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LES FONCTIONS 1. Notion de fonction 2. Applications

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1 LES FONCTIONS 1. Notion de fonction 2. Applications
OBJECTIFS INTERMEDIAIRES 1. Notion de fonction 2. Applications 3. Représentation graphique d’une fonction 4. Sens de variation d’une fonction 5. Parité d’une fonction Lecture des objectifs intermédiaires et rappel des ressources 6. Etude de fonctions RESSOURCES LIVRE PAGES

2 LES FONCTIONS 1. Notion de fonction 2. Applications
OBJECTIFS INTERMEDIAIRES 1. Notion de fonction 2. Applications 3. Représentation graphique d’une fonction 4. Sens de variation d’une fonction 5. Parité d’une fonction 6. Etude de fonctions RESSOURCES LIVRE PAGES 140 à 173

3 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
a) Activité préparatoire Comment calcule-t-on son poids idéal ? D’après LORENTZ, le poids idéal masculin se calcule par la formule : Calcule ton poids idéal. Les élèves calcule leur poids idéal à la calculatrice sans noter leur réponse sommaire

4 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
a) Activité préparatoire MACHINE A LAVER LAVER LE LINGE LINGE SALE LINGE PROPRE La fonction de la machine à laver est de laver le linge. Pour cela on procède par étapes : Mettre le linge dans la machine Mettre la lessive Choisir le programme. La machine à laver est utilisée pour laver le linge ; La fonction …. ; Les étapes …. Choisir la température. Lancer le programme. Sortir le linge propre.

5 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
a) Activité préparatoire FONCTION f NOMBRE : x NOMBRE : f(x) On choisit x = 175 Calcule l’image de 175 par la fonction f . f (175) = 68,75 Formule de Lorentz ; Les élèves notent le nombre x , la fonction f(x) puis calculent l’image de 175 par la fonction sans noter la réponse

6 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
a) Activité préparatoire FONCTION f NOMBRE : x NOMBRE : f(x) ANTECEDENT IMAGE La fonction numérique transforme les nombres. Pour cela, on procède par étapes : Soustraire 150 au nombre x Diviser par 4 Soustraire 100 et le résultat précédent à x Faire citer les étapes de calcul puis les faire noter ; Montrer aussi qu’il est possible de calculer dans l’orde de la formule; Puis conclure avec notions antécédent et image à noter

7 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
b) Notation Soit f la fonction qui à x associe x2 + x – 1 . On note : f : x x2 + x - 1 ou f(x) = x2 + x - 1 Lecture des notations à faire noter par les élèves

8 c) Exemple de fonction numérique
Soit f la fonction qui a x associe 3x2 – 5 . On note f : x x2 – 5 ou f (x) = 3x2 – 5 Décompose en français et par étapes la fonction f Elever le nombre x au carré. Multiplier ce résultat par 3. Soustraire 5. On choisit x = 1, calcule f (1) Elever 1 au carré : 12 = 1 Multiplier ce résultat par 3 : 1 × 3 = 3 Faire décomposer oralement par les élèves les étapes puis les montrer et les faire noter ; Faire calculer f(1) en 3 étapes à la calculatrice puis montrer les étapes et les faire noter ; Puis montrer que la fonction transforme le nombre 1 , antécédent , pour obtenir -2 , l’image Soustraire 5 : 3 – 5 = - 2 1 FONCTION f f (1) = - 2 ANTECEDENT IMAGE

9 c) Exemple de fonction numérique
Soit f la fonction qui a x associe 3x2 – 5 . On note f : x x2 – 5 ou f (x) = 3x2 – 5 Décompose en français et par étapes la fonction f Elever le nombre x au carré. Multiplier ce résultat par 3. Soustraire 5. On choisit x = 6, calcule f (6) Elever 6 au carré : 62 = 36 Multiplier ce résultat par 3 : 36 × 3 = 108 Faire calculer f(6) en 3 étapes puis conclure Soustraire 5 : 108 – 5 = 103 6 FONCTION f f (6) = 103 ANTECEDENT IMAGE

10 L’ensemble des antécédents constitue l’ensemble de définition
x FONCTION f f (x) ANTECEDENT IMAGE Remarque : L’ensemble des antécédents constitue l’ensemble de définition de la fonction f. Faire compléter le schéma par les élèves puis demander si il existe des valeurs précises pour les antécédents (intervalle d’étude et domaine de définition) sommaire

11 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications a) Exercice 1
Décompose en français et par étapes les fonctions suivantes : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Elever le nombre x au cube Multiplier ce résultat par cinq. Soustraire deux fois le nombre x. Ajouter quatre. g(x) = 3( x2 – 1 ) Elever le nombre x au carré. Soustraire un à ce résultat. Multiplier ce résultat par trois. Les élèves recherche d’abord les étapes puis synthèse des étapes sans calcul ! h(x) = Ajouter un au nombre x. Calculer la racine carrée de ce résultat. Multiplier ce résultat par deux. sommaire

12 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = - 2 ( - 2 )3 = - 8 Elever - 2 au cube : Faire calculer f(-2) puis montere les étapes de calcul et la réponse - 8 × 5 = - 40 Multiplier ce résultat par 5 : -40 – 2(- 2) = - 36 Soustraire deux fois - 2 : Ajouter 4 : = - 32 reporter (-32) dans le tableau.

13 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = - 2 ( - 2 )3 = - 8 Elever (- 2) au cube : - 8 × 5 = - 40 Multiplier ce résultat par 5 : -40 – 2(- 2) = - 36 Soustraire deux fois (- 2) : Ajouter 4 : = - 32 raccourci reporter (-32) dans le tableau.

14 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = - 1 ( - 1 )3 = - 1 Elever (- 1) au cube : Faire calculer d’abord f(-1) puis montrer les étapes de calcul puis la réponse ; ou utiliser le raccourci - 1 × 5 = - 5 Multiplier ce résultat par 5 : -5 – 2(- 1) = - 3 Soustraire deux fois (- 1) : Ajouter 4 : = 1 reporter 1 dans le tableau.

15 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = - 1 ( - 1 )3 = - 1 Elever (- 1) au cube : - 1 × 5 = - 5 Multiplier ce résultat par 5 : -5 – 2(- 1) = - 3 Soustraire deux fois (- 1) : Ajouter 4 : = 1 raccourci reporter 1 dans le tableau.

16 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = 0 ( 0 )3 = 0 Elever 0 au cube : Calcul de f(0) 0 × 5 = 0 Multiplier ce résultat par 5 : 0 – 2(0) = 0 Soustraire deux fois 0 : Ajouter 4 : 0 + 4 = 4 reporter 4 dans le tableau.

17 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = 0 ( 0 )3 = 0 Elever 0 au cube : 0 × 5 = 0 Multiplier ce résultat par 5 : 0 – 2(0) = 0 Soustraire deux fois 0 : Ajouter 4 : 0 + 4 = 4 raccourci reporter 4 dans le tableau.

18 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = 1 ( 1 )3 = 1 Elever 1 au cube : 1 × 5 = 5 Multiplier ce résultat par 5 : 5 – 2(1) = 3 Soustraire deux fois 1 : Ajouter 4 : 3 + 4 = 7 reporter 7 dans le tableau.

19 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = 1 ( 1 )3 = 1 Elever 1 au cube : 1 × 5 = 5 Multiplier ce résultat par 5 : 5 – 2(1) = 3 Soustraire deux fois 1 : Ajouter 4 : 3 + 4 = 7 raccourci reporter 7 dans le tableau.

20 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = 2 ( 2 )3 = 8 Elever 2 au cube : 8 × 5 = 40 Multiplier ce résultat par 5 : 40 – 2(2) = 36 Soustraire deux fois 2 : Ajouter 4 : = 40 reporter 40 dans le tableau.

21 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : Si x = 2 ( 2 )3 = 8 Elever 2 au cube : 8 × 5 = 40 Multiplier ce résultat par 5 : 40 – 2(2) = 36 Soustraire deux fois 2 : Ajouter 4 : = 40 raccourci reporter 40 dans le tableau.

