Cours de Fiabilité des Systèmes Industriels Niveau 4: Génie des Procédés Par: FOKAM SOUOP Rigobert Année Académique :

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1 Cours de Fiabilité des Systèmes Industriels Niveau 4: Génie des Procédés Par: FOKAM SOUOP Rigobert rfokam@univ-catho-sjd.com Année Académique : 2017-2018 Institut Universitaire Catholique Saint Jérôme de Douala (IUCSJD) Saint Jérôme Polytechnique (SJP) 1

2 Ce cours va permettre de: Découvrir les concepts de base liés à la fiabilité en ingénierie. Acquérir les bases mathématiques pour comprendre comment analyser, quantifier et prédire la fiabilité d'une fonction, d'un système ou d'un produit à l'aide de lois utilisées en fiabilité et notamment définir le nombre d'échantillons pour démontrer un niveau de fiabilité. Passer en revue les techniques et les méthodologies à appliquer tout au long du cycle de vie du produit pour garantir la fiabilité d'un produit (DFR: Design For Reliability), car la fiabilité est largement déterminée lors du design. Objectifs du Cours

3 Sommaire Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise Chapitre 2: Analyse de la fiabilité par les méthodes qualitatives Chapitre 3: Estimation de la fiabilité par les lois de probabilités Chapitre 4: Estimation de la fiabilité par approches Markoviennes 3

4 Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation de l’entreprise Introduction Définition et Terminologies associés Fiabilité et Life Cycle Management Typologie de la fiabilité Quelques méthodes utilisés en Fiabilité Conclusion 4

5 Les évolutions technologiques de ces dernières années imposent des cycles de développement des nouveaux produits toujours plus courts. Dans ces conditions, il s'avère complexe de garantir la fiabilité d'un produit qui représente pourtant un avantage compétitif crucial sur le long terme. En effet, en plus de réduire les coûts de garantie, la fiabilité renforce l'image de marque d'une entreprise et instaure un lien de confiance avec le client. La fiabilité est devenue un élément essentiel pour les enjeux de sécurité et de performances des entreprises. La fiabilité est multiforme, fonction des différentes phases du cycle de vie d’un bien. Contexte Industriel de la fiabilité Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise Introduction 1/3 5

6 De nombreuses difficultés se posent aux industriels qui veulent estimer la fiabilité d’un composant :  la nature du composant (actif ou passif),  la taille du retour d’expérience et sa nécessaire validation avant tout usage,  l’effet perturbateur de la maintenance préventive qui vise à réduire la probabilité de défaillance. Il existe quelques méthodes actuellement utilisées dans l’industrie pour estimer une fiabilité opérationnelle ou une fiabilité prévue, en mettant en évidence la controverse existant entre méthodes dites fréquentielles et celles bayésiennes. En conclusion, l’estimation d’une fiabilité permet à la fois de comprendre le passé et de préparer le futur. Le fiabiliste se doit d’être pragmatique et de toujours juger et mesurer ses résultats à l’aune du bon sens physique. Problèmes liés à l’estimation de la fiabilité Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise Introduction 2/3 6

7 [Définitions extraites de la norme EN13306 (2001)] – Fiabilité: aptitude d’un bien à accomplir une fonction requise, dans des conditions données, durant un intervalle de temps donné – notion qualitative, également utilisée pour désigner la valeur de la probabilité d’être en état de bon fonctionnement, confiance technique – Durabilité: aptitude d’un bien à accomplir une fonction requise, dans des conditions données d’usage et de maintenance, jusqu’à qu’un état limite soit atteint – sous- entend l’existence d’une limite, réglementaire, technico-économique, maintenabilité... Définition de la fiabilité et des terminologies associées (1/2) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 7

8 – Défaillance: cessation ou l’altération de l'aptitude d'un bien à accomplir sa fonction requise perte de fonction, “tout ou rien”, vieillissement fiabiliste – Dégradation: évolution irréversible d'une ou plusieurs caractéristiques d'un bien liée au temps, à la durée d'utilisation ou à une cause externe – altération de fonction, phénomène continu, vieillissement physique Défaillances catalectiques: soudaines et complètes (rupture d ’une pièce mécanique, court-circuit, …) Difficile d ’observer la dégradation et donc de mettre en œuvre une politique de maintenance conditionnelle Défaillances par dérive: on voit progresser la dégradation (usure mécanique, augmentation de frottements, augmentation de la valeur d ’une résistance, …). Elles se prêtent bien à la maintenance prédictive conditionnelle. Définition de la fiabilité et des terminologies associées (2/2) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 8

9 Fiabilité et Life Cycle Management (1/6) Durée de vie d’un produit industriels 9

10 Fiabilité et durée de vie d ’un équipement dans la phase d’exploitation La courbe en baignoire: le comportement du taux de défaillance (t) d ’un équipement le long de sa vie est composé de trois parties: période de jeunesse: défaillances précoces (déverminage, rodage), (t) décroît, période de vie utile: défaillances aléatoires, (t) est presque constant, période de vieillesse ou d ’usure: (t) est croissant jusqu' à l ’obsolescence t (t) vie utile jeunesse vieillesse courbe en baignoire Fiabilité et Life Cycle Management (2/6) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 10

11 Le contexte de la conception Innovation Coût de production bas Délai court de développement Qualité totale Zéro défaut Fiabilité et Life Cycle Management (3/6) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise Objectif en conception: atteindre les exigences de fiabilité (allouée) Elimination des points faibles Aide à la décision pour les choix technologiques Démonstration de l’exigence de fiabilité Qualité 11

12 Le contexte en exploitation Sûreté et performances, compétitivité Prolongation de la durée d’exploitation Coût d’exploitation-maintenance faible Risque zéro Objectif en exploitation: maintenir et améliorer les exigences de SdF Vérification des clauses de fiabilité Calcul de la fiabilité opérationnelle Données EPS OMF, efficacité de la maintenance Surveillance des paramètres de SdF Estimation de la durabilité Valorisation technico - économique Fiabilité et Life Cycle Management (4/6) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 12

13 Exemple 1: la démarche OMF – RCM- les données de fiabilité nécessaires Tâche 1 - Hiérarchiser les composants par leur contribution à la sûreté, à la disponibilité et aux coûts. Taux d'occurrence de chaque mode - Criticité. Tâche 2 - Identifier le mécanisme de dégradation. Retour d'expérience - Historique de maintenance. Tâche 3 - Elaborer les tâches de maintenance. Optimisation - Efficacité des tâches de maintenance préventive. Tâche 4 - Surveiller (voir les recueils de données) Calcul des paramètres de fiabilité et de leurs incertitudes. Fiabilité et Life Cycle Management (5/6) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 13

14 La méthode OMF appliquée aux composants passifs Analyse fonctionnelle du système Recherche des Composants et Modes De Défaillance Significatifs (Utilisation des EPS, AMDE) Recherche des Composants et Modes de Défaillance Critiques (AMDEC) Évaluation des indicateurs de fiabilité (Modèles de fiabilité et avis d’experts) Analyse évènementielle et économique du retour d’expérience Analyse de la pertinence (modèles de dégradation) Analyse et sélection des tâches de maintenance (tâches, périodicités, sous-ensemble de composants) Choix final de maintenance et groupement des tâches Optimisation de la maintenance Évaluation des enjeuxÉvaluation des performances Fiabilité et Life Cycle Management (6/6) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 14

