC. 3/ ef/T = ef/s + ef/R. III/ Effet de substitution, effet de revenu et effet total : Fig. 6 représentation graphique de lef/S et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3

125 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : 1 - La courbe U 1 est tangente à la droite AB au point E 1 représentant le point déquilibre du consommateur pour un niveau donné de son revenu R, et des prix p x et p y des biens X et Y. En effet, les points A et B représentent respectivement les combinaisons A (0, R/p y ) et B (R/p x, 0).

126 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : Le point déquilibre E 1 est situé à la fois sur la droite de budget AB et la courbe dindifférence telle que : U 1 = Max. U t = f (x, y) s/c R = x.p x + y.p y Le point déquilibre est représenté sur le graphique par le point E 1 (x 1, y 1 )

127 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : 2 - Supposons que p x diminue pendant que R et p y demeurent constants. La variation de p x va induire une modification de la situation déquilibre initiale représentée par E 1, point de tangence entre la droite AB et la courbe dindifférence de niveau U 1.

128 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : La diminution de p x va entraîner une modification de la demande des quantités de X et de Y, parce que le consommateur va profiter de la baisse de p x pour acheter plus de bien X.

129 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : Sur le graphique cela va se traduire par un glissement de x 1 vers x 2. Pour garder le même niveau dutilité U 1, le glissement de x 1 vers x 2 implique une variation de la quantité de Y.

130 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : Cest le passage de y 1 vers y 2 sur laxe des ordonnées. Le glissement de x 1 vers x 2 entraînant le glissement de y 1 vers y 2 sans variation du niveau dutilité indique que le consommateur a substitué du bien X au bien Y. Autrement dit, la diminution de p x sest traduite par un effet de substitution (ef/s ) matérialisé sur le graphe par le passage de E 1 à E 2.

131 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : Or le glissement de E 1 vers E 2 implique le « basculement » de la droite initiale AB vers une nouvelle droite fictive GF telle que GF soit tangente à la courbe dindifférence de niveau U 1 au point déquilibre E 2 et ce, en vertu de la règle selon laquelle au point déquilibre la courbe dindifférence de niveau le plus élevé de lutilité est tangente à la droite budget du consommateur

132 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : 3 - Mais la baisse du prix p x du bien X signifie que le consommateur est devenu « plus riche » puisque son revenu réel (son pouvoir dachat) est plus élevé.

133 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : En supposant quil consacre tout son revenu à lachat du bien X, le point B (R/p x, 0) de la droite de budget initiale AB va se déplacer vers un nouveau point C (R/p x, 0) tel que R/p x > R/p x puisque p x


134 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : Ainsi, lorsque le prix du bien X diminue, la droite de budget initiale AB se déplace vers la droite AC.

135 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : Comme le consommateur est devenu plus riche, il pourra donc modifier les quantités de X et de Y de telle sorte quil puisse obtenir un niveau supérieur dutilité : cest leffet de revenu (ef/R)

136 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : Sur le graphique cette situation est matérialisée par le glissement de E 1 (x 1, y 1 ) vers E 3 (x 3, y 3 ) situé à la fois sur la droite AC et la courbe dindifférence U 2 telle que U 2 > U 1.

137 Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R Y X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3 Interprétation de la Fig.6 : 4 - En définitive, le passage de E 1 à E 3, appelé effet total (ef/T) de la variation du prix de X est le résultat dun double effet (induit par la variation du prix de lun des deux biens) : symboliquement on écrira: ef/T = ef/s + ef/R.

138 Y Remarques : 1 - Le raisonnement qui vient dêtre exposé sur la base dune variation du prix de X peut être mené sur la base dune variation du prix de Y. Les résultats sont identiques. Interprétation de la Fig.6 : Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3

139 2 - Les points E 2 et E 3 sont situés sur la même courbe de niveau de vie (ou courbe de consommation - revenu) qui joint, nous lavons vu, les points déquilibre successifs liés aux variations du revenu. Remarques : Interprétation de la Fig.6 : Y Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3

140 Celui - ci peut varier en termes monétaire (variation nominale) ou en termes de pouvoir dachat (variation de revenu réel) lié aux fluctuations des prix sur le marché. Remarques : Interprétation de la Fig.6 : Y Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3

