PRETRAITEMENTS DES IMAGES

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1 PRETRAITEMENTS DES IMAGES
INTRODUCTION Dégradations des images Méthodologie de traitement RESTAURATION D’IMAGE Corrections photométriques Corrections géométriques MODIFICATION D’HISTOGRAMME Correction de dynamique Egalisation / ajustement d’histogrammes Transformation adaptative BINARISATION Critères statistique / structurel Exemples FIN DE PRESENTATION 1ère PARTIE

2 DEGRADATIONS DES IMAGES
INTRODUCTION DEGRADATIONS DES IMAGES Origines : Eclairage  non homogénéité spatiale, spectre Prise de vue  perturbations du milieu, bougés, vibrations, perspective Optique  défocalisations, aberrations chromatiques, distorsions Capteur  non homogénéité spatiale, non linéarité de réponse, bruits Electronique  bande passante, discrétisation, bruits Effets : Défauts de luminance / chrominance : Défauts géométriques du maillage : Flou, perte de netteté, de contraste : Bruits de modèles complexes : Traitements spécifiques sans référence au contenu de l’image : prétraitements

3 METHODOLOGIE DE TRAITEMENT
INTRODUCTION ( 2 ) METHODOLOGIE DE TRAITEMENT Dégradations Prétraitements Image Observation visuelle : critères subjectifs Segmentation Extraction de formes ( primitives ) Traitement des primitives Extraction de paramètres, mesures Analyse Localisation, identification, classification

4 TYPES DE PRETRAITEMENTS
INTRODUCTION ( 3 ) TYPES DE PRETRAITEMENTS Modèle inconnu : limitation des défauts Restauration Modèle Amélioration subjective Observation visuelle Amélioration objective Segmentation Image Binarisation Restauration : inversion du processus de dégradation, exige un modèle de dégradation ( corrections photométriques / géométriques ) Améliorations : modifications d’histogrammes  méthodes pixel à pixel subjectives ou objectives renforcement du contraste  méthodes locales subjectives lissage des bruits  méthodes locales subjectives et objectives Binarisation : transformation en image bi-niveaux  pixel à pixel ( segmentation = morphologie )

5 CORRECTIONS PHOTOMETRIQUES : EXEMPLES
RESTAURATION D’IMAGE CORRECTIONS PHOTOMETRIQUES : EXEMPLES Correction de capteur ( gain, non linéarité, etc. )  étalonnage expérimental No niveau de gris N = f ( E ) No ( pixels bruts ) L U T Nc = LUT (No): pixels corrigés Energie E = k.f –1 ( No ) Courbe d’étalonnage Correction de signal : correction gamma  modèle explicite S vidéo = E   Nc = ( ( No / 255 ) 1/  ).255  LUT normalisation No dans [ 0…1 ] puis Nc dans [ 0…255 ] NB :  = 0.45 pour la vidéo noir et blanc

6 RESTAURATION D’IMAGE ( 2 )
Correction d’éclairement : scène et source fixes, variation de l’éclairement  modèle physique En tout point Lo(x,y) = (x,y).Eo(x,y) si E = Eo + DE  L = .E = .Eo + .DE.Eo/Eo L = Lo + DE/Eo.Lo = (1+k).Lo ( multiplication par cste ) Pour progiciels standards, changement d’éclairement : L = Lo + cste  faux ! Correction d’uniformité d’éclairement  image de référence Image d’origine : I1 objet sur fond clair Image de référence : Io (fond) Image I1 – Io + max(Io)

7 RESTAURATION D’IMAGE ( 3 )
Fond clair théoriquement constant : image de référence fond sans objet Io avec un éclairement constant devrait être max(Io) Correction additive : Id = I1 – Io + max(Io) Correction multiplicative : max(Io) = K . Io  Im = I1.K = I1.max(Io) / Io La correction additive fournit le contraste objet / fond mais avec un éclairement non homogène de l’objet, la correction multiplicative prend en compte le modèle physique réel de correction d’éclairement. Image d’origine : I1 Correction additive : Id Correction multiplicative : Im

8 RESTAURATION D’IMAGE ( 4 )
Correction d’uniformité d’éclairement  construction de la référence Algorithme Pour chaque ligne de l’image Im calcul du minimum de la ligne : Min ligne de l’image du fond = Min Image corrigée = Im – Fond + moyenne du fond ( conserve niveau moyen du fond ) Code Matlab : Min=( min(Im‘ ) )‘ ; Fond=repmat( Min,1,size(Im,2) ) ; Icor =Im - Fond+mean(Min) ; Image d’origine et profil colonne Image corrigée et profil colonne

