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Université de Poitiers - Université dAGADIR - Université de Lomé Danielle FORTUN É Université de Poitiers Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées.

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1 Université de Poitiers - Université dAGADIR - Université de Lomé Danielle FORTUN É Université de Poitiers Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août Poitiers MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES Camélia LERINTIU Université de Poitiers P prime Jamal CHAOUFI Université dAgadir Claude VALLÉE Université de Poitiers P prime Kossi ATCHNOUGLO Université de Lomé

2 2 Plan de lexposé 2-Suite de Fitzpatrick pour une loi linéaire monotone non associée Y=Ax 3-Lois linéaires coaxiales: « loi de Hooke généralisée » 7-Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick 4-Lois linéaires coaxiales et suite de Fitzpatrick 5-Construction des fonctions : étude de matrices 2x2 9-Conclusion et perspectives 6-Polynômes de Tchebychev de 2 ème espèce 8-Quel bipotentiel pour la loi coaxiale? 1-Introduction : Lois de comportement

3 3 Introduction y tenseur symétrique des contraintes de Cauchy dans lespace de Banach réel Y x le tenseur symétrique des petites déformations dans lespace de Banach réel X dual de Y Produit scalaire Norme associée La loi de comportement est la donnée du graphe dune multifonction T. Le couple (x,y) satisfait la loi de comportement sil est dans le graphe.

4 4 Introduction Les matériaux standards (MS): potentiels différentiables Matériaux standards généralisés (MSG) : potentiels convexes sous-différentiables Matériaux standards implicites (MSI) : bipotentiels Matériaux standards implicites monotones (MSIM): lois de comportement maximales monotones

5 5 Introduction : Matériaux standards Le graphe dans lequel évolue (x,y) est une sous variété symplectique maximale de l espace XxY. Pour les (M.S), il existe une fonction différentiable appelée potentiel telle que la loi de comportement sécrive Si ce potentiel est convexe linverse de la loi de comportement sécrit où est la transformée de Legendre du potentiel

6 6 Pour certains matériaux la relation entre x et y est une multifonction Non différentiabilité du potentiel tout en gardant la convexité et la semi-continuité inférieure (J.J.Moreau, R. T. Rockafellar ): classe des matériaux standards généralisés La loi de comportement se décline par une des trois formes équivalentes suivantes Introduction : Matériaux standards généralisés

7 7 Introduction : Généralisation La dernière égalité peut être regardée comme le cas extrémal de linégalité de Fenchel pour le couple (x,y) satisfaisant la loi de comportement A lappui de cette idée, Géry de Saxcé a modélisé le comportement des matériaux en renonçant à la somme des deux potentiels mais en travaillant avec une fonction du couple (x,y) appelée bipotentiel. Légalité pour le couple (x,y) est réalisée lorsque x et y sont liés par la loi de comportement du matériau.

8 8 Introduction : Matériaux standards implicites Les bipotentiels b(x,y) respectent les règles suivantes Convexe et semi-continue inférieure en x Convexe et semi-continue inférieure en y et Un matériau est appelé matériau standard implicite (MSI) si sa loi de comportement sexprime par lune des 3 propriétés équivalentes suivantes

9 9 Introduction: Matériaux standards implicites monotones Lois de comportement maximales monotones Elle est maximale si elle ne peut pas sétendre en une loi qui serait encore monotone Une loi de comportement est monotone si pour deux couples

10 10 Pour une multifonction maximale monotone T Suite de Fitzpatrick La suite de fonctions de Fitzpatrick associée à T est

11 11 Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associée Y=Ax Loi linéaire y=Ax A non symétrique, S définie positive. Double suite bouclée Suite de Fitzpatrick associée à A Couple (x,y) avec y non nécessairement égal à Ax

12 12 Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associées Y=Ax Changement dorigine Le maximum est atteint lorsque

13 13 Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associées Y=Ax Trouver la valeur de z 1 ?

14 14 Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associée Y=Ax Ainsi:

15 15 Suite de Fitzpatrick : résultat Suite de Fitzpatrick associée à la loi linéaire y=Ax A non symétrique Matrices H n Remarque : La notation H n est cohérente: F A,n-1 est associée à H n-3, et ainsi de suite

16 16 Lois Linéaires coaxiales Lois linéaires coaxiales k tenseur symétrique, μ scalaire, e identité h déviateur de k si h est nul, k sphérique : Loi de Hooke Ces lois respectent bien la propriété de conservation des directions principales de x et y

17 17 Lois Linéaires coaxiales : Loi de Hooke généralisée Doù lappellation de loi de Hooke généralisée Interprétation moderne du principe énoncé par R. Hooke « tant on tire, tant ça sallonge ». Conditions de monotonie Lois linéaires coaxiales Conditions traditionnelles Condition supplémentaire