15 La fiabilité est multiforme. – “comparée” – allouée – prévue (ou prévisionnelle) – mesurée CONCEPTION - RÉALISATIONUTILISATION qualité des études solutions retenues FIABILITÉ DE CONCEPTION qualité des composants tests de réception FIABILITÉ DES COMPOSANTS qualité des méthodes montage FIABILITÉ DE FABRICATION FIABILITÉ OPÉRATIONNELLE (sur le terrain) FIABILITÉ DE CONDUITE défaillances interventions FIABILITÉ D'ENTRETIEN FIABILITÉ D'EXPLOITATION FIABILITÉ PRÉVISIONNELLE Typologies de la Fiabilité (1/7) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 15

16 La fiabilité Comparée C’est une fiabilité opérationnelle. – Phases du cycle de vie: avant-projet, études préliminaires – Données utilisées:  Retour d’expérience du bien de la génération précédente  Recueils de données de fiabilité  Données de fournisseur ou de constructeur  Données d’essai  Résultats de modèles physiques déterministes  Dires d’experts  Veille technologique Typologies de la Fiabilité (2/7) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 16

17 La fiabilité allouée Exigence de fiabilité dans un Cahier des Charges, valeur seuil de référence. – Phase du cycle de vie: spécification – Méthode: résultat d’une décision fonction de la fiabilité “comparée” et des efforts d’amélioration; méthodes sur les facteurs d’importance et de pondération du retour d’expérience ou d’optimisation d’efforts (coûts, poids,...) – Données utilisées:  Données précédentes  Fiabilité “comparée”  Etudes de marketing  Arborescence fonctionnelle - matérielle Typologies de la Fiabilité (3/7) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 17

18 La fiabilité prévue (lors de la conception ) Elle est calculée et comparée à la fiabilité allouée (exigence de fiabilité). – Phases du cycle de vie: conception, fabrication, essais de développement – Données utilisées:  Données précédentes  Fiabilité allouée  Retour d’expérience analogue  Calculs déterministes  Données d’essais de développement  Opinions d’ experts Typologies de la Fiabilité (4/7) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 18

19 La fiabilité prévue (lors de l’exploitation) Elle est calculée et comparée à un seuil (par exemple: taux de défaillance critique EPS) – Phase du cycle de vie: exploitation, avec l’intention de la prolonger au delà de la durée de vie prévue à la conception – Données utilisées:  Retour d’expérience du bien exploité  Retour d’expérience analogue  Calculs physiques  Expertise sur les impacts dus au changement des conditions d’exploitation - maintenance – environnement Typologies de la Fiabilité (5/7) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 19

20 La fiabilité mesurée C’est une fiabilité opérationnelle. – Phase du cycle de vie: exploitation – Données utilisées:  Retour d’expérience du bien exploité  Expertise sur la maintenance et son efficacité Typologies de la Fiabilité (6/7) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise Les difficultés rencontrées – Le type de composant (réparable ou non réparable, actif ou passif) – Le retour d’expérience – L’effet “perturbateur” de la maintenance préventive – La méthode d’estimation 20

21 Le type de composant Actif –Composants complexes –Multiples mécanismes de dégradation et multiples modes de défaillance –Modélisation physique difficile –Fiabilité classique et fiabilité bayesienne généralement adaptées –Fiables et bien maintenus (ils font l'objet de programmes OMF, surveillance), défaillances donc peu nombreuses –Évolution fréquente des procédures d’exploitation-maintenance –Données incomplètes –Modélisation par une loi exponentielle ou une loi de Weibull Passif –Un faible nombre de mécanismes de dégradation –Dégradation lente et progressive –Défaillances rares (voire aucune défaillance) –Fiabilité classique souvent non adaptée –Modélisation physique de la dégradation : initiation, propagation –Méthodes numériques nécessaires –Mais si des données de défaillance sont disponibles, on peut utiliser l’approche bayésienne Typologies de la Fiabilité (7/7) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 21

22 Le retour d’expérience Maigre à la conception Incomplet en exploitation Le problème du zéro défaillance La nécessité de le valider avant toute utilisation, avant tout calcul: l’analyse physique précéde toujours la quantification fiabiliste. Généralement un faible nombre de défaillances Et une forte proportion de données censurées (souvent censurées à droite, tronquées type I dans le cas d’un retour d’expérience industriel) Typologies de la Fiabilité (8/7) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 22

23 Ce qu’on observe dans la pratique - Dans la plupart des cas, un comportement exponentiel -Qui reflète une bonne conception initiale et une bonne qualité du bien - Ou qui traduit l’impact positif de la maintenance préventive - Cependant la maintenance n’est peut-être pas optimisée Typologies de la Fiabilité (9/9) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 23

24 Les méthodes utilisées pour le calcul d’une fiabilité opérationnelle Khi 2: cette méthode est retenue dans le cas du zéro défaillance, s’il n’est pas possible d’enrichir un échantillon, sur la base de la médiane (approche acceptée par les autorités). Généralement les recueils de données de fiabilité sont actualisés périodiquement par la méthode de réactualisation bayesienne (appelée aussi approche bayesienne empirique; logiciels Fiabayes, Rexpert). Modèle de Cox: méthode utilisée pour une modélisation explicative de la fiabilité; elle nécessite un retour d’expérience important; les techniques de data mining, de régression (logistique,...), les réseaux bayesiens peuvent être également utilisés. Des outils fiabilistes adaptés aux composants passifs existent, par exemple : cuve, générateur de vapeur, coudes moulés, tuyauteries, … Ou également des outils adaptés à des mécanismes de dégradation, par exemple l’érosion- corrosion... Quelques méthodes Utilisés en Fiabilité (1/2) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 24

25 Quelques méthodes utilisées en fiabilité prévisionnelle -en phase de conception: AMDEC, méthode de Bazovsky, méthode de Johnson, pondération des informations, inférence bayesienne pour une modification - efficacité d’une action (IBM), Fides, … -en phase de fabrication, de développement: méthodes de croissance de fiabilité (Duane, AMSAA,...) - en phase d’exploitation: utilisation et extrapolation du retour d’expérience, méthodes déterminant l’ efficacité d’une action de maintenance Quelques méthodes Utilisés en Fiabilité (2/2) Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise 25

26 Plusieurs fiabilités: il faut donc bien spécifier le problème posé, le contexte, les hypothèses, les données disponibles Toujours s’appuyer sur les données réelles du retour d’expérience et les conditions de leur collecte Le retour d’expérience est donc stratégique mais il faut le valider avant tout usage. Toute donnée est précieuse. Recueillir et intégrer l’expertise disponible, même si elle est vague L’analyse qualitative précède toujours l’analyse quantitative, déterministe et probabiliste Le fiabiliste doit être pragmatique, le contexte détermine toujours l’approche, fréquentielle ou bayesienne, la mieux appropriée Quelle que soit l’approche, pratiquer l’analyse de sensibilité et ne pas perdre le bon sens physique Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise Conclusion (1/3) 26