141 Interprétation de la Fig.6 : Remarques 3 - Les droites de budget AC et GF sont parallèles entre elles. En effet, le glissement de E 3 vers E 2 indique que la droite AC glisse parallèlement à elle - même jusqu'à FG parce que le rapport des prix reste constant. Y Fig. 6 représentation graphique de lef/s et de lef/R X y3y3 y1y1 y2y2 A B FC X1X1 X2X2 X3X3 G U1U1 U2U2 0 E1E1 E2E2 E3E3

142 Deuxième partie: La théorie du comportement du producteur

143 Introduction : Si, comme nous lavons vu, la consommation consiste pour lindividu (I) à transformer des quantités de biens achetées pour « produire » de lutilité pour lui – même, il en va de même, pour le producteur (on dira aussi lentrepreneur, lentreprise ou encore la firme) qui est un centre de décision autonome dont lactivité consiste également à transformer des quantités de biens et services acquises sur le marché pour fabriquer un produit (P) non pas « pour lui - même » mais quil ira vendre sur le marché aux consommateurs (demandeurs) de (P) : la consommation et la production sont des activités complémentaires lune de lautre !

144 Introduction : En produisant puis en vendant (P), le producteur cherche à maximiser son profit. Cet objectif du producteur dépend donc des quantités de biens et services quil transforme pour obtenir les quantités de produits P quil ira vendre sur le marché. Le volume de sa production dépend, en dautres termes, des quantités de facteurs de production quil achète et quil utilise dans le processus de fabrication du produit (P).

145 Introduction : Les dépenses occasionnées par lacquisition des facteurs de production constituent des « coûts de production » du produit (P) : les coûts de production dépendent donc des quantités de facteurs.

146 Introduction : 1/ le consommateur obtient de lutilité U, en transformant par la consommation, des quantités de biens achetées sur le marché. 2/ de même, le producteur obtient un produit (P) en transformant par la production des quantités de facteurs de production achetés sur le marché. Au total on retient de ce qui précède :

147 Introduction : 3/ alors que le consommateur cherche à maximiser son utilité compte tenu des prix des biens quil consomme, le producteur cherche à maximiser son profit compte tenu des prix des facteurs de production quil utilise dans la fabrication de son produit.

148 Introduction : 4/ mais, alors que pour le consommateur, lusage des quantités achetées est une consommation finale, pour le producteur lutilisation des facteurs de production est une consommation intermédiaire.

149 Introduction : 5/ de plus si pour le consommateur, lévaluation de lutilité est ordinale, pour le producteur, le volume de production est quantifiable (la quantification de la la production est possible).

150 Introduction : 6/ enfin, il faut retenir que si pour le consommateur la maximisation de son utilité dépend de son revenu (quantité de monnaie) compte tenu des prix des biens qui lui procurent de lutilité, 6bis/ pour le producteur, la maximisation de son profit dépend de la différence entre ces recettes (obtenues en vendant son produit) et ses dépenses (occasionnées par lachat des quantités de facteurs de production).

151 Introduction : 6bis/ En résumé, le producteur rationnel cherchera à augmenter ses ventes de produits pour maximiser son profit. Celui - ci sera donc le résultat 1 - du volume (quantité) de production 2 - du niveau des coûts de production

152 Introduction : Ainsi le comportement rationnel du producteur est analysé à travers 1/ la relation entre les quantités produites et les quantités de facteurs utilisées : cest lapproche par les fonctions de production 2/ la relation entre les recettes et les: dépenses cest lapproche par les fonctions de coûts.

153 Introduction : Autrement dit, ce que lon va appeler la fonction doffre du producteur sur le marché de (P) sera analysée 1/ du point de vue technique, à travers les quantités de facteurs utilisés et le volume de production obtenu ou encore 2/ du point de vue économique à travers le prix unitaire des quantités vendues et les coûts unitaires des facteurs de production.

154 Introduction : Le producteur utilise, pour obtenir le produit (P) quil va offrir (vendre) sur le marché des facteurs de production dont les quantités sont liées au volume de la production.

155 Introduction : Certains facteurs de production demeurent fixes durant la période de production pendant que dautres facteurs varient en fonction du volume de la production.

156 Introduction : On définit ainsi, pour une période déterminée de production, deux types de facteurs de production : 1/ le facteur fixe et 2/ le facteur variable.

