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Prétraitements des images - 1 1ère PARTIE PRETRAITEMENTS DES IMAGES 1. INTRODUCTION  Dégradations des images  Méthodologie de traitement 2. RESTAURATION.

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1 Prétraitements des images - 1 1ère PARTIE PRETRAITEMENTS DES IMAGES 1. INTRODUCTION  Dégradations des images  Méthodologie de traitement 2. RESTAURATION D’IMAGE  Corrections photométriques  Corrections géométriques 3. MODIFICATION D’HISTOGRAMME  Correction de dynamique  Egalisation / ajustement d’histogrammes  Transformation adaptative 4. BINARISATION  Critères statistique / structurel  Exemples FIN DE PRESENTATION

2 Prétraitements des images - 2 Traitements spécifiques sans référence au contenu de l’image : prétraitements INTRODUCTION DEGRADATIONS DES IMAGES Origines :  Eclairage  non homogénéité spatiale, spectre  Prise de vue  perturbations du milieu, bougés, vibrations, perspective  Optique  défocalisations, aberrations chromatiques, distorsions  Capteur  non homogénéité spatiale, non linéarité de réponse, bruits  Electronique  bande passante, discrétisation, bruits Effets :  Défauts de luminance / chrominance :  Défauts géométriques du maillage :  Flou, perte de netteté, de contraste :  Bruits de modèles complexes :

3 Prétraitements des images - 3 METHODOLOGIE DE TRAITEMENT INTRODUCTION ( 2 ) Segmentation Traitement des primitives Analyse ImageObservation visuelle : critères subjectifs Extraction de formes ( primitives ) Extraction de paramètres, mesures Localisation, identification, classification Dégradations Prétraitements

4 Prétraitements des images - 4 TYPES DE PRETRAITEMENTS INTRODUCTION ( 3 ) Amélioration subjective Amélioration objective Binarisation Image Observation visuelle Segmentation Restauration : inversion du processus de dégradation, exige un modèle de dégradation ( corrections photométriques / géométriques ) Améliorations : modifications d’histogrammes  méthodes pixel à pixel subjectives ou objectives renforcement du contraste  méthodes locales subjectives lissage des bruits  méthodes locales subjectives et objectives Binarisation : transformation en image bi-niveaux  pixel à pixel ( segmentation = morphologie ) Restauration Modèle Modèle inconnu : limitation des défauts

5 Prétraitements des images - 5 CORRECTIONS PHOTOMETRIQUES : EXEMPLES RESTAURATION D’IMAGE  Correction de capteur ( gain, non linéarité, etc. )  étalonnage expérimental Energie No niveau de gris N = f ( E ) Courbe d’étalonnage LUTLUT No ( pixels bruts ) Nc = LUT (No): pixels corrigés E = k.f –1 ( No )  Correction de signal : correction gamma  modèle explicite S vidéo = E   Nc = ( ( No / 255 ) 1/   ).255  LUT normalisation No dans [ 0…1 ] puis Nc dans [ 0…255 ] NB :  = 0.45 pour la vidéo noir et blanc

6 Prétraitements des images - 6 RESTAURATION D’IMAGE ( 2 )  Correction d’uniformité d’éclairement  image de référence Image d’origine : I1 objet sur fond clair Image de référence : Io (fond)Image I1 – Io + max(Io)  Correction d’éclairement : scène et source fixes, variation de l’éclairement  modèle physique En tout point Lo(x,y) =  (x,y).Eo(x,y) si E = Eo +  E  L = .E = .Eo + .  E.Eo/Eo L = Lo +  E/Eo.Lo = (1+k).Lo ( multiplication par cste ) Pour progiciels standards, changement d’éclairement : L = Lo + cste  faux !