9 RESTAURATION D’IMAGE ( 5 )
CORRECTIONS GEOMETRIQUES : TRANSFORMATIONS PLANES Les différentes transformations géométriques planes en coordonnées homogènes : L C Changement d’échelle ( zoom ) C  Rotation centrée en 0 Combinaison des transformations directes ou inverses  globalement : forme affine 6 paramètres réels L C L Translation

10 RESTAURATION D’IMAGE ( 6 )
CHANGEMENT D’ECHELLE Exemple de zoom : détail d’une image binaire avec kl = kc = K = 1.7 Image initiale { PI } Zoom { PZ } Transformation directe : PI( L,C )  PZ( round(K.L),round(K.C) ) certains pixels ne sont pas affectés Transformation inverse : PZ( L,C )  PI( round(L/K),round(C/K) ) plus proche voisin dans { PI }

11 RESTAURATION D’IMAGE ( 7 )
Transformation directe : PI( L,C )  PZ( round(K.L),round(K.C) ) Transformation inverse : PZ( L,C )  PI( round(L/K),round(C/K) ) Calculs en réels puis arrondi pour donner des coordonnées entières  la transformation directe ne permet pas de calculer tous les points, ce qui laisse des pixels à une valeur arbitraire ( ici 0, pixels noirs ). La transformation inverse, par principe, affecte tous les points  utilisation systématique de T -1. Mise en évidence  rotation d’une image ( ici constante ) autour de son centre : La marge noire résulte d’une absence de pixels correspondants dans l’image initiale Pixels noirs non affectés Transformations directe et inverse

12 RESTAURATION D’IMAGE ( 8 )
ZOOM AVEC INTERPOLATION T.inverse avec interpolation bi-linéaire : PZ( L,C )  interpolé ( PI( L/K, C/K ) ) = Pl( L+dl,C+dc ) en fonction des 4 voisins T.inverse avec interpolation bi-cubique : Pl( L+dl,C+dc ) en fonction de 16 voisins Voir détails des calculs P(L,C) 0  dl < 1, 0  dc < 1 P(L+dl,C+dc) = [ P(L,C).(1-dc)+P(L,C+1).dc ] . (1-dl) ligne L + [ P(L+1,C).(1-dc)+P(L+1,C+1).dc ] . dl ligne L+1 Interpolation linéaire sur : ligne L ligne L+1 colonne entre les 2 valeurs ci-dessus P(L,C+1) P(L+1,C) P(L+1,C+1)

13 RESTAURATION D’IMAGE ( 9 )
Interpolation bi-linéaire Interpolation bi-cubique L’interpolation bi-cubique produit une sensation de meilleur contraste  différence de niveau  Lignes centrale des images sur quelques colonnes : sans interpolation  niveaux conservés bi-linéaire  niveaux intermédiaires, léger flou bi-cubique  dépassement des niveaux ( prévoir butées )

14 RESTAURATION D’IMAGE ( 10 )
REDUCTION CONSERVATIVE D’IMAGE Réduction d’image : facteur d’échelle K < 1  des pixels sont supprimés, l’information pertinente peut être éliminée dans le cas d’images de documents comportant textes ou graphismes blanc / noir ou noir / blanc Réduction K = 0.7 A la place de l’interpolation entre les 4 voisins : maximum des 4 voisins ( conservation du blanc) minimum des 4 voisins ( conservation du noir )

15 RESTAURATION D’IMAGE ( 11 )
GENERALISATION : TRANSFORMATION AFFINE Combinaison de transformations géométriques  forme affine, 6 paramètres Homologues de 3 points fixées : 3 x 2 équations, résolution du système  t ij ( si plus de points : système sur-déterminé ) Pt * T – Pi = 0 Système linéaire, solution si au moins : 3 points connus dans image initiale, 3 homologues fixés dans image transformée. Pt T Pi 2 - calcul des dimensions image transformée 3 - pour tous points image transformée : Pt( L’, C’ ) calcul de interpolé de ( Pi( L, C ) )

16 RESTAURATION D’IMAGE ( 12 )
Exemple, recadrage d’un texte  choix des points de référence Choix d’extrémités de caractères, a priori pour image correcte : P1 et P2 sur même colonne P2 et P3 sur même ligne d‘où Pi et Pt P1 P2 Code Matlab : Pi=[ [22 21] ; [113 28] ; [109 87] ] ; Pt=[ [ ] ; [ ] ; [ ] ] ; T=Pt \ P i; P3