157 Introduction : On dira alors que : 1/ K est facteur fixe si la quantité utilisée (k) de (K) est indépendante du volume (p) du produit (P) fabriqué au cours dune période (T) déterminée. On dira de même que: 2/ L est un facteur variable si la quantité utilisée (l) de (L) dépend de la quantité (p) du produit (P) fabriquée durant la même période (T).

158 Introduction : Ainsi, les facteurs sont fixes ou variables en fonction de la période considérée. Les facteurs variables seront dautant plus nombreux que la période de production est plus longue. Autrement dit, les facteurs considérés comme des facteurs fixes au cours dune période deviennent des facteurs variables lorsque sallonge la période de production.

159 Introduction : Conséquence: En CP, la main dœuvre et les matières premières sont les facteurs variables tandis que loutillage, les terrains, et les bâtiments sont les facteurs fixes. La courte période (CP) pourra donc être définie comme étant la période où « la capacité de production » installée (outillage, terrains, bâtiments) reste inchangée :

160 Introduction : La longue période (LP) sera au contraire définie comme étant la période temporelle suffisamment longue pour que change la capacité de production installée : le producteur procède à des investissements dont le but est daccroître la production.

161 Introduction : En CP, il existe des facteurs fixes (la capacité de production installée) et des facteurs variables (la main dœuvre et les matières premières). En LP, tous les facteurs sont variables (la main dœuvre, les matières premières et la capacité de production changent avec le volume de la production.

162 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. Lapproche technique du comportement du producteur est basée sur lanalyse de la relation entre le volume de la production et les quantités de facteurs de production. Cest lanalyse par les fonctions de production. La fonction de production est lexpression mathématique de cette relation entre les quantités de facteurs de production et les quantités de produit obtenues. Compte tenu de ce qui a été développé en introduction, il y a lieu de considérer la fonction de production de courte période et la fonction de production de longue période.

163 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. Au contraire, les volumes de la main dœuvre et des matières premières varient en fonction du volume du produit fabriqué : ce sont des facteurs variables. I / La fonction de production de courte période : Lhypothèse établie de la CP est que la capacité de production installée (terre, outillage et bâtiments) ne varie pas : ce sont des facteurs fixes.

164 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. I/ La fonction de production de courte période : Supposons donc un producteur (une entreprise, une firme) qui fabrique sur une capacité donnée de production, un produit (P) à partir de deux facteurs (K) et (L). Si lon désigne par (p) la quantité de produit (P) obtenue et par (k) et (l) les quantités de facteurs utilisées pour fabriquer (p), on pourra écrire symboliquement que p = f (k, l) (1)

165 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. La relation (1) est la fonction de production de lentrepreneur (E). Elle exprime le fait que le volume de production (ou la quantité) du produit (p) dépend des quantités (k) et (l) de facteurs utilisées. Comme la fonction dutilité du consommateur, la fonction de production est supposée continue sur son intervalle de définition.

166 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. Cela implique que les quantités de facteurs de production sont divisibles «à linfini » et ce, même sil nest pas « tout à fait » réaliste de parler de lutilisation dun huitième douvrier ! Cest une hypothèse de travail dont la conséquence est de dire que : La quantité du produit (p) peut - être obtenue à laide dun nombre infini de combinaisons de facteurs K et L. Dés lors, cette hypothèse de la continuité de la fonction de production permet de définir deux nouveaux concepts : *le concept de productivité physique des facteurs et *le concept de courbe « iso – produit ».

167 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. 1 / Les concepts de productivité physique des facteurs : A partir de la relation « technique » qui relie le volume du produit (p) aux quantités de facteurs k et l, on définit les concepts de productivité totale, productivité moyenne et productivité marginale dun facteur de production.

168 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. 1a / La productivité totale dun facteur de production : Reprenons la relation (1) ci dessus et supposons donnée la quantité k du facteur K. Soit k 0 cette quantité constante de K. La fonction de production précédente devient fonction dune seule variable, la quantité (l) du facteur L. Elle sécrit : p = f (k 0, l) (2) La relation (2) exprime le fait que le volume de production (p) varie en fonction de la seule variable (l) puisque k 0 est une constante. Elle représente la productivité totale du facteur L. Elle est obtenue à laide dune combinaison dune quantité variable du facteur L et dune quantité constante du facteur K.