7 Prétraitements des images - 7 RESTAURATION D’IMAGE ( 3 ) Image d’origine : I1Correction additive : IdCorrection multiplicative : Im Fond clair théoriquement constant : image de référence fond sans objet Io avec un éclairement constant devrait être max(Io)  Correction additive : Id = I1 – Io + max(Io)  Correction multiplicative : max(Io) = K. Io  Im = I1.K = I1.max(Io) / Io La correction additive fournit le contraste objet / fond mais avec un éclairement non homogène de l’objet, la correction multiplicative prend en compte le modèle physique réel de correction d’éclairement.

8 Prétraitements des images - 8 RESTAURATION D’IMAGE ( 4 ) Image d’origine et profil colonne Image corrigée et profil colonne Algorithme Pour chaque ligne de l’image Im calcul du minimum de la ligne : Min ligne de l’image du fond = Min Image corrigée = Im – Fond + moyenne du fond ( conserve niveau moyen du fond ) Code Matlab : Min=( min(Im‘ ) )‘ ; Fond=repmat( Min,1,size(Im,2) ) ; Icor =Im - Fond+mean(Min) ;  Correction d’uniformité d’éclairement  construction de la référence

9 Prétraitements des images - 9 CORRECTIONS GEOMETRIQUES : TRANSFORMATIONS PLANES RESTAURATION D’IMAGE ( 5 ) L C   Les différentes transformations géométriques planes en coordonnées homogènes : L C Changement d’échelle ( zoom ) Rotation centrée en 0 Translation C L Combinaison des transformations directes ou inverses  globalement : forme affine 6 paramètres réels

10 Prétraitements des images - 10 CHANGEMENT D’ECHELLE RESTAURATION D’IMAGE ( 6 )  Exemple de zoom : détail d’une image binaire avec kl = kc = K = 1.7  Transformation directe : PI( L,C )  PZ( round(K.L),round(K.C) ) certains pixels ne sont pas affectés  Transformation inverse : PZ( L,C )  PI( round(L/K),round(C/K) ) plus proche voisin dans { PI } Image initiale { PI } Zoom { PZ }

11 Prétraitements des images - 11 RESTAURATION D’IMAGE ( 7 )  Transformation directe : PI( L,C )  PZ( round(K.L),round(K.C) )  Transformation inverse : PZ( L,C )  PI( round(L/K),round(C/K) ) Calculs en réels puis arrondi pour donner des coordonnées entières  la transformation directe ne permet pas de calculer tous les points, ce qui laisse des pixels à une valeur arbitraire ( ici 0, pixels noirs ). La transformation inverse, par principe, affecte tous les points  utilisation systématique de T -1.  Mise en évidence  rotation d’une image ( ici constante ) autour de son centre : Pixels noirs non affectés Transformations directe et inverse La marge noire résulte d’une absence de pixels correspondants dans l’image initiale

12 Prétraitements des images - 12 ZOOM AVEC INTERPOLATION RESTAURATION D’IMAGE ( 8 )  T.inverse avec interpolation bi-linéaire : PZ( L,C )  interpolé ( PI( L/K, C/K ) ) = Pl( L+dl,C+dc ) en fonction des 4 voisins  T.inverse avec interpolation bi-cubique : Pl( L+dl,C+dc ) en fonction de 16 voisins Voir détails des calculs P(L,C) P(L,C+1) P(L+1,C)P(L+1,C+1) 0  dl < 1, 0  dc < 1 P(L+dl,C+dc) = [ P(L,C).(1-dc)+P(L,C+1).dc ]. (1-dl) ligne L + [ P(L+1,C).(1-dc)+P(L+1,C+1).dc ]. dl ligne L+1 Interpolation linéaire sur : ligne L ligne L+1 colonne entre les 2 valeurs ci-dessus

13 Prétraitements des images - 13 RESTAURATION D’IMAGE ( 9 ) L’interpolation bi-cubique produit une sensation de meilleur contraste  différence de niveau  Lignes centrale des images sur quelques colonnes : sans interpolation  niveaux conservés bi-linéaire  niveaux intermédiaires, léger flou bi-cubique  dépassement des niveaux ( prévoir butées ) Interpolation bi-linéaireInterpolation bi-cubique

