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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Taux de variation ponctuel Taux de variation ponctuel.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Taux de variation ponctuel Taux de variation ponctuel

2 Introduction Dans cette présentation, nous verrons les notions de taux de variation moyen (TVM), de taux de variation ponctuel (TVP) et de taux de variation instantané (TVI).

3 On laisse tomber une pierre dune hauteur de 78,4 m. Lattraction gravitationnelle accélère cette pierre dont la position (m) par rapport au sol est décrite en fonction du temps t (s) par : Chute dun corps h(t) = 78,4 – 4,9t 2 m Cette description mathématique permet de calculer la durée de la chute, soit le temps nécessaire pour que la distance au sol soit nulle. On trouve alors : 78,4 – 4,9t 2 = 0 –4,9t 2 = –78,4 t 2 = 16 t = ±4 La valeur t = –4 est à rejeter dans le contexte, et on retient t = 4. Cela qui signifie que limpact au sol aura lieu 4 secondes après le début de la chute.

4 Grâce à la fonction, on peut calculer la position par rapport au sol en différents instants de cette chute. Chute dun corps h(t) = 78,4 – 4,9t 2 m t h(t)h(t) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 78,4 77,135 73,5 67,375 58,8 47,775 34,3 18,375 0,0 Pour étudier de tels phéno- mènes, on représente le temps sur un axe horizontal. Cela permet de visualiser le lien entre les variables temps et position.

5 Déterminons h la variation de position durant lintervalle de 1 à 3 secondes Taux de variation moyen h = 34,3 – 73,5 = –39,2 m t h(t)h(t) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 78,4 77,135 73,5 67,375 58,8 47,775 34,3 18,375 0,0 t = 3 – 1 = 2 s h = 34,3 – 73,5 = –39,2 ms Le temps écoulé t est : t = 3 – 1 = 2 s Dans cet exemple, le TVM est la vitesse moyenne de la pierre durant lintervalle [1; 3]. Le taux de variation moyen (TVM) dans lintervalle [1; 3] est : = –39,2 m 2 s = –19,6 m/s SS Graphiquement, le TVM est la pente de la sécante passant par les points (1; 75,3) et (3; 34,3). h t [1; 3] La position de la pierre par rapport au sol diminue, en moyenne, de 19,6 m par seconde durant lintervalle [1; 3].

6 Taux de variation moyen DÉFINITION Taux de variation moyen Soit f, une fonction continue sur un intervalle fermé [x 1 ; x 2 ] dom f. On appelle taux de variation moyen de f dans lintervalle [x 1 ; x 2 ] le rapport : Le taux de variation moyen est le rapport de la variation de la variable dépendante sur la variation de la variable indépendante. Graphiquement, cest la pente de la sécante passant par les points (x 1 ; f(x 1 )) et (x 2 ; f(x 2 )). = f(x 2 ) – f(x 1 ) x 2 – x 1 f x [x 1 ; x 2 ] x1x1 x2x2 x = x 2 – x 1 f = f(x 2 ) – (x 1 ) f(x)f(x) x (x 1 ; f(x 1 )) (x 2 ; f(x 2 ))

7 Quelle est la vitesse réelle du corps en chute libre à 3 secondes? Taux de variation instantané On ne peut facilement répondre à cette question car, pour trouver la pente dune droite, il faut connaître deux points de celle-ci. t h(t)h(t) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 78,4 77,135 73,5 67,375 58,8 47,775 34,3 18,375 0,0 Contournons la difficulté en calculant le taux de variation moyen dans deux petits intervalles, avant et après trois secondes, soit [2,5; 3] et [3; 3,5]. On trouve : = (34,3 – 47,775) m (3 – 2,5) s = –26,95 m/s SS h t [2,5; 3] = (18,375 –34,3) m (3,5 – 3) s = –31,85 m/s h t [3; 3,5] (3; 34,3) (2,5; 47,775) TVM [2,5; 3] = –26,95 m/s TVM [3; 3,5] = –31,85 m/s (3,5; 18,375) Le taux de variation instantané de la position par rapport au temps est compris entre –26,95 m/s et –31,85 m/s.