169 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. 1b/ La productivité moyenne dun facteur de production : Si la relation (2) représente la productivité totale du facteur L, alors on en déduit que la productivité moyenne du facteur (l) sera : p M = p/l =f (k 0, l)/l (3) La relation (3) montre que la productivité moyenne du facteur L est égale au rapport de la quantité totale (p) du produit sur la quantité (l) du facteur L utilisée pour obtenir (p).

170 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. 1c/ La productivité marginale dun facteur : La productivité marginale dun facteur de production exprime la variation de la productivité totale de ce facteur lorsque la quantité utilisée de ce facteur varie dune unité. Reprenons la fonction de production donnée par la relation (1) ci dessus. Nous avions supposé quelle était continue et dérivable sur son intervalle de définition. De la relation (I), on avait tiré la relation (2) qui exprime le fait que le volume de la production est fonction de la seule variable (l).

171 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. 1c/ La productivité marginale dun facteur : Appelons l la variation du facteur L et p la variation correspondante de p. On définit la productivité marginale du facteur L comme la limite du rapport p/ l quand l tend vers zéro. Autrement dit, si p mg désigne la productivité marginale du facteur L, on aura : p mg = Lim. p/ l = p/ l = f l (k 0, l) (4) l 0

172 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. 1c/ La productivité marginale dun facteur : La productivité marginale du facteur L est égale à la variation de la productivité totale résultant de la variation dune unité de la quantité (l) utilisée de ce facteur. Elle sexprime mathématiquement à laide de la dérivée partielle de la fonction de production (1).

173 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production. 2/ Illustration graphique : Soit p = f (k 0, l) la fonction de production telle que représentée par le tableau ci après: Qu. de Lp = f (k 0, l)p M = f (k 0,l)/l p mg = p/ l ,6 5 4,4 3,8 3,

174 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production 2/ Illustration graphique : Fig. 7 : Productivités totale, moyenne et marginale du facteur (l).

175 Interprétation de la Fig. 7 : Fig. 7 : Productivités totale, moyenne et marginale du facteur (l). 1/ Laugmentation de la quantité de facteur (l) entraîne dans un premier temps, un accroissement plus que proportionnel de la quantité de produit (p). 2/ Très rapidement, on voit que la quantité de produit augmente moins que proportionnellement, à mesure que la quantité du facteur (l) augmente. Durant toute cette phase, la productivité marginale est décroissante : Cest la phase 2 de la production. L a phase 2 exprime ce que lon appelle « la loi des rendements décroissants ».

176 Interprétation de la Fig. 7 : Fig. 7 : Productivités totale, moyenne et marginale du facteur (l). Le raisonnement, à la base de cette loi des rendements décroissants est le suivant (cf. louvrage déjà cité du Pr. A.Benachenhou p.282.) : Lutilisation croissante dun facteur variable (l) combinée avec un facteur de production fixe va entraîner « probablement » dans un premier temps (Ph.I)

177 Interprétation de la Fig. 7 : Fig. 7 : Productivités totale, moyenne et marginale du facteur (l). un rendement croissant (une production (p) plus que proportionnelle) puis celle - ci va probablement, dans un second temps (Ph. II) ralentir pour croître moins rapidement que laugmentation des quantités de facteurs utilisées. Cest ce quexpriment le tableau et le graphique précédent ( Fig. 7)

178 Fig. 7 : Productivités totale, moyenne et marginale du facteur (l). Interprétation de la Fig. 7 : Ainsi, la loi des rendements décroissants (certains auteurs préfèrent parler de « loi de la productivité marginale décroissante » (Cf. J. Lecaillon, in Analyse micro économique : Ed. Cujas Paris 1967, p.83) signifie que la phase où la production est la plus efficace est celle où laugmentation des quantités de facteurs production implique la décroissance de la productivité marginale.

179 Fig. 7 : Productivités totale, moyenne et marginale du facteur (l). Interprétation de la Fig. 7 : Ainsi sur le graphique (cf. Fig.7), on remarque : *la courbe représentative de P mg passe par un maximum correspondant au point dinflexion de la courbe représentative de P t (à partir duquel, laugmentation de la production est moins que proportionnelle à la quantité de facteur utilisée). La courbe P mg commence alors à décroître jusqu'à sannuler au moment où P t atteint son maximum.

