Programmation linéaire et Recherche opérationnelle Licence d’Econométrie Professeur Michel de Rougemont

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1 Programmation linéaire et Recherche opérationnelle http://www.lri.fr/~mdr Licence d’Econométrie Professeur Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr

2 Programmation linéaire et Recherche opérationnelle http://www.lri.fr/~mdr Introduction Contraintes linéaires en Economie Optimisation Complexité, Approximation, Stabilité Programmation linéaire Simplex Simplex à deux phases Dualité Simplex révisé et dual Recherche Opérationnelle Problèmes de flots et de réseaux NP-complétude et approximation Jeux et Equilibres Programmation linéaire complémentaire

3 Contraintes linéaires en Economie Exemples de contraintes linéaires. Maximisation et Minimisation de fonctions. Incertitude. Complexité. Approximation. Bases de l’algèbre linéaire.

4 Introduction au Simplex Résolution d’un système linéaire de maximisation: Introduction de variables d’écart Solution initiale Itération pour augmenter la valeur de la solution. Terminaison

5 Exemple d’itération

6 Itérations possibles Augmentons Les contraintes sont : Nouvelle solution:

7 Nouveau système Substituons

8 Itération 2 Augmentons Les contraintes sont: Nouveau système: La valeur z ne peut plus être augmentée: optimum.

9 Méthode générale Mise sous forme normale. Itération: Choix d’un pivot qui augmente la solution. Détection de l’optimum ou d’infaisabilité Problèmes possibles: Solution non bornée Infaisabilité Cycles Solution initiale

10 Difficultés du Simplex Initialisation : peut-on toujours trouver une solution initiale? Itération : peut-on toujours itérer? Terminaison : les itérations terminent- elles toujours?

11 Systèmes et Tableaux Dictionnaire: Forme équivalente:

12 Tableaux 2311005 41201011 3420018 5430000 13/21/2 005/2 0-50-2101 0-1/21/2-3/2011/2 0-7/21/2-5/200-25/2

13 Itération de Tableaux 2311005 41201011 3420018 5430000 Colonne du pivot : Max cj Ligne pivot : Min s/r Pivot =2 Diviser ligne pivot par le pivot 13/21/2 005/2 41201011 3420018 5430000

14 Itération de Tableaux Soustraire à chaque ligne un multiple de la ligne pivot (0 apparaît sur la colonne Pivot) 13/21/2 005/2 0-50-2101 3420018 5430000 Ligne 2 – 4.ligne 1

15 Tableau 2 13/21/2 005/2 0-50-2101 0-1/21/2-3/2011/2 0-7/21/2-5/200-25/2 13/21/2 005/2 0-50-2101 0-1/21/2-3/2011/2 0-7/21/2-5/200-25/2

16 Itération 13/21/2 005/2 0-50-2101 01-3021 0-7/21/2-5/200-25/2 120202 0-50-2101 01-3021 0 00 -13 Faire apparaître 0 dans la colonne du pivot: Optimum atteint.

17 Interprétation géométrique Contrainte sur n variables : hyperplan de dimension n Dimension 2 : droites Dimension 3 : plans

18 Interprétation géométrique X1 rentre X5 sort

19 Interprétation géométrique X2 rentre X3 sort

20 Interprétation géométrique X5 rentre X4 sort

21 Interprétation géométrique Optimum

22 Difficultés d’itération Itération : peut-on toujours itérer? Solution non bornée Itération dégénérée Cycle Solution non bornée: entre dans la base : seule borne est Solution z arbitraire !

23 Itération dégénérée entre dans la base. Seule contrainte est: sort de la base (au choix). On obtient:

24 Itération dégénérée Solution dégénérée car Equation 2 impose:

25 Itération dégénérée Solution identique à la précédente! L’itération est dégénérée. Remarque: l’itération suivante est aussi dégénérée et la suivante est optimale.

26 Cycles

27

28 Chaque itération est dégénérée.

29 Initialisation Solution faisable, Dictionnaire faisable? Problème auxiliaire:

30 Initialisation Infaisable: Pivot : Faisable:

31 Initialisation Pivot : Optimum : Dictionnaire d’origine:

32 Initialisation générale Etape 1 : Etape générale : simplex Terminaison:

33 Interprétation géométrique de l’initialisation Le point (0,0,…0) n’est pas dans le polytope. Trouver un autre point en ajoutant -x0 pour être sur de trouver une solution.

34 Interprétation géométrique de l’initialisation Contraintes sont:

35 Interprétation géométrique de l’initialisation Ecrire les contraintes avec x0

36 Interprétation géométrique de l’initialisation Ecrire les contraintes avec x0

37 Interprétation géométrique de l’initialisation Dictionnaire infaisable: x0 entre et x4 sort (b minimum)

38 Interprétation géométrique de l’initialisation Dictionnaire : x1 rentre et x0 sort Optimum X0=0 donc faisable

39 Interprétation géométrique de l’initialisation Dictionnaire global

40 Simplex à deux phases Phase 1 : résolution du problème auxiliaire. Phase 2 : résolution du problème original. Théorème fondamental. Pour chaque problème LP: Soit le problème est infaisable Soit le problème n’est pas borné Soit le problème a une solution optimale

41 Simplex révisé Représentation compacte d’un dictionnaire. Forme Matricielle:

42 Dualité Estimation de z > a z>5 avec (0,0,1,0) z>22 avec (3,0,2,0) …. Estimation de z <b ? Quel est le témoin?

43 Dualité Montrons que z <275/3 2nd contrainte. 5/3 Donc z <275/3

44 Dualité 2nd contrainte +3ème contrainte Donc z <58 Méthode systématique.

45 Dualité Conditions pour que le membre gauche >

46 Dualité On obtient donc: