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 PoutrePoutre  Efforts intérieursEfforts intérieurs  ContrainteContrainte  DéformationDéformation  TractionTraction  TorsionTorsion  FlexionFlexion.

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1  PoutrePoutre  Efforts intérieursEfforts intérieurs  ContrainteContrainte  DéformationDéformation  TractionTraction  TorsionTorsion  FlexionFlexion  Essais des matériauxEssais des matériaux  Concentration de contrainteConcentration de contrainte Résistance des matériaux

2 A B (S) (  G Solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une portion de courbe (  ) orientée de A vers B. (S) reste toujours orthogonale à (G). A est l’origine de la poutre, B son extrémité ; (  ) s’appelle la ligne moyenne ; (S) est la section droite de la poutre en G ;  Poutre  Liaisons Type de liaisonSchémaTorseur statique Conditions cinématiques  Encastrement  Liaison pivot ou articulation  Liaison glissière  Liaison ponctuelle A x y A x y x A y A x y

3 Résistance des matériaux  Etude statique préliminaire  Torseur des efforts intérieurs (P) s G (E 1 ) (S) A B (P) E1E1 E2E2 G Mise en place d’une section droite, paramétrage de sa position, définition des tronçons (E 1 ) et (E 2 ) Elle est destinée à déterminer les actions extérieures agissant sur la poutre étudiée : modèle isostatique : efforts de liaison déterminés ; modèle hyperstatique de degré h : tous les efforts de liaison s’expriment en fonction de h d’entre eux.  Equations de continuité TractionTorsion Flexion simple suivant z Flexion simple suivant y s G A B (S 0 ) (S 1 )

4 Résistance des matériaux  Contraintes (P) s G (E 1 ) (S) M dS  Relation contraintes – efforts intérieurs  Champ des contraintes  xy yy xx zz  xz  yz  yx  zy  zx M On montre qu’il y a réciprocité des contraintes tangentielles :  xy =  yx  yz =  zy  zx =  xz

5 Résistance des matériaux  Déformations, lois de Hooke xx x  x dx y -  x dx A’ B dx -x-x Avant déformation Après déformation B’ A Relations entre contrainte normale et allongements relatifs : Relations entre contrainte tangentielle et distorsion x y H H’ B B’ M A  xy  yx Avant déformation Après déformation -  xy -  yx E : module d’Young (MPa)Elasticité longitudinale : coefficient de Poisson(0,3 pour les métaux usuels) G : module de Coulomb (MPa)Elasticité transversale Relation entre E et G Hypothèse de Bernoulli : toute section plane et perpendiculaire à la ligne moyenne avant déformation, reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après l'application des charges. Hypothèses de la RdM Hypothèse de Barré de Saint Venant : dans les zones éloignées des points d'applications des charges, les contraintes et les déformations sont indépendantes de leur mode d’application. Hypothèse sur le matériau : le matériau constituant la poutre est supposé continu, homogène et isotrope. Hypothèse sur les déformations : les déformations sont supposées petites (déplacements des points petits devant les dimensions de la poutre et de la section). Les déplacements d’une section droite peuvent être représentés par un torseur des petits déplacements.

6 Résistance des matériaux  Sollicitation de traction L O G B R (S) p0p0 A B A Illustrations Définition Hypothèse Expression de la contrainte Allongement relatif Cas particulier : poutre droite soumise à deux forces opposées, de section constante L B A x A B (S) (P) E1E1 E2E2 G M I (S)

7 Résistance des matériaux  Sollicitation de torsion Illustration Définition Hypothèse Expression de la déformation Poutre droite, de section constante, sollicitée en torsion par deux couples opposés A B (S) (P) E1E1 E2E2 G L Ød B A G0G0 (S 0 ) (S) M G M0M0 M  G Répartition de contrainte L B A x Cas particulier

8 Résistance des matériaux  Sollicitation de Flexion simple Définition Hypothèse Expression de la déformation Répartition de contrainte Cas particulier A B (S) (P) E1E1 E2E2 G M I (S) y Moment quadratique Section circulaire ØD: Section rectangulaire b x h : L B (S) G A y = f( ) Déformée en flexion d’une poutre initialement droite : Deux constantes d’intégration, déterminées par les conditions de liaison.

9 Résistance des matériaux  Essai de traction Contrainte normale  (N/mm²) Allongement relatif  RmRm RrRr ReRe A B C D E Rupture  permanent H K S0S0 L R e : limite élastique R r : limite de rupture R m : Limite mécanique Carré 10 x 10 Entaille 5 x 2  Essai de résilience (résistance aux chocs)  Essais de dureté Ød Essai Brinell Matériaux de faible dureté Essai Vickers Matériaux de dureté moyenne a 1 x a 2 Matériaux de grande dureté Essai Rockwell Enfoncement e

10 de la nature et des dimensions de la discontinuité (rainure, gorge, épaulement…) de la sollicitation (traction, torsion, flexion). Résistance des matériaux  Concentration de contrainte Lorsqu’une poutre possède une discontinuité (de géométrie ou de matériau), il se produit un phénomène de «concentration de contrainte». Au voisinage de la discontinuité, la contrainte maximale est supérieure à la contrainte nominale calculée avec les outils de la RdM. Définition La contrainte maxi est déterminée en multipliant la contrainte nominale calculée par la RdM par un coefficient K t qui dépend : Calcul de la contrainte maxi «réelle» Les valeurs de K t,déterminées expérimentalement, sont extraites de tableaux ou abaques.

11  C’est tout pour aujourd’hui…


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