180 Fig. 7 : Productivités totale, moyenne et marginale du facteur (l). Interprétation de la Fig. 7 : **la courbe représentative de P mg coupe la courbe P M (du produit moyen) en son point maximum ce que lon démontre assez facilement : En effet, on sait que la courbe P M = P t /l = f(k 0,l)/l, atteint son maximum lorsquon a : (P t /l) = 0 cest à dire lorsque fl(k 0,l) = 0.

181 Or, fl(k 0,l) = 0 l. f(k 0,l) - f(k 0,l)/l 2 = l. f(k 0,l)/l 2 - f(k 0,l)/l 2 = 0 doù lon tire ainsi que : f(k 0,l)/l 2 = f(k 0,l)/l 2 soit, en simplifiant on obtient : f (k 0,l)/l = f(k 0,l)/l 2 ou encore f(k 0,l) = f(k 0,l)/l CQFD. En effet, on vérifie que: f(k 0,l) = P mg et f(k 0,l)/l = P M Interprétation de la Fig. 7

182 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production II / Les courbes « Iso – produit » : 1 Définition et représentation graphique Dans ce qui précède, nous avions considéré la relation fonctionnelle p = f(k 0, l) entre la quantité produite (p) et un facteur de production (l) qui variait pendant que lautre (k) restait constant (noté k 0 ). Dans lhypothèse de la variation des deux facteurs, il est plausible, tout en restant dans la courte période, denvisager des combinaisons de facteurs (k, l) qui permettent dobtenir le même volume (p 0 ) de production. La relation fonctionnelle devient dans ce cas : p 0 = f(k, l)

183 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production II / Les courbes iso - produit : 1/ Définition et représentation graphique La représentation graphique, de la relation précédente appelée courbe « iso – produit » ou « iso- quante », peut - être définie comme le lieu géométrique de de toutes les combinaisons de facteurs K et L qui donnent le même niveau de production p. Fig. 8 : Courbes « iso – produit ». l1l1 l0l0 l3l3 P1P1 P2P2 P0P0 k0k0 k1k1 k3k3 Sur la Fig.8 on aura: p 1 < p 0 < p 2

184 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production 2/ Courbe « iso- produit » et Taux Marginal de Substitution Technique Les courbes « iso – produit » sont de même nature que les courbes dindifférence de la théorie du consommateur. En particulier, elles permettent de définir le taux marginal de substitution des facteurs lorsque lon se déplace le long de la courbe « iso – produit », cest à dire, lorsque varient les combinaisons de facteurs sans que cela nimplique une variation de la quantité produite. Fig. 8 : Courbes « iso – produit ». l1l1 l0l0 l3l3 P1P1 P2P2 P0P0 k0k0 k1k1 k3k3

185 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production 2/ Courbe « iso- produit » et Taux Marginal de Substitution Technique Comme dans le cas du consommateur,il est « intéressant » pour le producteur rationnel de savoir à quel taux il va pouvoir (éventuellement) substituer les facteurs de production de manière à garder le même niveau de production, cest à dire de faire varier les combinaison de facteurs tout en restant sur la même courbe « Iso – produit ». Pour ce faire, il va déterminer le taux marginal de substitution technique, en raisonnant à partir de la différentielle totale de la fonction de production p = f (k, l). On a en effet : dp = ( p/ k). dk + ( p/ l). dl Comme par hypothèse p = p 0 = constante (sur liso quant), on aura donc : dp = 0 doù lon tire légalité ci après: dp = p/ k. dk + p/ l. dl = pmg k.dk + pmg l dl. = 0, qui signifie en fait que [Pmg k /pmg l ] = -(dl/dk) = TMST

186 Chapitre I : Lapproche technique par les fonctions de production 2/ Courbe « iso- produit » et Taux Marginal de Substitution Technique La quantité (-dl/dk) qui représente lopposé de la pente de la courbe iso - produit est appelée taux marginal de substitution technique ( noté TMST). Le TMST est égal au rapport des productivités marginales des facteurs de production puisque lon sait que p/ l = Pmg l et p/ k = Pmg k. Fig. 8bis : Représentation graphique du TMST l0l0 P0P0 k0k0 TMST = - (dk/ dl) > 0 l1l1 k1k1 dk dl A B

187 Chapitre II : La fonction de production de longue période : Rappelons que nous avons « opposé » la courte période à la longue période en faisant valoir que dans lhypothèse de la LP, tous les facteurs de production, y compris la capacité de production installée, sont des facteurs variables. Autrement dit, en LP, il nexiste pas de facteurs fixes.