8 Taux de variation instantané On peut effectuer les mêmes calculs en considérant des intervalles de temps de plus en plus petits, avant et après trois secondes, pour avoir une meilleur estimation du taux de variation instantané de la position par rapport au temps. Cela donne : t h(t)h(t) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 78,4 77,135 73,5 67,375 58,8 47,775 34,3 18,375 0,0 SS (3; 34,3) Intervalle à gauche TVM Intervalle à droite Taux de variation moyen sur de petits intervalles au voisinage de t = 3 s TVM [2,5; 3]–26,95[3; 3,5]–31,85 [2,9; 3]–28,91[3; 3,1]–29,89 [2,99; 3]–29,351[3; 3,01]–29,449 [2,999; 3]–29,3951[3; 3,001]–29,4049 [2,9999; 3]–29,3995[3; 3,0001]–29,40049 On peut estimer que le taux de variation instantané de la position par rapport au temps à 3 secondes est denviron –29,4 m/s. Ce taux de variation est représenté graphiquement par la pente de la tangente à la courbe au point (3; 34,3). S

9 Taux de variation ponctuel DÉFINITION Taux de variation ponctuel Soit f une fonction et (c; f(c)) un point du graphique de cette fonction. Le taux de variation ponctuel (TVP) de la fonction f au point dabscisse a est la valeur limite des taux de variation moyens sur un intervalle [c; c+x] lorsque la largeur x de lintervalle sapproche de 0. Le taux de variation moyen sur [c; c + x] est : Graphiquement, cest la pente de la tangente au point (c; f(c)). f x [c; c+x] f(c + x) – f(c) x (c+x; f(c+x)) (c; f(c)) x f S = Lorsque le point Q sapproche du point P, la sécante pivote autour du point P et à la limite, lorsque x devient nul, la sécante devient la tangente au point (c; f(c)). S

10 Estimation graphique du taux de variation ponctuel Pour évaluer le taux ponctuel à partir de la représentation graphique du lien entre les variables, la procédure est la suivante : PROCÉDURE destimation graphique du taux de variation ponctuel 1.Tracer la tangente à la courbe au point indiqué. 2.Évaluer la variation de chacune des variables en tenant compte de la graduation et des unités de mesure. 3.Calculer le rapport des variations (taux de variation). 4.Interpréter le résultat dans le contexte en tenant compte des unités de mesure.

11 SSS Exemple Le graphique ci-contre représente la vitesse de la roue dinertie dun appareil t secondes après la mise sous tension du moteur. Évaluer graphiquement le taux de variation ponctuel de la vitesse angulaire par rapport au temps à 5 s. Traçons approximativement la tangente à la courbe au point dabscisse 5. En considérant deux points de cette tangente, le quadrillé permet alors dévaluer la pente de la tangente, ce qui donne : = 13,3 rad/s 2 Ce taux de variation ponctuel est laccélération de la roue dinertie à 5 s, la vitesse, à cet instant, a tendance à augmenter de 13,3 rad/s à chaque seconde.

12 Estimation numérique du taux de variation ponctuel On peut avoir à estimer un taux de variation ponctuel par une procédure numérique à partir de la règle de correspondance définissant la fonction comme nous lavons fait dans les exemples qui précèdent ou à partir de la représentation graphique du lien entre les variables. PROCÉDURE destimation numérique du taux de variation ponctuel 1.Calculer le taux de variation moyen sur une suite dintervalles de largeur décroissante à gauche et à droite de la valeur considérée. 2.Estimer la valeur limite vers laquelle tendent les suites de nombres représentant les taux de variation moyens. 3.Interpréter le résultat dans le contexte en tenant compte des unités de mesure.