27 La fiabilité pour comprendre le passé De nombreuses défaillances / dégradations ne peuvent être expliquées par les modèles déterministes. Compréhension du vieillissement, des mécanismes de dégradation, des modèles, du retour d’expérience,... La fiabilité permet de mettre en évidence les composants et sous- composants critiques, les variables importantes où il faut faire un effort de retour d’expérience pour réduire les incertitudes. Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise Conclusion (2/3) 27

28 La fiabilité pour anticiper et prévoir le futur Toujours améliorer le niveau de sûreté Augmenter les performances (pour répondre aux besoins du marché) Optimiser les stratégies d’exploitation – maintenance Besoins: – Estimations plus précises, compréhension des marges – Réduction des incertitudes et des pessimismes – Modélisation du vieillissement et analyse des dégradations, afin d’optimiser les évaluations technico - économiques Chapitre 1: Fiabilité et Optimisation global de l’entreprise Conclusion (2/3) 28

29 29 Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité Sommaire 1- Mise en Situation 2- La loi exponentielle 3- La loi normale 4- La loi de Weibull : Présentation (1/3) 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 6- Ajustement graphique de la loi de Weibull 7- Estimation de la Fiabilité par la méthode de l’actuariat 8- Méthodes d’amélioration de la fiabilité

30 30 Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité On distingue plusieurs méthodes d’analyse quantitatives des défaillances: APD Analyse Préeliminaire des Dangers, AMDE Analyse des Modes de Défaillances et de leurs Effets, MDS Méthode du Diagramme de Succès, MTV Méthode de la Table de Vérité, MAC Méthode de l’Arbre des Causes, MCPR Méthode des Combinaisons de Pannes Résumées, MACQ Méthode de l’Arbre des Conséquences, MDCC Méthode du Diagramme Causes-Conséquences, Analyse ABC ou analyse de Pereto Analyse de la cause racine Diagramme causes à effets ou ISHIKAWA

31 31 Soit T la variable aléatoire représentant la durée de vie d ’un matériel et F(t) sa fonction de répartition R(t), la fonction fiabilité est donnée par Par hypothèse d ’où Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 1- Mise en Situation (1/2)

32 32 Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 1- Mise en Situation (2/2)

33 33 Loi exponentielle (loi à un seul paramètre): une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre si sa densité de probabilité f(t) est donnée par d ’où Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 2- La loi exponentielle Exercice d’application Un matériel électronique a une durée de vie moyenne de 3200 heures. On a tout lieu de penser que sa fiabilité suit une loi exponentielle. 1. Déterminer sa fonction de fiabilité. 2. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore au bout de 2000 heures ? Au bout de 4000 heures ?

34 34 Loi normale (loi à deux paramètres): une variable aléatoire T suit une loi normale de paramètres T m et  si sa densité de probabilité f(t) est donnée par d ’où avec Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 3- La loi normale Exercice d’application: La Loi Log-Normale: C’est une autre loi de fiabilité pour décrire principalement des phénomènes de fatigue. Le calcul se fait en passant par la variable centrée réduite où « m » est la moyenne des ln(t) et σ l’écart type des ln(t). On utilise ensuite les tables de la loi normale en utilisant le paramètre « u ». La durée de vie des bielles d’une voiture sui une loi log-normale de paramètres m=5 et σ=1,4. Calculer la fiabilité pour T=300 heures et la MTBF. Les ressorts de compression d’amortisseurs suivent une loi log-normale de paramètres m=7 et σ=2. Au bout de combien de temps doit-on les changer si on veut garantir une fiabilité de 90% et quelle est la MTBF ?

35 35 Loi de Weibull (loi à trois paramètres): une variable aléatoire T suit une loi de Weibull de paramètres ,  et  si sa densité de probabilité f(t) est donnée par Fonction de répartition Fonction fiabilité Taux de défaillances Les paramètres A et B sont souvent tablés suivant les valeurs de  Fonction eulérienne de seconde espèce Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 4- La loi de Weibull : Présentation (1/3)

36 36 Loi de Weibull: sigification des paramètres Paramètre de forme  - si  < 1, (t) décroît: phase de jeunesse - si  = 1, (t) = = 1/  = constant: phase de maturité - si  > 1, (t) croît: phase de vieillesse Paramètre d ’échelle  Paramètre de position  -  = 0 si les défaillances peuvent débuter à l ’âge 0 -  > 0 si les défaillances ne peuvent se produire avant l ’âge  -  < 0 si les défaillances ont débuté avant l ’origine des temps Cette loi est très utilisée en maintenance du fait qu ’elle permet de modéliser les 3 phases de durée de vie d ’un matériel. Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 7- La loi de Weibull (1/2) Exercice d’application: On estime que la fiabilité d’un appareil non réparable suit une loi de Weibull. Dans ce problème t sera exprimé en milliers d’heures. Une étude révèle que : – 90% des appareils fonctionnent encore à 5000 heures, – 20% des appareils fonctionnent encore à 10000 heures. 1. Les données précédentes sont traduites par les égalités : R (5) = 0, 90 R (10) = 0, 20 Calculer β et η.

37 37 Comment obtenir la fonction taux de défaillance (ou l ’une des fonctions F(t), R(t), f(t)) ? Estimation à partir des observations Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations

38 38 zIl s ’agit d ’estimer zApproximation à partir des fréquences observées yHypothèse d ’un renouvellement à l ’identique yN dates de défaillances yFréquences cumulées: si alors en découpant l ’horizon en intervalles ou classes et en notant n i le nombre de défaillances sur alors yPour N < 50, on ordonne les temps de bon fonctionnement T i de manière décroissante xRangs moyens: si, la fonction de répartition à la date de T i est xRangs médians: si, la fonction de répartition à la date T i est Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 5-1 Approximation à partir des fréquences observés

39 39 Niveau de confiance de l ’approximation de la fonction de F(t) ou R(t) par la méthode des rangs médians: exemple Sous l ’hypothèse de renouvellement après défaillances, le relevé de 12 temps de bon fonctionnement d ’un dispositif donne: 24, 91.5, 69, 46.5, 17.25, 51, 131.25, 31.05, 17.25, 31.05, 41.2, 6.75 (unité = 100 h) Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations

40 40 Hypothèse: nombre N de dates de défaillances et de censure suffisant (N > 50). n i = nombre de défaillances sur l ’intervalle c i = cumul des temps de fonctionnement sur l ’intervalle Si on considère que le taux de défaillance est constant sur l ’intervalle alors et Construire le tableau Découper l ’horizon temporel en intervalles ou classes Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 5-2 Estimation par la méthode de l’actuariat

41 41 intervallecumul des temps de fonctionnement sur l ’intervalle estimation du taux i constant nombre de défaillances sur l ’intervalle estimation ponctuelle de H(t i ) estimation ponctuelle de F(t i ) Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 5-2 Estimation par la méthode de l’actuariat