14 Prétraitements des images - 14 REDUCTION CONSERVATIVE D’IMAGE RESTAURATION D’IMAGE ( 10 )  Réduction d’image : facteur d’échelle K < 1  des pixels sont supprimés, l’information pertinente peut être éliminée dans le cas d’images de documents comportant textes ou graphismes blanc / noir ou noir / blanc Réduction K = 0.7  A la place de l’interpolation entre les 4 voisins :  maximum des 4 voisins ( conservation du blanc)  minimum des 4 voisins ( conservation du noir )

15 Prétraitements des images - 15 GENERALISATION : TRANSFORMATION AFFINE RESTAURATION D’IMAGE ( 11 )  Combinaison de transformations géométriques  forme affine, 6 paramètres Homologues de 3 points fixées : 3 x 2 équations, résolution du système  t ij ( si plus de points : système sur-déterminé ) Système linéaire, solution si au moins : 3 points connus dans image initiale, 3 homologues fixés dans image transformée. PiTPt 2 - calcul des dimensions image transformée 3 - pour tous points image transformée : Pt( L’, C’ ) calcul de interpolé de ( Pi( L, C ) ) Pt *  T – Pi = 0

16 Prétraitements des images - 16 RESTAURATION D’IMAGE ( 12 )  Exemple, recadrage d’un texte  choix des points de référence Code Matlab : Pi=[ [22 21] ; [113 28] ; [109 87] ] ; Pt=[ [ ] ; [ ] ; [ ] ] ; T=Pt \ P i; P1 P2 P3 Choix d’extrémités de caractères, a priori pour image correcte : P1 et P2 sur même colonne P2 et P3 sur même ligne d‘où Pi et Pt

17 Prétraitements des images - 17 RESTAURATION D’IMAGE ( 13 )  Puis application de la transformation avec interpolation bi-linéaire Redressement du texte ( rotation + translation ) et zoom

18 Prétraitements des images - 18 RESTAURATION D’IMAGE ( 14 )  2 prises de vues avec mouvement du capteur CAS D’UNE TRANSFORMATION PROJECTIVE ( NON PLANE ) X=|x y z| t OO1 U=|u v 1| t T3D TP 3x3 U = k.TP.X  X = TP -1.1/k.U k scalaire U 1 = k 1.TP.(R.X+T) = k 1.TP.(R.TP -1.1/k.U+T) k 1 scalaire  U 1 = fonction ( U ) ? U1U1 T-PlanPlan.mws Le développement des calculs montre que les scalaires disparaissent de U 1 = f(U) si le terme de translation de T3D est faible par rapport à la distance OX (z), ainsi pour |tx ty tz|=0, on obtient alors une relation homographique. Voir notations dans « Formation des images » Sous forme matricielle, si des points communs aux 2 vues sont connus, coordonnées U et U 1 : 9 inconnues, 2 relations par point commun  5 points communs

19 Prétraitements des images - 19 RESTAURATION D’IMAGE ( 15 )  Application, recalage de 2 prises de vues avec rotation 3D du capteur ( mosaïque d’images ) 5 pixels o En pratique, les points devraient être mieux répartis dans les 2 images, pour une meilleure estimation de H.

20 Prétraitements des images - 20 On peut donc reformuler le système précédent pour déterminer T -1 : Pt * T - Pi = 0 2 x 10 paramètres réels  le calcul nécessite au moins 10 couples de points Pi(l,c), Pt(l’,c’) CORRECTION DES DISTORSIONS RESTAURATION D’IMAGE ( 16 ) On a modélisé [ voir Modèle de caméra – distorsions ] les défauts géométriques :  Erreurs de positionnement de la caméra, termes petits, donc au premier ordre ;  Distorsions géométriques de l’optique ;  Déplacement du plan de prise de vue ( rotation axe z, translations selon x et y ) ;  termes d’erreur sur les coordonnées = polynômes de degré 3 : Valeurs idéales ui,vi valeurs réelles ur,vr : ur = ui + err( ui,vi )  l = l’ + Pl 3 ( l’,c’ ) vr = vi + err( ui,vi )  c = c’ + Pc 3 ( l’,c’ ) Mod_Cam_2. mws

21 Prétraitements des images - 21 RESTAURATION D’IMAGE ( 17 )  Exemple de correction sur une mire, avec interpolation bi-linéaire Les points de référence sont les centres de gravité ( CdG ) des 9 x 15 carrés Les carrés sont uniformément répartis  coordonnées idéales selon un motif rectangulaire En pratique, préférabler des disques : meilleure stabilité de position du CdG Distorsions en barillet Motif rectangulaire restauré

22 Prétraitements des images - 22 RESTAURATION D’IMAGE ( 18 )  Références groupées au centre ( 17 CdG rouges )  la périphérie est mal corrigée Avec déplacement dans le plan

23 Prétraitements des images - 23  La correction n’est effective qu’à l’intérieur du motif de référence RESTAURATION D’IMAGE ( 19 )  Références situées en périphérie ( 16 CdG bleus )  l’image est globalement bien corrigée Avec déplacement dans le plan

24 Prétraitements des images - 24 CORRECTIONS DE DYNAMIQUE MODIFICATION D’HISTOGRAMME  Éviter les saturations ( non linéarités irrécupérables ) : réduction du temps d’intégration réduction de l’ouverture d’objectif  Modification de l’éclairement de la scène Dynamique de l’image non optimale Ajustement linéaire de la dynamique : Gt = 255.( Go – Gmin) / (Gmax – Gmin) Go Gt 255 LUT Code Matlab : LUT=[0:255] ; LUT=255*(LUT-Gmin) / (Gmax-Gmin) ; LUT=min( max( LUT,0 ),255 ); Icor = LUT( Im+1 );

25 Prétraitements des images - 25 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 2 ) Correction non linéaire de dynamique : compensation de sur- ou sous-exposition :  Existence de zones claires ou sombres dans l’image et besoin d’amélioration de la visibilité des détails dans ces zones :  transformation augmentant la plage de variation des niveaux de gris de ces zones  cette transformation s’effectue au détriment des plages complémentaires  Programmation de la LUT de correction : Code Matlab : Si N < 1  amélioration zones sombres ( sous-exposées ) Si N > 1  amélioration des zones claires ( sur-exposées ) LUT=[0:255] ; LUT=255*(LUT / 255).^ N ; Gt = LUT ( Go ) NB : correction gamma …

26 Prétraitements des images - 26 EGALISATION D’HISTOGRAMME MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 3 )  Idée : transformer un histogramme quelconque en histogramme uniforme  Équivalence des notions pour les domaines continu et discret : densité de probabilité f(x)  histogramme normalisé H(n)/Ne ( Ne = nbre échantillons ) fonction de répartition F(x)  histogramme normalisé cumulé HC(n)  Transformation y = T(x) pour l’égalisation d’histogramme : répartition initiale donnée : f(x) donc F(x) connues répartition cible de y sur [0…255] avec f(y) uniforme  f(y) = 1/255 T(x) respectant les relations d’ordre sur x ( monotone, croissante) propriété des probabilités : f(y) = f(T –1 (y) ) / ( dT(x) / dx )  dT(x)/dx = 255.f(x)  T(x) = 255.F(x) soit dans le domaine discret : T(Go) = 255/NbrePixels. HC (Go)  Propriétes : utilise toute la dynamique  ajustement implicite de dynamique regroupe les classes de niveaux de gris proches  élimine les niveaux intermédiaires  amélioration visuelle du contraste problème : transformation exacte dans le domaine continu, mais approchée en discret ( voir exemple, prochaine diapositive )

27 Prétraitements des images - 27 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 4 )  Ajustement de dynamique et égalisation d’histogramme : Ajustement de dynamique Égalisation d’histogramme Code Matlab : Hi=imhist( uint8(Im) ); [Nl,Nc]=size(Im) ; for G=255:-1:2, HCi(G)=sum( Hi(1:G) ); end LUT=255*Hci / (Nl*Nc) ; Ieh=uint8( LUT(Im+1) ); NB : histogramme non uniforme Gt = LUT ( Go )

28 Prétraitements des images - 28 TRANSFORMATION ADAPTATIVE MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 5 ) Toutes les transformations précédentes sont globales ( sur l’ensemble de l’image ) Si la luminance n’est pas uniforme  adaptation de transformation au contexte local  Exemple : subdivision en 4 zones, calcul de la transformation pour chaque zone Zi Code Matlab : Lo=round(Nl/4); TL=round(Nl/2); Co=round(Nc/4); TC=round(Nc/2); for L=1:Nl, Kv=max( min( (L-Lo)/TL,1 ),0 ) ; for C=1:Nc, G=Im(L,C) ; Kh=max( min( (C-Co)/TC,1 ),0 ) ; Gt01=LUT0(G)*(1-Kh)+LUT1(G)*Kh; Gt23=LUT2(G)*(1-Kh)+LUT3(G)*Kh; Iad(L,C)=Gt01*(1-Kv)+Gt23*Kv; end Z2 Z3 Z1 Z0 0 C L NB : Kh et Kv [0…1] respectivement pondérations horizontale et verticale Zi : dimensions Nl/2 x Nc/2 centre (Li,Ci) et transformation locale Ti Pour pixel P(l,c)  interpolation bilinéaire des transformations : pondération des Ti par les distances P  (Li,Ci)

29 Prétraitements des images - 29 TRANSFORMATION ADAPTATIVE MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 5 ) Image initiale Ajustement global de dynamique Ajustement adaptatif 4 zones  Noter que les relations d’ordre sur les niveaux de gris ne sont plus respectées

30 Prétraitements des images - 30 AJUSTEMENT DE 2 HISTOGRAMMES MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 6 ) Eclairages différents d’une même scène  histogrammes différents Modification d’un histogramme pour l’ajuster à l’autre  images comparables  Algorithme : Calculer les histogrammes cumulés de référence HCref et cible HCcible ( à modifier ) Pour G dans [0…255] calculer Go tel que : | HCref (Go) – HCcible (G) | = 0 par interpolation linéaire LUT (G) = Go  Code Matlab : for G=256:-1:2, Href(G)=sum( Href(1:G) ); Hcible(G)=sum( Hcible(1:G) ); end Href=[-1.0e+38;Href;1.0e+38] ; % butees pour calcul for G=1:256, Tst=Href-Hcible(G); Neg=find(Tst < 0); Gn=Neg(end); % dernier < 0 Pos=find(Tst > 0); Gp=Pos(1); % premier > 0 Lut(G)=( Tst(Gp)*Gn-Tst(Gn)*Gp ) / ( Tst(Gp)-Tst(Gn) ) ; end Lut=round( Lut )-2;

31 Prétraitements des images - 31 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 7 ) Ajustement des 3 histogrammes R V B sur la référence Référence Lumière blanche 3 images couleur avec des lumières présentant une composante spectrale

32 Prétraitements des images - 32 PRINCIPE BINARISATION  Transformation pixel à pixel ( par LUT ) transformant une image multi-niveaux en une image 2 classes, notées C 0 et C 1 : image binaire  Cas particulier de modification d’histogramme : 2 modes  2 classes Gt GoSeuil 0 1 Problème : choix du seuil ? Base de choix  histogramme Cas idéal : histogramme bimodal le seuil est tel que H(S) = 0 entre les deux modes Go H(Go)  Détermination du seuil :  empiriquement  critère statistique : critère bayesien ou minimisation de la variance intra-classe  critère structurel : critère de forme  seuil global ou adaptatif selon critère local optimal