13 SSS Exemple On lance une balle verticalement avec une vélocité de 49 m/s. La position de la balle mesurée à partir du sol est décrite par : s(t) = 49t – 4,9t 2 m Estimer le taux de variation ponctuel de la position à 2 s. Pour t = –0,5, on obtient : = 31,85 m/s On peut estimer à 29,4 m/s le taux de variation ponctuel de la position par rapport au temps. Pour t = 0,5, on obtient : = 26,95 m/s tTVMt –0,5 –0,129,890,1 28,91 –0,0129,4490,0129,351 –0,00129,40490,00129, ,5 31,85 26,95 29,4 m/s

14 SSS Comportement des images La recherche dun taux de variation ponctuel nest pas le seul contexte dans lequel on peut avoir à effectuer des calculs successifs pour voir la tendance qui se dégage des valeurs obtenues. On peut faire de tels calculs pour : analyser le comportement dune fonction au voisinage dune valeur particulière; analyser le comportement à linfini dune fonction.

15 SSS Exemple Déterminer par des calculs successifs le comportement au voisinage de x = 0, de la fonction définie par : f(x) = 4e 1/x Déterminer son comportement lorsque x devient très grand positivement. x f(0+x)x –1,0 –0,50, ,5 29, –0,10, ,188105,863 –0,01 1, –43 0,01 1, 44 0–0– , , , , , , x f(x)f(x) –11, –103, –1003, –10003, –4–4– x f(x)f(x) Déterminer son comportement lorsque x devient très grand négativement. SS

16 Description symbolique Pour décrire le comportement dune fonction, on utilise une notation symbolique adaptée à cette fin. signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de c par la gauche, les images de x par la fonction sapprochent de plus en plus de L. On dit alors que L est la limite à gauche des images lorsque x sapproche de c par la gauche. signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de c par la droite, les images de x par la fonction sapprochent de plus en plus de L. On dit alors que L est la limite à droite des images lorsque x sapproche de c par la droite. signifie que la limite à gauche est égale à la limite à droite et que celle-ci est L.

17 Description symbolique signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de c par la droite, les images croissent sans limite. On dit alors que la limite à droite de f lorsque x c est linfini. Cela revient à dire symboliquement quil ny a pas de limite. signifie que lorsque x prend des valeurs très grandes positivement, (x ) les images obtenues sapprochent de plus en plus de L. On dit alors que la limite à plus linfini est L. signifie que lorsque x prend des valeurs très grandes positivement, (x –) les images obtenues sapprochent de plus en plus de L. On dit alors que la limite à moins linfini est L. signifie que la limite nexiste pas, tout en indiquant si les valeurs deviennent très grandes positivement ou négativement.

18 S Exemple de description symbolique Considérons à nouveau la fonction définie par : f(x) = 4e 1/x Asymptote horizontale y = 4

19 Existence de la limite DÉFINITION Existence de la limite Soit f, une fonction. On dit que la limite de f lorsque x tend vers c existe si et seulement si : 1. la limite des images à gauche de c est égale à la limite des images à droite de c; 2. cette limite, L, est un nombre réel. Dans un tel cas, on écrit simplement : Dans le cas de la fonction définie par f(x) = 4e 1/x, la limite lorsque x tend vers 0 nexiste pas. Cependant, pour décrire le comportement local de la fonction, on écrit : et

20 SS Exemple Déterminer par des calculs successifs le comportement au voisinage de x = 0, de la fonction définie par : f(x) = x f(x)f(x) xf(x)f(x) –0,50, ex ex – 1 x Dire si la limite existe lorsque x tend vers 0. 0,51, –0,10, ,11, –0,010, ,011, –0,0010, ,0011, La limite existe puisque la limite à gauche est égale à la limite à droite et que cette limite est un nombre réel. On peut donc écrire : Remarquons tout dabord que f(0) nexiste pas, le domaine de la fonction est R\{0}. Étudions le comportement de la fonction à gauche et à droite de 0.

21 Conclusion Nous avons développé une approche numérique pour déterminer le taux de variation ponctuel dune fonction en un point dabscisse c. Nous avons utilisé cette approche numérique pour étudier le comportement local dune fonction au voisinage dune valeur particulière et à plus ou moins linfini. Pour décrire le comportement des fonctions nous avons introduit lécriture symbolique des limites. Dans la prochaine présentation, nous utiliserons cette écriture symbolique pour définir le taux de variation ponctuel et nous tenterons de développer une procédure algébrique pour évaluer le taux de variation ponctuel.

22 Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, Section 3.1, p Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, Section 3.2, p


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