42 42 Estimation de F(t) ou (t) par la méthode de l ’actuariat Exemple On considère les temps de défaillances et de censure de 17 éléments identiques (on choisit délibérément de ne pas respecter la règle N > 50 pour faciliter de calcul) répartis en classes d ’amplitude 1000 heures. On dispose des informations suivantes: - 12 éléments ont fonctionné au moins 2000 heures, - 5 défaillances ont été enregistrées avant 2000 heures de fonctionnement et le temps de bon fonctionnement correspondant sont: 200 h, 850 h, 1200 h, 1300 h, 1500 h. On voudrait déterminer la fiabilité d ’un élément pour un temps t compris entre 1000 h et 2000h par la méthode de l ’actuariat. Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 5-2 Estimation par la méthode de l’actuariat

43 43 Estimation de F(t) ou (t) par la méthode de l ’actuariat Exemple intervallecumul des temps de fonctionnement sur l ’intervalle estimation du taux i constant nombre de défaillances sur l ’intervalle estimation ponctuelle de H(t i ) estimation ponctuelle de F(t i ) 2 3 Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 5-2 Estimation par la méthode de l’actuariat

44 44 Estimation de F(t) ou (t) par la méthode de l ’actuariat: Exemple Pour et donc Exemple: pour t = 1500 h Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 5-2 Estimation par la méthode de l’actuariat

45 45 Hypothèse: on considère N éléments identiques non réparables en état de bon fonctionnement au temps t = 0 avec éventuellement des censures. N(t) = nombre d ’éléments en service à la date t. k(t) = nombre d ’éléments défaillants à l ’instant t. k(t)/N(t) = taux de hasard observé. Construire le tableau Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 5-3 Estimation de F(t) ou (t) par la méthode des taux de hasard cumulés

46 46 temps de fonctionnement jusqu ’à défaillance Taux de hasard observé nombre d ’éléments ayant atteint l ’âge t estimation de H(t i ) estimation de F(t i ) nombre de défaillances à la date t Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 5- Estimation de la Fiabilité à partir des Observations 5-3 Estimation de F(t) ou (t) par la méthode des taux de hasard cumulés

47 47 6- Ajustement graphique de la loi de Weibull Il s ’agit de déterminer les 3 paramètres ,  et  de la loi de Weibull par les données d ’observation. La détermination des paramètres ,  et  à partir des observations se fait graphiquement sur le papier de Weibull qui comprend 4 axes: - axe A: axe des temps sur lequel on reporte les temps t i de bon fonctionnement, - axe B: porte F(t) sur lequel on reporte les valeurs F(t i ) calculées par approximation (fréquences cumulées, rangs moyens, rangs médians), - axe a: correspond à ln(t), - axe b: correspond à ln(ln(1/(1-F(t)))) et permet de déterminer la valeur de . Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

48 48 a A t B F(t) ln(t) b  6- Ajustement graphique de la loi de Weibull Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

49 49 Procédure de détermination de ,  et  1) calculer F(t i ) par l ’approximation appropriée (fréquences cumulées, rangs moyens, rangs médians,..) en pourcentage, 2) placer les points (t i, F(t i )) sur le papier de Weibull, 2.1) si ces points forment (à peu près) une droite D 1 alors -  = 0 - l ’intersection de D 1 avec l ’axe A donne , - la parallèle D 2 à D 1 passant par l ’origine (A = 1, a = 0) coupe l ’axe b en  2.2) si ces points forment une courbe convexe ou concave alors   0 - translater tous les points (de proche en proche) d ’une même valeur  pour obtenir la droite D 1, ou - prendre 3 points sur la courbe équidistants sur l ’axe a ( ou sur l ’axe vertical passant par (A = 1, a = 0) ) d ’abscisses t 1, t 2 et t 3 et calculer  par et translater tous les points de la valeur précédente de  pour avoir la droite D 1 et procéder comme en 2.1). 6- Ajustement graphique de la loi de Weibull Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

50 50 Exemple 6- Ajustement graphique de la loi de Weibull Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

51 51 Exemple 6- Ajustement graphique de la loi de Weibull Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

52 52 Exercice d’application 1 On a relevé la durée de vie de 6 roulements par le nombre de cycles avant rupture : 4x10 5, 1,3 x10 5, 9,8 x10 5, 2,7 x10 5, 6,6 x10 5, 5,2 x10 5. On suppose que cette durée de vie suit une loi de Weibull. En utilisant les rangs médians, déterminer les paramètres de la loi Déterminer la MTBF et la fiabilité associée Les fabricants de roulements nomment L 10 la durée de vie nominale qui correspond à un seuil de fiabilité de 0,90 tel que 90% des roulements atteignent t=L 10. Déterminer graphiquement le TBF à L 10. Le comparer à la MTBF. Conclure. Ecrire et tracer les équations de R(t), F(t), f(t) et λ(t) 6- Ajustement graphique de la loi de Weibull Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité Exercice d’application 2 9 systèmes mécaniques identiques ont été étudiés. Les durées de vie en heures sont les suivantes : 5, 112, 202, 295, 370, 471, 601, 740, 905. Vérifier que la durée de vie suit une loi de Weibüll dont on déterminera les paramètres Donner la durée de vie moyenne d’un système Donner la probabilité que la durée de vie soit supérieure à 500 heures

53 53 zCalcul du taux de défaillance moyen yN 0 : nombre initial de dispositifs ou éléments, yN s (t) : nombre de survivants à l ’instant t,  N s (t+  t) : nombre de survivant à l ’instant t+  t,  C(  t) = N s (t) - N s (t+  t) : nombre de défaillances pendant  t. xCas 1: les éléments défaillants sont remplacés xCas 2: les éléments défaillants ne sont pas remplacés 7- Estimation de (t) par le nombre de survivants Hypothèse: nombre d ’éléments assez élevé Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

54 54 zCalcul du taux de défaillance instantané ys ’applique aux survivants à l ’instant t et caractérise leur probabilité conditionnelle de défaillance dans l ’intervalle (t, t+dt) you 7- Estimation de (t) par le nombre de survivants Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

55 55 7- Estimation de (t) par le nombre de survivants Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité Intervalle de tempsNombre de défaillants 0 – 100 100 – 200 200 – 300 300 – 400 400 – 500 12 10 5 4 7 Exercice d’application 1 Sur une série de 150 nouveaux capteurs mis en fonctionnement, on a relevé les TBF suivants : Déterminer le taux de défaillance empirique pour chaque intervalle de temps Machine N°__ TBFN° de panne 24 35 38 39 42 57 62 12345671234567 Exercice d’application 2 On donne l’historique d’une machine : Déterminer si cette loi de durée de vie suit une loi exponentielle ?