17 RESTAURATION D’IMAGE ( 13 )
Puis application de la transformation avec interpolation bi-linéaire Redressement du texte ( rotation + translation ) et zoom

18 RESTAURATION D’IMAGE ( 14 )
CAS D’UNE TRANSFORMATION PROJECTIVE ( NON PLANE ) 2 prises de vues avec mouvement du capteur X=|x y z|t Voir notations dans « Formation des images » TP3x3 U = k.TP.X  X = TP-1.1/k.U k scalaire U1 = k1.TP.(R.X+T) = k1.TP.(R.TP-1.1/k.U+T) k1 scalaire  U1 = fonction ( U ) ? U=|u v 1|t TP3x3 U1 O T3D O1 T-PlanPlan.mws Le développement des calculs montre que les scalaires disparaissent de U1 = f(U) si le terme de translation de T3D est faible par rapport à la distance OX (z), ainsi pour |tx ty tz|=0, on obtient alors une relation homographique. Sous forme matricielle, si des points communs aux 2 vues sont connus, coordonnées U et U1 : 9 inconnues, 2 relations par point commun  5 points communs

19 RESTAURATION D’IMAGE ( 15 )
Application, recalage de 2 prises de vues avec rotation 3D du capteur ( mosaïque d’images ) 5 pixels o 5 pixels o En pratique, les points devraient être mieux répartis dans les 2 images, pour une meilleure estimation de H.

20 RESTAURATION D’IMAGE ( 16 )
CORRECTION DES DISTORSIONS On a modélisé [ voir Modèle de caméra – distorsions ] les défauts géométriques : Erreurs de positionnement de la caméra, termes petits, donc au premier ordre ; Distorsions géométriques de l’optique ; Déplacement du plan de prise de vue ( rotation axe z, translations selon x et y ) ;  termes d’erreur sur les coordonnées = polynômes de degré 3 : Valeurs idéales ui,vi valeurs réelles ur,vr : ur = ui + err( ui,vi )  l = l’ + Pl 3( l’,c’ ) vr = vi + err( ui,vi )  c = c’ + Pc 3( l’,c’ ) Mod_Cam_2 . mws On peut donc reformuler le système précédent pour déterminer T -1 : Pt * T Pi = 0 2 x 10 paramètres réels  le calcul nécessite au moins 10 couples de points Pi(l,c), Pt(l’,c’)

21 RESTAURATION D’IMAGE ( 17 )
Exemple de correction sur une mire, avec interpolation bi-linéaire Distorsions en barillet Motif rectangulaire restauré Les points de référence sont les centres de gravité ( CdG ) des 9 x 15 carrés Les carrés sont uniformément répartis  coordonnées idéales selon un motif rectangulaire En pratique, préférabler des disques : meilleure stabilité de position du CdG

22 RESTAURATION D’IMAGE ( 18 )
Références groupées au centre ( 17 CdG rouges )  la périphérie est mal corrigée Avec déplacement dans le plan

23 RESTAURATION D’IMAGE ( 19 )
Références situées en périphérie ( 16 CdG bleus )  l’image est globalement bien corrigée Avec déplacement dans le plan La correction n’est effective qu’à l’intérieur du motif de référence

24 MODIFICATION D’HISTOGRAMME
CORRECTIONS DE DYNAMIQUE Éviter les saturations ( non linéarités irrécupérables ) : réduction du temps d’intégration réduction de l’ouverture d’objectif Modification de l’éclairement de la scène Dynamique de l’image non optimale Ajustement linéaire de la dynamique : Gt = 255.( Go – Gmin) / (Gmax – Gmin) Go Gt 255 LUT Code Matlab : LUT=[0:255] ; LUT=255*(LUT-Gmin) / (Gmax-Gmin) ; LUT=min( max( LUT,0 ),255 ); Icor = LUT( Im+1 );

25 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 2 )
Correction non linéaire de dynamique : compensation de sur- ou sous-exposition : Existence de zones claires ou sombres dans l’image et besoin d’amélioration de la visibilité des détails dans ces zones : transformation augmentant la plage de variation des niveaux de gris de ces zones cette transformation s’effectue au détriment des plages complémentaires Programmation de la LUT de correction : Code Matlab : Si N < 1  amélioration zones sombres ( sous-exposées ) Si N > 1  amélioration des zones claires ( sur-exposées ) LUT=[0:255] ; LUT=255*(LUT / 255) .^ N ; Gt = LUT ( Go ) NB : correction gamma …