188 Chapitre II : La fonction de production de longue période : I/ Notion de « rendement déchelle » On dira que léchelle de la production a varié, lorsque les quantités de facteurs de production utilisés par le producteur varient simultanément dans la même proportion. On parlera également dans ce cas du changement de la taille de lentreprise. Il est ainsi intéressant de savoir comment varie la production lorsque change la taille de lentreprise. Considérons un entrepreneur qui décide à un moment déterminé de modifier dans la même proportion les quantités de ses facteurs de production (équipements, travail et matières premières). Quelle va être la quantité produite dans ces nouvelles conditions ? Cest la question des rendements déchelle qui est à se posée ici.

189 Chapitre II : La fonction de production de longue période : I/ Notion de « rendement déchelle » Supposons par exemple une variation des quantités de facteurs passant du simple au double : Si, lorsque la quantité de facteur passe du simple au double et que parallèlement la quantité produite augmente dans la même proportion, alors on dira que les rendements sont constants. Ce cas est parfaitement plausible, il nest cependant pas systématique. En effet, pour différentes raisons (techniques, organisationnelles et managériales), les modifications des quantités de facteurs dans une certaine proportion ninduisent pas toujours une variation directement proportionnelle de la quantité produite. Deux autres possibilités peuvent se présenter :

190 Chapitre II : La fonction de production de longue période : I/ Notion de « rendement déchelle » a/ Si la variation de la quantité produite est plus que proportionnelle à la variation des quantités de facteurs utilisés, on dira que les rendements sont croissants. b/ Si au contraire, la variation de la quantité produite est moins que proportionnelle à la variation des quantités de facteurs utilisés, on dira que les rendements sont décroissants.

191 Chapitre II : La fonction de production de longue période : II/ Les fonctions de production homogènes : 1 - Définition dune fonction de production homogène : Soit p = f (k, l) une fonction de production à deux variables k et l. On dira que cette fonction est une fonction de production homogène de degré ( ) (notée FPH ) avec R si : a R + - 0, on a : f (a.k, a.l) = a. f(k, l) = a. p

192 Chapitre II : La fonction de production de longue période : II/ Les fonctions de production homogènes : On peut énoncer différemment, quune fonction de production p = f(k,l) est homogène de degré ( ) lorsque la multiplication des facteurs par une constante (a) entraîne la multiplication de la fonction par la valeur (a ). 1 - Définition dune fonction de production homogène : Par ailleurs, si on a : f(ak, al ) = a f(k, l) = a f(k, l) = a. p, alors p = f(k, l) est dite fonction homogène de degré ( ).

193 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 2 - Fonctions de productions homogènes et rendements à léchelle : Supposons une fonction de production p = f(k, l) homogène de degré 1. Daprès ce qui précède, on peut écrire que : a R + - (0) on aura f(ak, al) = a. f(k, l) = a.p. Ce qui signifie quen multipliant la quantité de facteurs par a, la quantité produite a été, elle, multipliée par la quantité a a ( on sait en effet que 1, on a a) ; Cest à dire que la quantité obtenue du produit est plus que proportionnelle à la quantité des facteurs utilisés : dans ce cas, on dira que les rendements sont croissants.

194 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 2 - Fonctions de productions homogènes et rendements à léchelle : Exemple : Posons = 2 et envisageons le cas où le producteur décide de tripler la quantité de ses facteurs de production : cest à dire que a = 3). La fonction de production étant par hypothèse, une fonction homogène, on peut donc écrire : f(3k, 3l) = 3 2.f(k, l) = 9p. Ce qui montre quen multipliant par 3, les facteurs de production, le producteur a multiplié par 9 la quantité produite. Les rendements sont plus que proportionnels à la quantité de facteurs utilisés

195 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 2 - Fonctions de productions homogènes et rendements à léchelle : Supposons maintenant que la fonction de production p= f (k, l) est homogène de degré =1. Multiplions les quantités de facteurs par a 0 ; on aura, (toujours daprès la définition de la fonction homogène), f(ak, al) = a 1. f(k, l) = ap. Ce qui signifie quen multipliant la quantité de facteurs par a, la quantité obtenue produite a été, elle, multipliée par la même proportion a (on sait en effet que a, a 1 = a) ; cest à dire que la quantité obtenue du produit est proportionnelle à la quantité de facteurs utilisés : dans ce cas, on dira que les rendements sont constants.