56 56 Pourquoi déterminer (t) ou F(t) ? zOptimisation des interventions systématiques zOptimisation de la gestion des rechanges par la connaissance des lois de consommation (qui coïncident avec les lois de défaillance) zGestion d ’équipement par l ’indicateur disponibilité en connaissant MTTR et MTBF d ’un équipement zConstitution de base de données zMise en place de la MBF (Maintenance Basée sur la Fiabilité) 7- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

57 57 zComment améliorer la fiabilité d ’un système ? yAméliorer la technologie des composants yorganiser la structure du système pour le rendre plus fiable: redondances z3 grandes catégories de redondances yredondances actives yredondances passives ou stand by yredondances majoritaires zRedondances actives 8- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

58 58 zRedondances actives yFiabilité à durée de mission fixée xHypothèses: défaillances indépendantes, fiabilité des composants ou sous-systèmes déterminés pour une durée de mission donnée, donc le facteur temps n ’intervient pas. xArchitecture en série: on dit qu ’un système est en série du point de vue de la fiabilité si le système tombe en panne dès qu ’un élément le composant tombe en panne. Remarque: l ’architecture série n ’améliore pas la fiabilité car la fiabilité du système est inférieure à la plus petite des fiabilités 8- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

59 59 zRedondances actives yFiabilité à durée de mission fixée xArchitecture parallèle: on dit qu ’un système est en série du point de vue de la fiabilité si pour que le système tombe en panne il faut que tous les éléments le composant tombent panne. 8- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

60 60 zRedondances passives yUn seul élément fonctionne à la fois; les autres sont en attente. yAvantage: pas de vieillissement des éléments ne fonctionnant pas yInconvénient: il faut un organe de détection et de commutation dont la fiabilité doit être prise en compte  Le calcul de la fiabilité se fait en tenant compte du temps ; pour cela il faut connaître la fonction taux de défaillance   ou la fonction fiabilité R i (t) pour chaque composant. C1C1 C2C2 CnCn... DC 8- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

61 61 zRedondances passives: calcul de la fiabilité du système  On montre que si tous les composants ont le même taux de défaillant constant alors 8- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

62 62 zRedondances majoritaires yLe signal de sortie est celui de la majorité des composants yD = organe de décision, R = fiabilité d ’un composant C1C1 C2C2 CnCn D... Si D parfait alors R D = 1. Exemple: n = 3, c = 2, R D = 1 8- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité

63 63 8- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité Exercice d’application 1: Un dispositif se compose de 4 composants connectés en série dont les fiabilités sont respectivement de 0,98 ; 0,97 ; 0,95 et 0,99. Déterminer la fiabilité de l’ensemble Exercice d’application 2 Un dispositif se compose de 4 composants connectés en // dont les fiabilités sont respectivement de 0,98 ; 0,97 ; 0,95 et 0,99. Déterminer la fiabilité de l’ensemble Exercice d’application 3 Le dispositif donné ci-contre a les fiabilités élémentaires suivantes pour 1000 heures : Ra=Rb=Rc=0,73 ; Rd=0,97 ;Re=0,88 ; Rf=0,92 ; Rg=0,88 Calculer la fiabilité et le taux de défaillance de l’ensemble. Exercice d’application 4: Un système de contrôle pour l’aéronautique doit fonctionner avec une grande fiabilité. On cherche à obtenir au moins 1000 heures de fonctionnement avec une probabilité 0, 99.

64 64 8- Méthodes d’amélioration de la Fiabilité Chapitre 2: Estimation de la Fiabilité par les Lois de Probabilité 1.Les éléments de contrôle utilisé suivent la loi exponentielle, Calculer λ sachant que la probabilité pour qu’un élément quelconque fonctionne encore à 500 heures est 0, 95. 2.Pour obtenir le résultat recherché : P (T ≥ 1000) = 0, 99, on est amené à grouper en parallèle des éléments du type définit ci-dessus, mais on doit leur adjoindre un commutateur, selon le shéma ci-dessous : Le rôle du commutateur est de mettre en service un élément de contrôle en état de marche, et un seul. (a) Le commutateur suit lui-même une loi de fiabilité exponentielle, telle qu’il fonctionne au moins 2000 heures avec la probabilité 0, 99. Déterminer son taux de défaillance λc. (b) En utilisant deux éléments de contrôle, la probabilité de fonctionnement de l’ensemble pendant au moins 1000 heures est-elle satisfaisante? (c) Calculer la probabilité pour que l’ensemble composé de 3 éléments A1, A2 et A3 en parallèle et du commutateur en série soit encore en état de marche à 1000 heures.

65 65 Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 1- Chaine de Markov à temps discret 2- Chaine de Markov à temps continu 1-1. Matrice de transition et comportement transitoire 1-3. Comportement asymptotique 1-2. Classification des états 2-1. Structure des Chaines régulières 2-3. Théorème de l’Ergodique 2-2. Matrice génératrice et classification des états Sommaire

66 66 1- Chaine de Markov à temps discret Chaîne de Markov = Processus stochastiques à nombre d ’état fini ou dénombrable; nous ne considérerons que le cas fini Permet en analyse de la fiabilité de prendre en compte des évoutions dynamiques telles que les reconfigurations ou les réparations que peuvent subir des systèmes Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne

67 67 Chaîne de Markov à temps discret: matrice de transition et comportement transitoire Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne

68 68 Exemple: vieillissement d ’une machine Une machine peut se trouver dans 4 états d ’usure différente. L ’état 1 correspond à une machine fonctionnant correctement ; l ’état 4 à une machine inutilisable ; les états 2 et 3 dénotent des stades de dégradation croissante. Les probabilités que la machine se retrouve dans l ’état j un certain matin sachant qu ’elle était dans l ’état i la veille au matin sont résumées dans la matrice de transition P. 13 24 0.95 0.04 0.01 0.90 0.05 1 0.20 0.80 Graphe de transition 1- Chaine de Markov à temps discret: Graphe de transition Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne On suppose que la machine est à l’état de fonctionnement correcte au premier jour, quelle est la probabilité qu’elle y demeure jusqu’au troisième jour ?

69 69 Chaîne de Markov à temps discret: classification des états Un état j est accessible depuis l ’état i soit si i=j, soit s ’il existe dans le graphe de la chaîne au moins un chemin de i à j. Si deux états i et j sont accessibles l ’un à partir de l ’autre, on dit qu ’ils communiquent et appartiennent à une composante fortement connexe. L ’ensemble de ces composantes constituent une partition du graphe et forme le graphe réduit. Une classe est persistante si elle forme un sommet sans successeur du graphe réduit, dans le cas contraire elle est dite transitoire. Un état est persistant ou récurrent s ’il appartient à une classe persistante; transitoire s ’il appartient à une classe transitoire. Une chaîne de Markov est irréductible si son graphe est fortement connexe; dans le cas contraire elle est réductible. Un état est absorbant s ’il forme à lui seul une classe persistante. Une chaîne de Markov est absorbante si tous ses états persistants sont absorbants. Un état i est périodique de période d>1, si d est le plus grand diviseur commun des longueurs des circuits du graphe représentatif passant par i; sinon il est dit apériodique. Les états d ’une classe ont tous la même période. Une chaîne de Markov irréductible est périodique/apériodique si ses états sont périodiques/apériodiques. 1- Chaine de Markov à temps discret Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne

70 70 Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique Chaînes irréductibles et apériodiques La distribution stationnaire est l ’unique solution des équations  i = espérance (moyenne) du nombre de transitions entre deux visites successives de l ’état i Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 1- Chaine de Markov à temps discret