22 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications b) Exercice 2
Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par : f(x) = 5x3 – 2x + 4 Compléter le tableau suivant : sommaire

23 sommaire Soit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par :
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 3 :Représentation graphique d’une fonction Soit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par : Dans un repère orthogonal, les points de coordonnées ( x ; f(x) ) avec x appartenant à l’ensemble de définition constituent la représentation graphique de la fonction. a) Compléter le tableau suivant Dans quoi trace-t-on une représentation graphique ? Comment fait-on ? Peut-on prendre n’importe quelle valeur de x ?Montrer et faire noter la définition; Faire compléter le tableau en entier puis lancer les réponses ; sommaire

24 Premier point de coordonnées (160 ; 57,5 )
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 3 :Représentation graphique d’une fonction Soit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par : Dans un repère orthogonal les points de coordonnées ( x ; f(x) ) avec x appartenant à l’ensemble de définition constituent la représentation graphique de la fonction. a) Compléter le tableau suivant Comment utiliser le tableau de valeurs pour réaliser 1 représentation graphique ? Premier point de coordonnées (160 ; 57,5 )

25 deuxième point de coordonnées (165 ; 61,25 )
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 3 :Représentation graphique d’une fonction Soit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par : Dans un repère orthogonal les points de coordonnées ( x ; f(x) ) avec x appartenant à l’ensemble de définition constituent la représentation graphique de la fonction. a) Compléter le tableau suivant deuxième point de coordonnées (165 ; 61,25 )

26 b) Placer tous les points ainsi obtenus dans un repère
Faire réaliser la représentation graphqie (échelles : abscisses 2 gd carreaux = 5 débuter à 155 / ordonnées 2gd carreaux = 5 débuter à 50) Montrer que les points sont alignés et donc que l’on peut représenter 1 droite passant par tous les points

27 b) Placer tous les points ainsi obtenus dans un repère

28 b) Placer tous les points ainsi obtenus dans un repère
Montrer que chaque point de la droite à 1 seul antécédent et 1 seule image On constate qu’à chaque antécédent x correspond une image unique f(x).

29 c) A retenir A chaque antécédent x de l’ensemble de définition correspond une image unique f(x). A partir des courbes suivantes, déterminer celles qui représentent une fonction numérique. Insister sur notion d’image unique afin que l’élève soit capable de déterminer les courbes représentant une fonction

30 sommaire x y x y O O Graphe d’une fonction x y x y O O
L’élève doit identifier les courbes représentant les graphes d’une fonction O O Graphe d’une fonction sommaire

31 Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous : x y -2 -6 5 8 O Faire déterminer aux élèves les intervalles des variations sommaire

32 Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous : x y -2 -6 5 8 O Faire reprere les bornes du domaine de définition et les valeurs de x de changement de variations sommaire

33 Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous : x y -2 -6 5 8 O Faire citer le sens de variaiton puis faire reproduire par les élèves les sens de variation de cette fonction La fonction f est décroissante La fonction f est décroissante La fonction f est croissante sommaire

34 Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous : La fonction f est décroissante croissante x y -2 -6 5 8 O Faire reproduire par les élèves les sens de variaition de cette fonction sommaire

35 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
x y -2 -6 5 8 O -4 -3 4 Le tableau de variation va nous permettre de rassembler les observations de manière synthétique sommaire

36 x - 6 8 f OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation sommaire
Créer un tableau à deux lignes et deux colonnes. Placer x et f comme indiqué ci-dessous : Placer les valeurs de l’intervalle de définition comme indiqué ci-dessous : x - 6 8 f Faire réaliser le tableau de variation pas à pas avec les bornes de l’intervalle d’étude sommaire

37 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
Repérer le premier intervalle de variation. x y -2 -6 5 8 O -4 -3 4 La fonction f est décroissante de -6 à -2 sommaire

38 5. Tableau de variation x f - 6 - 2 8 sommaire

39 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
Repérer les valeurs de la fonction correspondants à cet intervalle x y 8 4 O -2 -6 5 8 -3 -4 sommaire

40 x f - 6 - 2 8 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation sommaire
- 4 sommaire

41 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
x y -2 -6 5 8 O -4 -3 4 Repérer l’intervalle suivant La fonction f est croissante de -2 à 5 sommaire

42 x f - 6 - 2 8 5 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
- 4 sommaire

43 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
Repérer la valeur de la fonction correspondant à cet intervalle x y 8 4 O -2 -6 5 8 -3 -4 sommaire

44 x f - 6 - 2 8 5 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
4 - 4 sommaire

45 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
x y -2 -6 5 8 O -4 -3 4 Repérer l’intervalle suivant La fonction f est décroissante de 5 à 8 sommaire

46 x f - 6 - 2 8 5 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
4 - 4 sommaire

47 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
Repérer la dernière valeur de la fonction correspondant à cet intervalle x y 8 4 O -2 -6 5 8 -3 -4 sommaire

48 x f - 6 - 2 8 5 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
4 - 4 - 3 sommaire

49 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
sommaire

50 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
x y x y O O Que constate-t-on ?