196 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 2 - Fonctions de productions homogènes et rendements à léchelle : Exemple : Supposons que dans ce cas, le producteur décide également de tripler la quantité de ses facteurs de production. On peut écrire donc de la même façon : f(3k, 3l) =3 1.f(k, l) = 3p. Ce qui signifie quen multipliant la quantité de facteurs par 3 la quantité de produit obtenue est également multipliée par 3 : les rendements sont constants. Supposons enfin que la fonction de production p = f(k, l) est homogène de degré 0 1. Multiplions les quantités de facteurs par a 0 ; on aura, daprès la définition de la fonction de production homogène : f( ak, al) = a f(k, l) = a.p.

197 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 2 - Fonctions de productions homogènes et rendements à léchelle : Ce qui signifie quen multipliant la quantité de facteurs par a, la quantité produite obtenue a été, elle, multipliée par la quantité a a (on sait en effet que 1, étant positif, on a a a, (lorsque a est lui - même positif) ; cest à dire que la quantité obtenue du produit est moins que proportionnelle à la quantité de facteurs utilisés : dans ce cas, on dira que les rendements sont décroissants.

198 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 2 - Fonctions de productions homogènes et rendements à léchelle : Exemple : Posons =1/2 et envisageons de même que le producteur décide de tripler la quantité de ses facteurs de production. On peut donc écrire : f(3k,3l) = 3 1/2 f(k, l) = 3 1/2.p. Comme 3 1/2 3, on voit que la quantité obtenue du produit est moins que proportionnelle à la quantité de facteurs utilisés: les rendements sont décroissants.

199 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 2 - Fonctions de production homogènes et rendements à léchelle : Remarque : Considérons une fonction de production homogène de degré = 0. On peut écrire que f(ak, al) = a 0 f(k, l) = a 0.p. Or, on sait que a 0 on a: a 0 = 1 On en déduit que lorsquune fonction de production est homogène de degré = 0, on aura toujours f(ak, al) = f(k, l) = p. Cest un cas particulier parmi les fonctions de production à rendements décroissants (fonction de production homogène de degré : 1).

200 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 2 - Fonctions de productions homogènes et rendements à léchelle : DegréRendements 1 Croissants =1 Constants 1 Décroissants Résumé

201 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 3- Les propriétés fonctions de productions homogènes Remarque préliminaire Les propriétés mathématiques des fonctions homogènes ont une signification économique intéressante à étudier sagissant des fonctions de production. (cf. par exemple Economie et Mathématiques, Ouvrage collectif Ed. PUF Paris 1965, Tome 1 p. 383 et suivantes

202 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 3- Les propriétés fonctions de productions homogènes Propriété 1 : On démontre en mathématiques que les FPH admettent des dérivées partielles qui se présentent elles - mêmes sous la forme de, FPH ( -1). Conséquence : Si une fonction de production p= f(k, l) est homogène de degré =1, les dérivées partielles sont des fonction homogènes de degré =1 - 1 = 0

203 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 3- Les propriétés fonctions de productions homogènes Or on sait que les dérivées partielles dune fonction de production représentent les productivités marginales des facteurs de production de cette fonction. Cela signifie que celles - ci restent inchangées lorsque varie léchelle de la production.. On aura donc : a 0, f k (k, l) = f k (ak, al) et f l (k, l) = f l (ak, al)

204 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 3- Les propriétés fonctions de productions homogènes Propriété 2 : Les fonctions de production homogènes obéissent à lidentité dEuler qui sénonce comme suit : Lorsquune fonction de production p= f(k, l) est homogène de degré, légalité ci après est toujours vérifiée :.f(k, l) = k.f(k, l) + l. f(k, l) p = k. Pmg k + l. Pmg l Conséquence : Si p= f(k, l) est une FPH ( = 1) on aura, (puisque p = p), p = k. Pmg k + l. Pmg l