71 71 Soit {X k } une chaîne de Markov irréductible et apériodique de distribution stationnaire  * et f une fonction réelle définie sur l ’espace des états de la chaîne. Alors on a: presque sûrement. Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique Chaînes irréductibles et apériodiques: théorème ergodique Remarque: ce théorème permet d ’estimer des indicateurs à long terme d ’un système. Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 1- Chaine de Markov à temps discret

72 72 Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique 13 24 0.95 0.04 0.01 0.90 0.05 1 0.20 0.80 Exemple: vieillissement d ’une machine Il y a en moyenne 32 jours entre deux révisions successives Production moyenne par jour si la production dans chacun des états est: 1000, 750, 400 et 0 pièces respectivement ? 850 pièces Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 1- Chaine de Markov à temps discret

73 73 Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique Chaînes absorbantes Forme canonique (par réorganisation des états) de P Matrice fondamentale La composante n ij de la matrice N représente le nombre moyen de visites de l ’état transitoire j avant absorption sachant que le processus débute dans l ’état transitoire i. N i = somme des termes de la i ème ligne de la matrice N est le nombre moyen de transitions avant absorption en partant de l ’état transitoire i. La composante b ij de la matrice B représente la probabilité d ’absorption par l ’état absorbant j sachant que le processus débute dans l ’état transitoire i. Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 1- Chaine de Markov à temps discret

74 74 Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique Chaînes absorbantes: exemple Une entreprise utilise une machine dont l ’état d ’usure est l ’un des suivants: neuve (N), usée (U), très usée (T) et inutilisable (I). Chaque jour passé dans l ’un des états rapporte respectivement 1000, 800, 400 et 0 unités monétaires. Le processus de vieillissement de la machine est modélisé par une chaîne de Markov à temps discret (unité de temps le jour) de matrice de transition P, les états sont notés dans l ’ordre N, U, T, I. 1) Quelle est la durée de vie moyenne d ’une machine neuve ? 2) Si le remplacement de l ’installation par une machine neuve coûte K unités monétaires et demande une journée complète de travail, déterminer parmi les deux politiques suivantes, celle qui maximise le gain moyen à long terme de l ’entreprise. Politique 1: Remplacer la machine dès qu ’elle est inutilisable Politique 2: Remplacer la machine dès qu ’elle est très usée ou inutilisable Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 1- Chaine de Markov à temps discret

75 75 Chaînes absorbantes: exemple Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 1- Chaine de Markov à temps discret

76 76 Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique Chaînes réductibles: exemple Le fonctionnement d ’un dispositif industriel est décrit par 6 états: N (fonctionnement normal), P1 (panne de type 1), P2 (panne de type 2), FA (fonctionnement approximatif), HS1 (système hors service de type 1) et HS2 (le système hors service de type 2). Si le dispositif est en N un matin, il a 80% de chances d ’ être en N, 15% d ’être en P1 et 5% d ’être en P2 le lendemain; Si le dispositif est en P1 un matin, il a 50% de chances d ’ être en P1, 30% d ’être en N, 10% d ’être en HS1 et 10% d ’être en FA le lendemain; Si le dispositif est en P2 un matin, il a 30% de chances d ’ être en P2, 60% d ’être en FA et 10% d ’être en HS2 le lendemain; Si le dispositif est en FA un matin, il a 80% de chances d ’ être en FA, 10% d ’être en P2 et 10% d ’être en HS2 le lendemain. Etudier ce système pour évaluer ses performances Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 1- Chaine de Markov à temps discret

77 77 Chaîne de Markov = Processus stochastiques à nombre d ’état fini ou dénombrable; nous ne considérerons que le cas fini Chaîne de Markov à temps continu: structure des chaînes régulières 1) lorsque le processus arrive dans un état i, il y reste pendant une durée aléatoire (éventuellement infini si l ’état est absorbant) distribuée selon une loi exponentielle de paramètre i. 2) lorsque le processus quitte l ’état i (non absorbant) il choisit son nouvel état j (différent de i) avec la probabilité  ij.. La chaîne à temps discret de matrice de transition (changement d ’état)  est appelée la chaîne sous-jacente ou induite. Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 2- Chaine de Markov à temps continu

78 78 Chaîne de Markov = Processus stochastiques à nombre d ’état fini ou dénombrable; nous ne considérerons que le cas fini Chaîne de Markov à temps continu: matrice génératrice et comportement transitoire La quantité -a ii = i est appelée l ’intensité de passage hors de i. Comportement transitoire de la chaîne Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 2- Chaine de Markov à temps continu

79 79 Chaîne de Markov = Processus stochastiques à nombre d ’état fini ou dénombrable; nous ne considérerons que le cas fini Chaîne de Markov à temps continu: matrice génératrice et comportement transitoire La quantité -a ii = i est appelée l ’intensité de passage hors de i. Comportement transitoire de la chaîne Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 2- Chaine de Markov à temps continu

80 80 Temps moyen avant absorption Chaîne de Markov à temps continu Déduire la matrice  de la chaîne sous-jacente à partir de la matrice génératrice A et la mettre sous forme canonique Calculer la matrice fondamentale N. Comme n ij est le nombre moyen de transitions par l ’état transitoire j avant absorption en partant de l ’état transitoire i et 1/ j le temps moyen de séjour dans l ’état j, le temps moyen avant absorption en partant de i est Remarque: estimation de durée de vie, temps moyen de fonctionnement avant révision d ’un système, etc. Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 2- Chaine de Markov à temps continu

81 81 Soit {X t } un chaîne de Markov à temps continu ergodique et  * sa distribution stationnaire. Soit f une fonction réelle définie sur l ’espace des états et vérifiant Alors pour une réalisation quelconque de la chaîne on a presque sûrement Chaîne de Markov à temps continu: théorème ergodique Tout processus irréductible ne possédant qu ’un nombre fini d ’états est ergodique en ce sens qu ’il est récurrent non nul. Remarque: ce théorème permet d ’estimer les performances d ’un système modélisé modélisé par une chaîne ergodique. Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 2- Chaine de Markov à temps continu

82 82 Exemple: composant réparable (calcul de disponibilité)  OKOFF   = taux de pannes, 1/ = temps moyen de bon fonctionnement  = taux de réparation, 1/  = temps moyen de réparation X = état du composant Chaîne de Markov à temps continu Le fonctionnement du composant permet un gain de g unités monétaires par unité de temps et sa réparation coûte c unités monétaires par unité de temps. Quel est le gain moyen par unité de temps ? Condition de rentabilité ? Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 2- Chaine de Markov à temps continu

83 83 Exemple: composants non réparables en redondances passives  = taux de pannes d ’un composant Chaîne de Markov à temps continu 1) Déterminer la fonction fiabilité de ce système 2) Quelle est la durée de vie moyenne de ce système ? DC Hypothèse: organe de détection et de commutation parfait Rappels sur la transformée de Laplace Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 2- Chaine de Markov à temps continu

84 84 Une machine de production peut se trouver dans 4 états d ’usure différente. L ’état 1 correspond à une machine fonctionnant correctement ; l ’état 4 à une machine inutilisable devant subir une révision complète; les états 2 et 3 dénotent des stades de dégradation croissante. Le temps moyen de séjour dans chacun des états est de 40 h, 40 h, 20 h et 10 h respectivement. La matrice de transition de la chaîne sous-jacente est donnée par . On voudrait déterminer les indicateurs suivants: 1) sur 1000 h de fonctionnement quel est le nombre moyen d ’heures pendant lesquelles la machine est en révision ? 2) le taux horaire moyen de production de la machine si le taux de production dans chacun des états est 1000, 750, 400 et 0 pièces respectivement. 3) Quel est le temps moyen de fonctionnement avant révision d ’une machine neuve ? Exemple: performance d ’une machine de production Chaîne de Markov à temps continu Chapitre 3: Estimation de la Fiabilité par approche Markovienne 2- Chaine de Markov à temps continu

85 85 Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne 1- Présentation 2- Réseaux Bayésiens Dynamique (RBD) 3- Application au pronostique 4- Méthode de Simulation avec le RBD Sommaire

86 86 Approche par réseaux bayésiens Présentation Structure Paramètres XkXk X XiXi X2X2 X1X1 …..…. Nœuds (ovale) = variables en interaction arcs = relation (causalité, corrélation, indépendance, …) entre les variables d ’un domaine de connaissance Probabilité conditionnelle pour les nœuds ayant des parents Probabilité à priori ou marginale pour les nœuds sans parents Relation fondamentale Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

87 87 Approche par réseaux bayésiens: exemple On considère un système S formé de 2 composants C 1 et C 2 identiques montés en parallèle en termes de fiabilité. On a constaté que dans 5 cas sur 1000, le système ne fonctionne pas bien qu ’on soit sûr que les 2 composants fonctionnent correctement. Si les 2 composants ne fonctionnent pas alors le système non plus et fonctionne dans 98 cas sur 100 avec le seul composant 1 et dans 92 cas sur 100 avec le composant 2 seulement. On ignore complètement l ’état à priori de chaque composant (incertitude totale). 1) Quelle est la probabilité que le système fonctionne ? 2) Si le système fonctionne, quelle est la probabilité pour chacun des composants d ’être OFF ? Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

88 88 Approche par réseaux bayésiens: exemple Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

89 89 Approche par réseaux bayésiens: exemple (calcul avec le Logiciel Netica Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

90 90 Réseaux Bayésiens Dynamiques: Présentation Structure Paramètres BN(t-k)BN(t-1)BN(t) ….. …. Plusieurs tranches temporelles indiquant l’horizon historique. A chaque tranche: un réseau bayésien décrivant l’interaction instantanée entre variables. Tables de probabilité conditionnelle Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

91 91 C 2 (t-1) s(t-1) C 1 (t-1) C 2 (t) s(t) C 1 (t) OK OFF OK OFF 0.995 0.98 0.92 C 1 (t)C 2 (t) 0 Approche par réseaux bayésiens (dynamiques): exemple Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

92 92 Approche par réseaux bayésiens (dynamiques): exemple Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

93 93 Approche par réseaux bayésiens (dynamiques): exemple Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

94 94 Réseaux Bayésiens (Dynamiques): utilisation zInférence: étant donnés la structure et les paramètres du réseau, propager une évidence (connaissance certaine de l ’état de certains nœuds) pour découvrir l ’état probable des nœuds non observés. yApplication: diagnostic, prévision, zApprentissage: A partir des données d ’expérience ou d ’expertise, yétablir la structure (apprentissage de structure) ydéterminer les paramètres d ’une structure donnée (apprentissage de paramètres) yl ’apprentissage de structure est difficile en général zIl existe des algorithmes (plus ou moins) efficace d ’apprentissage et d ’inférence Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

95 95 zDiagnostic, Pronostic, …. yO = ensemble des nœuds dont l ’état est observé (symptômes) à chaque instant t  Déterminer l ’état probable X*(t) d ’un nœud caché X à l ’instant t étant donné O(  ) pour zRéactivité par rapport à l ’évolution de l ’environnement yC(X) : ensemble des états critiques pour une variable X (composant) yHors ligne: établissement des plans d ’action suivant l ’état de l ’environnement yEn ligne: estimation du temps moyen nécessaire de réaction à un changement de l ’environnement zEvaluation des politiques d ’action yune action a domine stochastiquement une autre action b si et seulement si Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

96 96 zProportion de temps passé dans un état i (MTTR, MUT, …) z Nombre moyen de transitions entre deux visites d ’un état i (MTBF) zTemps moyen de séjour dans un état i à partir d ’un état j (temps moyen de fonctionnement approximatif) zTemps moyen avant absorption (durée de vie moyenne) zProbabilité d ’absorption à partir d ’un état i (sécurité) z…. Application de l ’apprentissage des paramètres en RBD: Estimation des performances de Fiabilité par simulation Chapitre 4: Estimation de la Fiabilité par approche Bayésienne

97 Lesgraphe s d’étatd’état Diagrammes de Markov Permet de rendre compte du comportement du système en tenant compte des événements le rendant dynamique Le graphe est constitué de sommets correspondant aux différents états du système Les sommets sont reliés par des arcs valués à l ’aide de taux (ou de probabilités) de transition non nuls associés aux événements qui font évoluer le système E2E2 E1E1 Taux 2 Etat 2 Etat 1 Taux 1 Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

98 Exemple: vieillissement d ’une machine Une machine peut se trouver dans 4 états d ’usure différente. L ’état 1 correspond à une machine fonctionnant correctement ; l ’état 4 à une machine inutilisable ; les états 2 et 3 dénotent des stades de dégradation croissante. Les probabilités que la machine se retrouve dans l ’état j un certain matin sachant qu ’elle était dans l ’état i la veille au matin sont résumées dans la matrice de transition P. 13 24 0.95 0.04 0.01 0.90 0.05 1 0.20 0.80 Graphe de transition On suppose que la machine est à l’état de fonctionnement correcte au premier jour, quelle est la probabilité qu’elle y demeure jusqu’au troisième jour ? Production moyenne par jour si la production dans chacun des états est: 1000, 750, 400 et 0 pièces respectivement ? La fiabilité ? Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

99 Le modèle de Markov: Les graphes d’état Attention : Le modèle ne représente pas une vue « temps réel » du déroulement d’un scénario Il est issu d’une observation sur une longue période du système et des événements qui le font évoluer 2 événements ne peuvent donc se produire simultanément sinon on les regrouperait D’autre part l’utilisation de modèles markoviens suppose que les taux de transition soient constants Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

100 Lesgraphe s d’étatd’état Un processus markovien est un processus qui modélise le comportement d'un système pour lequel l'évolution future depuis un état donné ne dépend que de cet état et non de la "trajectoire" qu'il a décrite pour y parvenir L'évolution du système est indépendante des états antérieurement occupés Le processus markovien est dit homogène si les taux événementiels intervenant pour l'évolution entre états sont constants Intérêt des processus markoviens :. modélisation "fidèle" d'un grand nombre de systèmes,. calculs et traitements simples (si le nombre d'états n'est pas trop grand) Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

101 Exemple1 Tour 2 centres d ’usinage alimentés par un robot les pièces fabriquées par les centres d ’usinage sont transférées sur un tour CU 1 7 6 CU 2 Etat 1 : pas d’élément défaillant Etat 2 : 1 CU défaillant Etat 3 : 2 CU défaillants Etat 4 : tour défaillant Etat 5 : 1 CU et tour défaillants Etat 6 : robot défaillant Etat 7 : 1 CU et robot défaillant 1 2 3 4 5 Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

102 Exemple2 Ci-dessous le graphe d'états d'un ensemble associant M1, M2 et une troisième machine M3 pour la réalisation d'une tâche. On désigne respectivement par défaillance et de réparation de chaque machine Mi. i eti les taux de Déduire du graphe d'états : la politique d'engagement des machines (préciser les états de fonctionnement, d'arrêt,...), la politique de maintenance (préciser la stratégie, les priorités,...). Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

103 Exemple2 EtatEtatEtatEtatEtatEtatEtatEtatEtatEtatEtatEtatEtatEtat 12345671234567 :::::::::::::: M1, M2, (M3)M1, M2, (M3) M 1, M 2, (M3)M3(M3)(M3)M3(M3) M 1, M 2, M 3 M 1, (M 2 ), M 3 (M 1 ), M 2, M 3 Bon fonctionnement : Etat 1 (5) Dégradé : Etats 2, 3, (5) Arrêt : Etats 4, 6, 7 Fonctionnement normal M1+M2 Si M1 est défaillant, engagement de M3 Stratégie de maintenance monoréparateur Priorités M2>M1 M1>M3 M2>M3 Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

104 Redondances Soit un système de production constitué de deux machines identiques toutes deux en fonctionnement Donner le graphe de Markov correspondant à une redondance passive Que devient le modèle dans le cas d’une redondance active ? Établir le diagramme de Markov de 2 machines différentes en redondance active 1.2.1.2. Dans le cas d’une stratégie biréparateur Dans le cas d’une stratégie monoréparateur en distinguant les cas suivants : Priorité de M1 sur M2 Priorité de M1 sur M2 dans 70% des cas sinon l’inverse Stratégie FIFO Stratégie LIFO Ajouterla notion d’état de repos ou travail Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

105 Redondance s Machines différentes et stratégie bi-réparateur Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

106 Redondance s priorité M1>M2priorité M1>M2 dans 70% des cas Machines différentes et stratégie mono- réparateur priorité FIFO priorité LIFO Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

107 Redondanc e passiveavec refusrefusdededémarrag e Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

108 Redondanc e passiveavec refusrefusdededémarrag e 2 machines identiques 2 machines différentes Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

109 Redondance s active et passive Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

110 Redondance s activeetet passive Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

111 Probabilité s d’occupatio n des étatsenenrégimepermanen t Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

112 Exercice Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

113 Calcul rapide de l'indisponibilité asymptotique Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

114 Calcul rapide de l'indisponibilité asymptotique Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

115 Calcul rapide de l'indisponibilitéasymptotique Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

116 CalculCalculd’und’untauxdede productio n Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

117 CalculCalculd’und’untauxdede productio n Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

118 Probabilité s d’occupatio n des étatsenenrégimetransitoir e Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

119 Probabilité s d’occupatio n des étatsenenrégimetransitoir e Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

120 Probabilité s d’occupatio n des étatsenenrégimetransitoir e Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

121 Probabilitésd’occupation des étatsen régime transitoire Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

122 Probabilitésd’occupation des étatsen régime transitoire Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

123 Probabilitésd’occupation des étatsen régimetransitoire Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

124 Probabilité s d’occupatio n des étatsenenrégimetransitoir e Exercice : établir l’expression de la disponibilité transitoire d’une machine susceptible de n’occuper que deux états : Marche Panne Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov Rappels sur la transformée de Laplace

125 Probabilitésd’occupation des étatsen régime transitoire Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

126 Probabilitésd’occupation des étatsen régime Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

127 2 Probabilitésd’occupation des étatsen régime transitoire on supprime le retour depuis (s+λ+µ) +2λ(s+λ+µ) +2λ 2 l’état de défaillance (état "absorbant“) R˜ (s) =R˜ (s) = 12 3 (s+ λ + µ ).(s+2 λ ) - 2 λµ s + 3 λ + µ ) + s.(3 λ + µ ) + 2 R˜ (s) =R˜ (s) = s2s2 λ2λ2 deux racines : - (3 λ + µ ) λ2λ2 + 6 λµ + µ 2 s1,2s1,2 = 2 As - s1As - s1 B R˜ (s) =R˜ (s) = + s- s2s- s2 R(t) = A e s1.t + B e s2.t t R(t)R(t) Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

128 Probabilitésd’occupation des étatsen régime transitoire Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

129 Probabilitésd’occupation des étatsen régime transitoire Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

130 Exemple: composant réparable (calcul de disponibilité)  OKOFF   = taux de pannes, 1/ = temps moyen de bon fonctionnement  = taux de réparation, 1/  = temps moyen de réparation X = état du composant Chaîne de Markov à temps continu Le fonctionnement du composant permet un gain de g unités monétaires par unité de temps et sa réparation coûte c unités monétaires par unité de temps. Quel est le gain moyen par unité de temps ? Condition de rentabilité ? Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

131 131 Evaluation des indicateurs de SdF par les chaînes de Markov Exemple: composants non réparables en redondances passives  = taux de pannes d ’un composant Chaîne de Markov à temps continu 1) Déterminer la fonction fiabilité de ce système 2) Quelle est la durée de vie moyenne de ce système ? DC Hypothèse: organe de détection et de commutation parfait Rappels sur la transformée de Laplace Analyse de la fiabilité par les modèles de Markov

132 Exemple: composant réparable (calcul de disponibilité)  OKOFF   = taux de pannes, 1/ = temps moyen de bon fonctionnement  = taux de réparation, 1/  = temps moyen de réparation X = état du composant Chaîne de Markov à temps continu Le fonctionnement du composant permet un gain de g unités monétaires par unité de temps et sa réparation coûte c unités monétaires par unité de temps. Quel est le gain moyen par unité de temps ? Condition de rentabilité ?

133 Une machine de production peut se trouver dans 4 états d ’usure différente. L ’état 1 correspond à une machine fonctionnant correctement ; l ’état 4 à une machine inutilisable devant subir une révision complète; les états 2 et 3 dénotent des stades de dégradation croissante. Le temps moyen de séjour dans chacun des états est de 40 h, 40 h, 20 h et 10 h respectivement. La matrice de transition de la chaîne sous-jacente est donnée par . On voudrait déterminer les indicateurs suivants: 1) sur 1000 h de fonctionnement quel est le nombre moyen d ’heures pendant lesquelles la machine est en révision ? 2) le taux horaire moyen de production de la machine si le taux de production dans chacun des états est 1000, 750, 400 et 0 pièces respectivement. 3) Quel est le temps moyen de fonctionnement avant révision d ’une machine neuve ? Exemple: performance d ’une machine de production