51 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
x y x y O O Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus admettent l’axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie. Faire noter l’observation et ajouter FONCTION PAIRE dans l’encadré du poly élève On dit que ces fonctions sont paires.

52 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
x y x y O O

53 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
x y x y O O Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus admettent le point origine O(0;0) comme centre de symetrie. On dit que ces fonctions sont impaires.

54 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
x y O O Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus ne possèdent aucunes symétries par rapport à l’origine O(0;0) ou par rapport à l’axe des ordonnées. On dit que ces fonctions sont ni paires ni impaires. sommaire

55 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 7 : Etude de fonction
1) Exemple 1 Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : a) Compléter le tableau de valeurs : Elever le nombre x au cube. Diviser le résultat par 3. Soustraire le nombre x. Faire citer oralement les étapes de calcul puis faire compléter la totalité du tableau avant de montrer les réponses

56 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 7 : Etude de fonction
1) Exemple 1 Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : a) Compléter le tableau de valeurs Elever le nombre x au cube. Diviser le résultat par 3. Soustraire le nombre x. Faire réaliser le graphe b) Tracer la courbe représentative de la fonction f

57 1 2 3 -1 -2 -3 y y x x

58 1 2 3 -1 -2 -3 y x La fonction f est croissante La fonction f est
1 2 3 -1 -2 -3 y x Faire citer oralement les variations de la fonction La fonction f est croissante La fonction f est décroissante La fonction f est croissante

59 x f - 3 - 1 1 3 Sur [- 3 ; - 1 ], la fonction est croissante.
c) Déterminer le sens de variation de la fonction f Sur [- 3 ; - 1 ], la fonction est croissante. Sur [- 1 ; 1 ], la fonction est décroissante. Sur [ 1 ; 3 ], la fonction est croissante. d) Compléter le tableau de variation de la fonction f x f - 3 - 1 1 3 0,7 6 Faire noter les sens de variaitions puis tableau de variation pas à pas - 6 - 0,7

60 Sur [- 3 ; 3 ], la courbe représentative de la fonction admet
e) Déterminer la parité de la fonction f y 1 2 3 -1 -2 -3 x Sur [- 3 ; 3 ], la courbe représentative de la fonction admet une symétrie de centre O ( 0 ; 0 ), origine du repère . La fonction f est impaire sur [- 3 ; 3 ]. sommaire

61 OBJECTIF INTERMEDIAIRE 7 : Etude de fonction
2) Exemple 2 Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : a) Compléter le tableau de valeurs Elever le nombre x au carré. Soustraire 5. Citer les étapes de calcul sommaire

62 Elever le nombre x au carré.
7. Etude de fonction 2) Exemple 2 Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : a) Compléter le tableau de valeurs Elever le nombre x au carré. Soustraire 5. b) Tracer la courbe représentative de la fonction f

63 -3 -2 -1 1 2 3 y x

64 -3 -2 -1 1 2 3 y x

65 La fonction f est décroissante La fonction f est croissante
c) Déterminer le sens de variation de la fonction f -3 -2 -1 1 2 3 La fonction f est décroissante La fonction f est croissante

66 x f - 3 3 4 4 - 5 Sur [- 3 ; 0 ] la fonction est décroissante.
c) Déterminer le sens de variation de la fonction f Sur [- 3 ; 0 ] la fonction est décroissante. Sur [ 0 ; 3 ] la fonction est croissante. d) Compléter le tableau de variation de la fonction f : x f - 3 3 4 4 - 5

67 Sur [- 3 ; 3 ], la courbe représentative de la fonction f
e) Déterminer la parité de la fonction f -3 -2 -1 1 2 3 Sur [- 3 ; 3 ], la courbe représentative de la fonction f admet une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (Oy). La fonction f est paire sur [- 3 ; 3 ]. sommaire

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