205 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 3- Les propriétés fonctions de productions homogènes Cette dernière égalité exprime la règle dite de « lépuisement de la production ». Cette égalité montre en effet que si le prix de chacun des facteurs de production K et L était égal à sa productivité marginale, la production (p) serait exactement égale à la rémunération (R f ) des quantités k et l des facteurs utilisés. En conséquence de quoi on déduit que :

206 Chapitre II : La fonction de production de longue période : 3- Les propriétés fonctions de productions homogènes 1 - La rémunération des facteurs de production serait supérieure à la quantité produite de P lorsque la fonction de production est homogène de degré A linverse la rémunération des facteurs de production (R f ) serait inférieure à la quantité produite de P (ce qui laisserait un surplus de production à lentreprise) lorsque la fonction de production est homogène de degré 1. Cest ce que résume le tableau ci- après: Degré Rendements R f / P 1 croissants R f P 1 constants R f P 1 décroissants R f P

207 Chapitre II : La fonction de production de longue période : III/ La fonction de production de Cobb - Douglas : La fonction Cobb - Douglas est une FPH de type particulier qui porte le nom de deux économistes américains La particularité de cette fonction de production tient dabord à sa formulation caractéristique. Elle se présente en effet sous la forme particulière ci après : qui lont étudiée en semployant à analyser les effets de laugmentation des quantités des facteurs K et L dans une même proportion. p = f(l, k) = l k (1- )

208 Chapitre II : La fonction de production de longue période : III/ La fonction de production de Cobb - Douglas : Reprenons la fonction Cobb- Douglas p = f(l, k) = l k 1- Où p est le volume de la production, l et k sont respectivement, les quantités utilisées du facteur « travail » L et du facteur « capital » K. Les coefficients et sont des constantes telles que : 0 1 et 0

209 Chapitre II : La fonction de production de longue période : III/ La fonction de production de Cobb - Douglas Augmenter simultanément la quantité des facteurs dans une même proportion revient à multiplier l et k par le même nombre a 0. Il vient alors : (al). (ak) 1- ce qui donne en isolant le facteur commun (a) a ( l k 1- ) = a. p = a 1. p ce qui montre que la fonction Cobb - Douglas est une fonction homogène de degré = 1

210 Chapitre II : La fonction de production de longue période : III/ La fonction de production de Cobb - Douglas : Comme la fonction Cobb - Douglas est une FPH 1, ses dérivées partielles sont, (en vertu de la propriété 1 des fonctions homogènes), elles - mêmes des FPH mais de degré = 0. Ce que lon peut vérifier assez facilement en calculant ces dérivées partielles. Après calculs, il vient : p/ l = l -1.k 1- et p/ k = l (1- )k -

211 Chapitre II : La fonction de production de longue période : III/ La fonction de production de Cobb - Douglas : Appliquons alors la propriété 2 cest à dire : p = f(k, l) = l. ( p/ l) + k.( p/ k). Comme on vient de montrer que la fonction Cobb - Douglas était une FPH = 1, on doit avoir aussi : p = l.( p/ l) + k.( p/ k), Et avoir également, (puisque p = l k 1- ) :

212 Chapitre II : La fonction de production de longue période : III/ La fonction de production de Cobb - Douglas : l k 1- = l.( p/ l) + k.( p/ k) = l. l -1.k 1- + k. l (1- )k -. En développant le deuxième membre de cette égalité, on obtient, après calculs : l k 1- =. ( l k 1- ) + (1- ).( l k 1- ) p= p + (1- )p

213 Chapitre II : La fonction de production de longue période : III/ La fonction de production de Cobb - Douglas : Commentaire : Ce résultat montre que si on rémunère les facteurs de production selon leur productivité marginale respective ( p/ l pour le facteur travail et p/ k) pour le capital), la production totale est répartie exactement entre les facteurs dans les proportions pour le travail et (1- ) pour le capital. On démontre par ailleurs assez facilement que et (1- ) représentent lélasticité de (p) respectivement par rapport aux facteurs L et K.

214 FIN DU COURS SEMESTRE 1


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