26 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 3 )
EGALISATION D’HISTOGRAMME Idée : transformer un histogramme quelconque en histogramme uniforme Équivalence des notions pour les domaines continu et discret : densité de probabilité f(x)  histogramme normalisé H(n)/Ne ( Ne = nbre échantillons ) fonction de répartition F(x)  histogramme normalisé cumulé HC(n) Transformation y = T(x) pour l’égalisation d’histogramme : répartition initiale donnée : f(x) donc F(x) connues répartition cible de y sur [0…255] avec f(y) uniforme  f(y) = 1/255 T(x) respectant les relations d’ordre sur x ( monotone, croissante) propriété des probabilités : f(y) = f(T –1 (y) ) / ( dT(x) / dx )  dT(x)/dx = 255.f(x)  T(x) = 255.F(x) soit dans le domaine discret : T(Go) = 255/NbrePixels . HC (Go) Propriétes : utilise toute la dynamique  ajustement implicite de dynamique regroupe les classes de niveaux de gris proches  élimine les niveaux intermédiaires  amélioration visuelle du contraste problème : transformation exacte dans le domaine continu, mais approchée en discret ( voir exemple, prochaine diapositive )

27 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 4 )
Ajustement de dynamique et égalisation d’histogramme : Ajustement de dynamique Égalisation d’histogramme Code Matlab : Hi=imhist( uint8(Im) ); [Nl,Nc]=size(Im) ; for G=255:-1:2, HCi(G)=sum( Hi(1:G) ); end LUT=255*Hci / (Nl*Nc) ; Ieh=uint8( LUT(Im+1) ); NB : histogramme non uniforme Gt = LUT ( Go )

28 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 5 )
TRANSFORMATION ADAPTATIVE Toutes les transformations précédentes sont globales ( sur l’ensemble de l’image ) Si la luminance n’est pas uniforme  adaptation de transformation au contexte local Exemple : subdivision en 4 zones, calcul de la transformation pour chaque zone Zi Z2 Z3 Z1 Z0 C L Zi : dimensions Nl/2 x Nc/2 centre (Li,Ci) et transformation locale Ti Pour pixel P(l,c)  interpolation bilinéaire des transformations : pondération des Ti par les distances P  (Li,Ci) Code Matlab : Lo=round(Nl/4); TL=round(Nl/2); Co=round(Nc/4); TC=round(Nc/2); for L=1:Nl, Kv=max( min( (L-Lo)/TL,1 ),0 ) ; for C=1:Nc, G=Im(L,C) ; Kh=max( min( (C-Co)/TC,1 ),0 ) ; Gt01=LUT0(G)*(1-Kh)+LUT1(G)*Kh; Gt23=LUT2(G)*(1-Kh)+LUT3(G)*Kh; Iad(L,C)=Gt01*(1-Kv)+Gt23*Kv; end NB : Kh et Kv [0…1] respectivement pondérations horizontale et verticale

29 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 5 )
TRANSFORMATION ADAPTATIVE Image initiale Ajustement global de dynamique Ajustement adaptatif 4 zones Noter que les relations d’ordre sur les niveaux de gris ne sont plus respectées

30 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 6 )
AJUSTEMENT DE 2 HISTOGRAMMES Eclairages différents d’une même scène  histogrammes différents Modification d’un histogramme pour l’ajuster à l’autre  images comparables Algorithme : Calculer les histogrammes cumulés de référence HCref et cible HCcible ( à modifier ) Pour G dans [0…255] calculer Go tel que : | HCref (Go) – HCcible (G) | = 0 par interpolation linéaire LUT (G) = Go Code Matlab : for G=256:-1:2, Href(G)=sum( Href(1:G) ); Hcible(G)=sum( Hcible(1:G) ); end Href=[-1.0e+38;Href;1.0e+38] ; % butees pour calcul for G=1:256, Tst=Href-Hcible(G); Neg=find(Tst < 0); Gn=Neg(end); % dernier < 0 Pos=find(Tst > 0); Gp=Pos(1); % premier > 0 Lut(G)=( Tst(Gp)*Gn-Tst(Gn)*Gp ) / ( Tst(Gp)-Tst(Gn) ) ; Lut=round( Lut )-2;

31 MODIFICATION D’HISTOGRAMME ( 7 )
3 images couleur avec des lumières présentant une composante spectrale Référence Lumière blanche Ajustement des 3 histogrammes R V B sur la référence

32 BINARISATION PRINCIPE
Transformation pixel à pixel ( par LUT ) transformant une image multi-niveaux en une image 2 classes, notées C0 et C1 : image binaire Cas particulier de modification d’histogramme : 2 modes  2 classes H(Go) Gt Problème : choix du seuil ? Base de choix  histogramme Cas idéal : histogramme bimodal le seuil est tel que H(S) = 0 entre les deux modes 1 Seuil Go Go Détermination du seuil :  empiriquement critère statistique : critère bayesien ou minimisation de la variance intra-classe critère structurel : critère de forme  seuil global ou adaptatif selon critère local optimal

33 BINARISATION ( 2 ) CRITERE BAYESIEN
Recherche du seuil optimal So tel que : où Pei = probabilité d’erreur de classification pour la classe i , et PCi probabilité de la classe Ci sous hypothèse de distributions gaussiennes de même variance  2 : Prob So C0 C1 Gris Pe0.PC0 Pe1.PC1 Suppose connus  PC 0 et PC 1  0 et  1 obtenus itérativement

34 VARIANCE INTRA-CLASSE MINIMALE
BINARISATION ( 3 ) VARIANCE INTRA-CLASSE MINIMALE VIC=zeros( size(Seuil) ) ; for I=1:length(Seuil) , S=Seuil(I) ; N0=sum(Hi(1:S)) ; SG0=sum( Hi(1:S).*[0:S-1]‘ ) ; N1=sum(Hi(S+2:end)) ; SG1=sum( Hi(S+2:end).*[S+1:255]‘ ) ; VIC(I)=SG0^2/N0+SG1^2/N1 ; end [Vmax,Imax]=max( VIC ) ; VIC=VIC/Vmax ; Détermination de So séparant C 0 et C 1 : Pour seuil S dans la plage de test : calcul du critère selon histogramme Hi Minimum du critère  seuil optimal So Code Matlab :

35 BINARISATION ( 4 ) Histogramme N0.0 2 + N1.1 2 max pour 220
Exemple : images binarisées pour Seuil = 170, 220, 230

36 CRITERE DE FORME : COMPACITE
BINARISATION ( 5 ) CRITERE DE FORME : COMPACITE Critère basé sur la régularité des formes des objets et la stabilité de leurs contours ce critère s’applique sur l’image binaire, donc après seuillage Compacité C = 4. Surface / Périmètre 2 Discrimination des formes : disque C = 1, carré C = 4 / 16, rectangle 1 x 0.1 C  4 / 50 Indice de fractionnement : 1 forme C = cf  N formes identiques même surface totale C = cf / N Indice de points isolés : 1 point isolé à 0 dans une forme  P = P+4, S = S-1  C  1 point isolé à 1 dans le fond  P = P+4, S = S+1  C  ( moins ) Méthode : Pour toutes les valeurs du seuil dans la plage à tester : binarisation surface = nbre de pixels à 1, périmètre = nbre de points des contours calcul de la compacité à 4 près Compacité maximale  Seuil optimal

37 COMPACITE : MODE DE CALCUL
BINARISATION ( 6 ) COMPACITE : MODE DE CALCUL Calcul de la surface immédiat, S = nbre de pixels à l’état 1 Calcul du périmètre, P = nbre de pixels du contour, plusieurs choix possibles : - 2 contours discrets à combiner : intérieur Pint et extérieur Pext d’où - et de plus 2 définitions de connexité : 4-connexité ou 8-connexité Les valeurs extrêmes des seuils n’ont aucune signification : - seuil très faible, image à 1 sauf quelques pixels isolés à 0 - seuil élevé, image à 0 sauf quelques pixels isolés à 1  il n’y a plus de notion d’objet et de fond, un critère de forme n’a plus de sens C1 = 4.. S / (Pint*Pext) C2 = 16.. S / (Pint+Pext) 2 NB : la compacité n’a d’intérêt que si la forme est régulière et modifiée par le choix du seuil !