18 18 Lois Linéaires coaxiales : Application A,, appliqué à x ne retient que x d déviateur de x Choisir la base orthonormée ? où

19 19 Lois Linéaires coaxiales : Application A,, sphérique unitaire partie déviatorique de k 4 déviateurs Tous unitaires et orthogonaux

20 20 Lois Linéaires coaxiales : Application A,, Base orthonormée

21 21 Lois linéaires coaxiales : Suite de Fitzpatrick notations,,…, Décomposition des matrices H n matrices 4x4 sphériques h n et matrices 2x2 s n

22 22 Construction des fonctions F A,n (x,y) : matrices sphériques h n Expressions des h n et ses inverses On suppose Par récurrence

23 23 Construction des fonctions F A,n (x,y) : caractérisation des matrices 2x2 s n Rappel En décomposant a et a T en parties symétriques et parties antisymétriques proportionnelles à J, puis en introduisant la propriété suivante sur les matrices 2x2 On démontre, par récurrence, que les s n sont proportionnels à s

24 24 Construction des fonctions F A,n (x,y) : caractérisation des scalaires α n Expression du déterminant de s On pose Lexpression de α n se transforme en Etudions maintenant les propriétés de la suite satisfaisant avec

25 25 Construction des fonctions F A,n (x,y) : caractérisation des fonctions β n (X) Regardons ces fonctions comme le rapport entre deux fonctions notées P i (X) Par récurrence, il vient

26 26 Polynômes de Tchebychev Les polynômes P i (x) introduits satisfaisont : On reconnait les polynômes de Tchebychev de 2 ème espèce

27 27 Polynômes de Tchebychev La variable X est comprise entre 0 et 1 Θ est compris entre 0 et π/2.. Les polynômes prennent les formes suivantes

28 28 Polynômes de Tchebychev : expressions de α n et s n Expressions des matrices s n Expressions des scalaires α n

29 29 Polynômes de Tchebychev : expressions des matrices H n En regroupant les résultats sur les matrices h n et s n, les matrices H n s écrivent :

30 30 Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick Fonctions de Fitzpatrick avec Chaque fonction de Fitzpatrick génère un bipotentiel pour la loi coaxiale non symétrique y=Ax

31 31 Quel bipotentiel pour la loi coaxiale monotone? On ne doit pas aller jusquà linfini pour choisir le bipotentiel associé à la loi coaxiale monotone y=Ax avec A non symétrique et S définie positive Le choix dun indice N est à faire afin de conserver le plus loin possible la définie positivité

32 32 Conclusion et Perspectives Proposition de bipotentiel pour la loi de Hooke non tronquée de 7 paramètres Repenser la RDM par lidentification des 7 paramètres: λ, μ et le déviateur h Dans le principe mixte, remplacer la fonctionnelle par Remplacer la somme des deux potentiels de la loi de Hooke à deux paramètres λ et μ par la fonction de Fitzpatrick F A,N

33 33 Extention: non linéaire, non monotone vecteurs x et y de même orientation suite de Fitzpatrick généralisée bipotentiel de Cauchy- Schwarz- Buniakovsky

34 34 MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES Merci de votre attention Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août Poitiers

35 35 Quelques lectures G. de Saxcé and L. Bousshine (2002), Implicit Standard Materials, D. Weichert and G. Maier (eds), Inelastic Behaviour of Structures Under Variable Repeated Loads, CISM Courses and Lectures, 432, Springer S. Bartz, H.H. Bauschke, J.M. Borwein, S. Reich and X. Wang (2007), Fitzpatrick function, cyclic monotonicity and Rockafellar antiderivative, Nonlinear Analysis, 66, S. Fitzpatrick (1988), Representing monotone operators by convex functions, Work-shop/ Mini conference on Functional Analysis and Optimisation, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University, 20, Australia, J.J.Moreau (2003), Fonctionnelles convexes, Istituto poligrafico e Zecca dello stato S P A, Roma M.Buliga, G.de Saxcé, C.Vallée (2008), Existence and construction of bipotentials for graphs of multivalued laws, J.of Convex Analysis, 15/1, C. Vallée, C. Lerintiu, D. Fortuné, K. Atchonouglo, M. Ban, (2009) Representing a non associated constitutive law by a potential issued from a Fitzpatrick sequence, Archives of Mechanics,61, issue3-4, , Warszawa G. de Saxcé, Z. Q. Feng, (1991), New Inequation and Functional for Contact with Friction: the Implicit Standard Material Approach, International Journal Mechanics of Structures and Machines,19/3,


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