33 Prétraitements des images - 33  Recherche du seuil optimal So tel que : où Pei = probabilité d’erreur de classification pour la classe i, et PCi probabilité de la classe Ci sous hypothèse de distributions gaussiennes de même variance  2 : CRITERE BAYESIEN BINARISATION ( 2 ) Suppose connus  PC 0 et PC 1   0 et  1 obtenus itérativement Prob Gris C0C1 Pe 0.PC 0 Pe 1.PC 1 So

34 Prétraitements des images - 34 VARIANCE INTRA-CLASSE MINIMALE BINARISATION ( 3 ) VIC=zeros( size(Seuil) ) ; for I=1:length(Seuil), S=Seuil(I) ; N0=sum(Hi(1:S)) ; SG0=sum( Hi(1:S).*[0:S-1]‘ ) ; N1=sum(Hi(S+2:end)) ; SG1=sum( Hi(S+2:end).*[S+1:255]‘ ) ; VIC(I)=SG0^2/N0+SG1^2/N1 ; end [Vmax,Imax]=max( VIC ) ; VIC=VIC/Vmax ; Détermination de So séparant C 0 et C 1 : Pour seuil S dans la plage de test : calcul du critère selon histogramme Hi Minimum du critère  seuil optimal So Code Matlab :

35 Prétraitements des images - 35 BINARISATION ( 4 ) Histogramme N0.  N1.  1 2 max pour 220 Exemple : images binarisées pour Seuil = 170, 220, 230

36 Prétraitements des images - 36 Compacité C = 4 . Surface / Périmètre 2 CRITERE DE FORME : COMPACITE BINARISATION ( 5 )  Critère basé sur la régularité des formes des objets et la stabilité de leurs contours ce critère s’applique sur l’image binaire, donc après seuillage  Discrimination des formes : disque C = 1, carré C = 4  / 16, rectangle 1 x 0.1 C  4  / 50  Indice de fractionnement : 1 forme C = cf  N formes identiques même surface totale C = cf / N  Indice de points isolés : 1 point isolé à 0 dans une forme  P = P+4, S = S-1  C  1 point isolé à 1 dans le fond  P = P+4, S = S+1  C  ( moins )  Méthode : Pour toutes les valeurs du seuil dans la plage à tester : binarisation surface = nbre de pixels à 1, périmètre = nbre de points des contours calcul de la compacité à 4  près Compacité maximale  Seuil optimal

37 Prétraitements des images - 37 COMPACITE : MODE DE CALCUL BINARISATION ( 6 ) NB : la compacité n’a d’intérêt que si la forme est régulière et modifiée par le choix du seuil ! Calcul de la surface immédiat, S = nbre de pixels à l’état 1 Calcul du périmètre, P = nbre de pixels du contour, plusieurs choix possibles : - 2 contours discrets à combiner : intérieur P int et extérieur P ext d’où - et de plus 2 définitions de connexité : 4-connexité ou 8-connexité Les valeurs extrêmes des seuils n’ont aucune signification : - seuil très faible, image à 1 sauf quelques pixels isolés à 0 - seuil élevé, image à 0 sauf quelques pixels isolés à 1  il n’y a plus de notion d’objet et de fond, un critère de forme n’a plus de sens C1 = 4. . S / (P int *P ext ) C2 = 16. . S / (P int + P ext ) 2

38 Prétraitements des images - 38 COMPACITE : DISCRETISATION BINARISATION ( 7 )  Calcul de la surface sans ambiguité, S = nbre de pixels à l’état 1  Calcul du périmètre, P = nbre de pixels du contour, dépend de la connexité utilisée 4-C ou 8-C : P = ( P int + P ext ) / 2  Exemple, 1 point isolé : S = 1, P int =1 P ext 4-C = 4 P ext 8-C = 8 4-C8-C  Compacité 8-C = 16.  / ( 9 2 ) = 0.62  Compacité 4-C = 16.  / ( 5 2 ) = 2  compacité > 1, conséquence de la discrétisation la valeur limite de 1 pour la compacité (disque) n’est valable que pour un espace continu

39 Prétraitements des images - 39 Exemple : images binarisées pour Seuil = 70, 82, 95 BINARISATION ( 8 ) Histogramme Compacité max pour 82

