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Partie 1 suite Géométrie des masses Cours de Dynamique.

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1 Partie 1 suite Géométrie des masses Cours de Dynamique

2 A B C x z y x y z O M(x,y,z) S r M ( ) O P

3 S r M ( ) O P A B C D E F x y z O x M(x,y,z) z y 1-5-3

4 d (S) (a, b, 0) H ( ) G x y z M (x, y, z) ( G ) coupant le plan z= 0 en (a, b, 0) d () avec I G = I -md

5 ba ba Fm.ab G M(x, y, z) a b ( ) M(x, y, z) H O u ( ) x z y (S) On note que r = || OM ||. | sin( ) | et que || OM u || = || OM ||. |sin( )| r

6 M(x, y, z) H O u ( ) x z y (S) 1-7-2

7 1-7-3

8 M xyzxyz M x y -z O (S) x y z 1-7-4

9 M O (S) y z x O y x M z

10 G y z x h/2 R G y z x R h G y z x R G y z x a b c G y z x R G y z x r 0 x y z G c a b x y z G R r Opérateurs et formes géométriques de base

11 c b a O x y z c b a (S) G ( Gz ) ( Gy ) ( Gx ) 1-8 HUYGENS GENERALISE A LOPERATEUR DINERTIE

12 c b a O x y z c b a (S) G ( Gz ) ( Gy ) ( Gx ) 1-8 HUYGENS GENERALISE A LOPERATEUR DINERTIE

13 1-9-1 Inertie dun solide obtenu par extrusion, par rapport à son plan de symétrie x y z G On fait intervenir la masse dans lexpression de avec Il sécrit :doù : Recherche du moment dinertie par rapport au plan ( x, G, y ). On choisit pour volume de matière élémentaire, une plaque de section S et dépaisseur dz. Le moment dinertie sécrit : h/2 dz z Surface : S Calcul du moment dinertie solide extrudé quelconque, par rapport au plan perpendiculaire à la direction de lextrusion, et en son centre de gravité 1-9 EXERCICES

14 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, z ). On considère un tube de diamètre r et dépaisseur dr Ce volume de matière élémentaire a pour masse : G y z x R h r dr Le moment dinertie I GZ sécrit : On fait intervenir ma masse dans lexpression de I GZ avec doù

15 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, z ). On considère un tube de diamètre r et dépaisseur dr Ce volume de matière élémentaire a pour masse : G y z x R h r dr Le moment dinertie I GZ sécrit : On fait intervenir ma masse dans lexpression de I GZ avec doù

16 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite) - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ). On détermine dabord le moment dinertie par rapport au plan ( x, G, y ). y z R G On choisit pour volume de matière élémentaire, le disque de rayon R et dépaisseur dz. Le moment dinertie sécrit : h/2 x

17 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite) - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ). y z R On fait intervenir ma masse dans lexpression de avec G zz dz Il sécrit :doù : On détermine dabord le moment dinertie par rapport au plan ( x, G, y ). On choisit pour volume de matière élémentaire, le disque de rayon R et dépaisseur dz. Le moment dinertie sécrit : h/2 x

18 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite) - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ). y z R G zz dz On détermine ensuite On note que Or par raison de symétrie de révolution, doù h/2 x

19 1-9-3 Inertie dun parallélépipède rectangle Application au cas dun parallélépipède rectangle. En déduire lopérateur dinertie exprimé au centre de gravité. G y z x a b c Recherche des moments dinertie par rapport aux trois plans parallèles aux axes du repère et passant par G. Pour le plan (x, G, y), on extrude un rectangle de section a b entre –c/2 et +c/2. On obtient : Pour le plan (y, G, z), on extrude un rectangle de section b c entre –a/2 et +a/2. On obtient : Pour le plan (z, G, x), on extrude un rectangle de section c a entre –b/2 et +b/2. On obtient :

20 2-62 Inertie dun parallélépipède rectangle (suite) Application au cas dun parallélépipède rectangle. En déduire lopérateur dinertie exprimé au centre de gravité. G y z x a b c Recherche des moments dinertie par rapport aux trois axes passant par G. Pour laxe (G, x), On obtient : Pour laxe (G, y), On obtient : Pour laxe (G, z), On obtient :

21 1-9-3 Inertie dun parallélépipède rectangle (suite) Application au cas dun parallélépipède rectangle. En déduire lopérateur dinertie exprimé au centre de gravité. G y z x a b c On en déduit la diagonale de la matrice dinertie I (G,S) B0 Puis les produits dinertie : On remarque que les trois plan du repère sont plan de symétrie. Les produits dinertie sont donc nuls.

22 1-9-4 Inertie d'une sphère Déterminer l'opérateur d'inertie d'une sphère de rayon R par rapport à un repère situé en son centre G. G y z x R r dr On remarque que tous les points situés sur une sphère dépaisseur dr, de rayon r et centrée en G sont équidistants du centre G. On cherche donc le moment dinertie par rapport au point G. avec : On fait intervenir la masse dans lexpression de avec

23 2-63 Inertie d'une sphère Déterminer l'opérateur d'inertie d'une sphère de rayon R par rapport à un repère situé en son centre G. G z R r dr On remarque une symétrie sphérique On note les plans de symétrie qui annulent les produits dinertie I (G,S) B0 y x

24 1-9-5 Inertie d'une sphère En déduire l'inertie I du solide ci contre constitué de deux sphères identiques de masse M et de rayon R par rapport à laxe (G 1, y ) G1G1 x y G G2G2 Le moment dinertie de la première sphère par rapport à laxe (G 1, y ) On applique Huygens pour déterminer le moment dinertie de la première sphère par rapport à laxe (G, y ) Pour lautre sphère le résultat est le même. On en déduit que pour lensemble des deux sphères

25 Fin


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