38 COMPACITE : DISCRETISATION
BINARISATION ( 7 ) COMPACITE : DISCRETISATION Calcul de la surface sans ambiguité, S = nbre de pixels à l’état 1 Calcul du périmètre, P = nbre de pixels du contour, dépend de la connexité utilisée 4-C ou 8-C : P = ( Pint + Pext ) / 2 Exemple, 1 point isolé : S = 1, Pint =1 Pext 4-C = 4 Pext 8-C = 8 4-C 8-C  Compacité 8-C = 16. / ( 9 2 ) = 0.62  Compacité 4-C = 16. / ( 5 2 ) = 2  compacité > 1, conséquence de la discrétisation la valeur limite de 1 pour la compacité (disque) n’est valable que pour un espace continu

39 BINARISATION ( 8 ) Histogramme Compacité max 0.034 pour 82
Exemple : images binarisées pour Seuil = 70, 82, 95

40 CODAGE DIT « HALF TONING »
BINARISATION ( 9 ) CODAGE DIT « HALF TONING » Objectif : rendu visuel d’une image en niveaux de gris sous forme binaire principe en 1D, signal G(i) de dynamique [0,Gm] et seuil S = Gm/2, algorithme : si G(i) ≥ S  Err = G(i)-Gm; B(i) = 1; Err est l’erreur due au codage G(i) ~Gm sinon  Err = G(i); B(i) = 0; G(i+1) = G(i+1) + Err; l’erreur est reportée sur le point suivant résultat : si G = S  B = … alternance noir / blanc si G > S  la densité de points blancs augmente avec G si G < S  inversement la densité de points noirs augmente En 2D, diffusion de l’erreur, répartie pondérée vers les points voisins ( Floyd-Steinberg ) - balayage de l’image, en chaque pixel P(i,j) : test / binarisation / calcul de l’erreur - diffusion de l’erreur sur les suivants : P(i,j) → Err P(i,j+1) + 7/16.Err P(i+1,j-1) + 3/16.Err P(i+1,j) + 5/16.Err P(i+1,j+1) + 1/16.Err

41 BINARISATION ( 10 ) Exemple  répartition pseudo-aléatoire de points noirs / blancs : la densité des points donne un rendu multi-niveaux de gris Half-toning Binarisation Img > 127

42 FIN DE PRESENTATION RETOUR AU PLAN FIN DE PRESENTATION

43 INTERPOLATION BI-CUBIQUE
Interpolation cubique  interpolation 1D par polynôme de degré 3 sur 4 points connus P(L,C-1), P(L,C), P(L,C+1), P(L,C+2) Sur la ligne L, et avec une référence arbitraire C = 0, calcul de P(dc) : Icubic . mws avec x = dc, 0 < dc < 1 donné Ck fonctions de x et des coefficients

44 INTERPOLATION BI-CUBIQUE ( 2 )
Soit en 2D une zone de 4 lignes x 4 colonnes par point - 4 interpolations 1D horizontales sur 4 lignes - 1 interpolation 1D verticale sur les 4 résultats Interpolation bi-cubique  autre méthode d’interpolation 1D par polynôme de degré 3 avec 2 points : P(L,C), P(L,C+1) et 2 dérivées : P’ (L,C), P’ (L,C+1) par exemple Icubic . mws d’où encore 4 points concernés

45 STABILITE DU CdG D’UN DISQUE
La position du centre de gravité d’une forme n’est pas un invariant projectif La déformation projective d’un disque est plus faible que celle d’un motif rectangulaire ( carré ) exemple d’une transformation projective disque et carré englobant pour ax = 0, ay = 45° : Ø=0.5 ax - j : position théorique du CdG - r : CdG du carré transformé en trapèze - b : CdG du disque transformé en ellipse Zo=1 ay F=0.01 Courbes ErrX ellipse fonction de ay -60…60° ax = 0° : b 15 : v 30 : j 45 : r Maxi pour ay=45 ax=0 T3DC.mws T3Do5d0.mws

46 STABILITE DU CdG D’UN DISQUE ( 2 )
Erreur de position du centre de gravité d’un disque Pour un disque de rayon R, situé en (Xo,Yo,Zo) et dans un plan non parallèle au capteur, angles d’Euler ax,ay,az le calcul au second ordre ( angles petits, validité qui s’étend jusqu’à ~ 10° ) fournit une estimation du déplacement du CdG par rapport à sa position théorique : Exemple, en conditions défavorables : R = 2 cm, F = 6 mm, pix = 5 μm, Zo = 1m Xo = -Yo = 0.5 m et ax = ay = 10°  ErrX = 0.1 pix et ErrY = -0.1 pix TP_disc_o2 . mws