40 Prétraitements des images - 40 BINARISATION ( 9 ) CODAGE DIT « HALF TONING »  Objectif : rendu visuel d’une image en niveaux de gris sous forme binaire principe en 1D, signal G(i) de dynamique [0,Gm] et seuil S = Gm/2, algorithme : si G(i) ≥ S  Err = G(i)-Gm; B(i) = 1; Err est l’erreur due au codage G(i) ~Gm sinon  Err = G(i); B(i) = 0; G(i+1) = G(i+1) + Err;l’erreur est reportée sur le point suivant résultat :si G = S  B = … alternance noir / blanc si G > S  la densité de points blancs augmente avec G si G < S  inversement la densité de points noirs augmente  En 2D, diffusion de l’erreur, répartie pondérée vers les points voisins ( Floyd-Steinberg ) - balayage de l’image, en chaque pixel P(i,j) : test / binarisation / calcul de l’erreur - diffusion de l’erreur sur les suivants : P(i,j) → ErrP(i,j+1) + 7/16.Err P(i+1,j-1) + 3/16.Err P(i+1,j) + 5/16.Err P(i+1,j+1) + 1/16.Err

41 Prétraitements des images - 41 BINARISATION ( 10 )  Exemple  répartition pseudo-aléatoire de points noirs / blancs : Binarisation Img > 127 Half-toning la densité des points donne un rendu multi-niveaux de gris

42 Prétraitements des images - 42 RETOUR AU PLAN FIN DE PRESENTATION

43 Prétraitements des images - 43 INTERPOLATION BI-CUBIQUE  Interpolation cubique  interpolation 1D par polynôme de degré 3 sur 4 points connus P(L,C-1), P(L,C), P(L,C+1), P(L,C+2) avec x = dc, 0 < dc < 1 donné Icubic. mws Sur la ligne L, et avec une référence arbitraire C = 0, calcul de P(dc) : Ck fonctions de x et des coefficients

44 Prétraitements des images - 44 INTERPOLATION BI-CUBIQUE ( 2 )  Interpolation bi-cubique  autre méthode d’interpolation 1D par polynôme de degré 3 avec 2 points : P(L,C), P(L,C+1) et 2 dérivées : P’ (L,C), P’ (L,C+1) Soit en 2D une zone de 4 lignes x 4 colonnes par point - 4 interpolations 1D horizontales sur 4 lignes - 1 interpolation 1D verticale sur les 4 résultats d’où encore 4 points concernés par exemple Icubic. mws

45 Prétraitements des images - 45 STABILITE DU CdG D’UN DISQUE  La position du centre de gravité d’une forme n’est pas un invariant projectif La déformation projective d’un disque est plus faible que celle d’un motif rectangulaire ( carré ) exemple d’une transformation projective disque et carré englobant pour ax = 0, ay = 45° : - j : position théorique du CdG - r : CdG du carré transformé en trapèze - b : CdG du disque transformé en ellipse ax ay Ø=0.5 F=0.01 Zo=1 Courbes ErrX ellipse fonction de ay -60…60° T3DC.mws T3Do5d0.mws ax = 0° : b 15 : v 30 : j 45 : r Maxi pour ay=45 ax=0

46 Prétraitements des images - 46 STABILITE DU CdG D’UN DISQUE ( 2 ) TP_disc_o2. mws  Erreur de position du centre de gravité d’un disque Pour un disque de rayon R, situé en (Xo,Yo,Zo) et dans un plan non parallèle au capteur, angles d’Euler ax,ay,az le calcul au second ordre ( angles petits, validité qui s’étend jusqu’à ~ 10° ) fournit une estimation du déplacement du CdG par rapport à sa position théorique : Exemple, en conditions défavorables : R = 2 cm, F = 6 mm, pix = 5 μm, Zo = 1m Xo = -Yo = 0.5 m et ax = ay = 10°  ErrX = 0.1 pix et ErrY = -0.1 pix


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