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1 TECHNIQUES QUANTITATIVES APPLIQUEES A LA FINANCE 4 e ANNEE spécialisation finance Lyonel BAINAUD.

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1 1 TECHNIQUES QUANTITATIVES APPLIQUEES A LA FINANCE 4 e ANNEE spécialisation finance Lyonel BAINAUD

2 2 Quelque sites de livres doccasion

3 3 I NOTIONS DE VARIABLES ALEATOIRES –introduction –A) Distributions ou lois de probabilité –B) Fonction de répartition dune variable aléatoire –C) Les principaux indicateurs de variables aléatoires –D) Couples de variables aléatoires II LES DISTRIBUTIONS OU LOIS DE PROBABILITE SPECIFIQUES –A) Les lois de probabilité discrètes –B) Les lois de probabilité continues –C) Les lois dérivées de la loi normale (importantes en économétrie).

4 4 I NOTIONS DE VARIABLES ALEATOIRES Le résultat dune expérience envisagée est un nombre réel, mais a priori inconnu, que lon appelle : VARIABLE ALEATOIRE, notée X. Exemple : lancer deux dés est une expérience aléatoire 36 événements possibles et équiprobables (1/36) Ω= {ω1;ω2;ω3;… ω36}={(1,1);(1,2);(1,3);…(6,6)} 11 résultats possibles X(Ω)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} avec X(ω1)=X(1,1)=2 X(ω2)=X(1,2)=3 X(ω3)=X(1,3)=4

5 5 Variable aléatoire discrète. –Une variable est dite discrète finie si ses résultats possibles sont finis (limités, cf jeu de 2 dés) –Une variable est dite discrète infinie si ses résultats possibles sont infinis dénombrables (illimités) Introduction (suite)

6 6 Variable aléatoire continue –Une variable aléatoire est dite continue si lensemble de ses résultats possibles forment un intervalle de valeurs –on na plus de nombres ponctuels et les résultats sont infiniment divisibles) Introduction (suite)

7 7 A) Distributions (ou lois) de probabilité Définition: –La distribution de probabilité dune variable aléatoire décrit comment sont réparties les probabilités en fonction des valeurs de la variable aléatoire –Les variables aléatoires discrètes et continues se différencient par le calcul des probabilités

8 8 A) Distributions de probabilité (suite 1) Cas discret –La distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x) –Donne la probabilité de chaque valeur que peut prendre la variable aléatoire –f(x)=proba(X=x) on la note p i avec –Exemple : Valeur de X Proba(X=x)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36

9 9 A) Distributions de probabilité (suite 2) Cas continu –La distribution de probabilité est définie par une fonction de densité de probabilité notée f(x) (équivalent en continu de la fonction de proba. dans le cas discret) –Ne fournit pas directement les probabilités –Cest laire sous le graphique de f(x) correspondant à un intervalle particulier qui donne la proba. pour quune VAC X prenne une valeur dans cet intervalle –On la note : Représentation graphique :

10 10 A) Distributions de probabilité (suite 3) Cas discret

11 11 A) Distributions de probabilité (suite 4) f(x) x ab Cas continu

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13 13 B) Fonction de répartition dune variable aléatoire Définition La probabilité pour que X soit inférieure ou égale à une valeur x, notée F(x)=P(Xx), est la fonction de répartition dune variable aléatoire X. Elle est toujours définie sur lintervalle [0;1] Cas dune VA discrète –Ecriture Cas dune VA continue : –Ecriture : Représentation graphique

14 14 B) Fonction de répartition dune variable aléatoire (suite1) Valeur de X Proba(X= x) 1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36 P(Xx) 1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3634/361 Cas discret

15 15 B) Fonction de répartition dune variable aléatoire (suite 2) Cas continu

16 16 C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (1) Les lois (ou distributions) de probabilité se caractérisent par 3 caractéristiques fondamentales : –La tendance centrale (lespérance mathématique) –La dispersion(la variance et lécart-type) –La forme (lasymétrie et laplatissement)

17 17 C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (2) Lespérance mathématique dune VA X, appelée encore moyenne ou valeur moyenne de X, notée μ –Cas discret –Cas continu –Exemple cas discret (dés) : E(X)=2*1/36+3*2/36+4*3/36+5*4/36+6*5/36+7*6/36+8 *5/36+9*4/36+10*3/36+11*2/36+12*1/36=7

18 18 C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (3) La variance dune VA X est lespérance mathématique du carré de la VA centrée (associée à X) et sécrit : –Propriété : Lécart type dune VA X se définit comme la racine carré de la variance de cette VA : VA centrée

19 19 C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (4) –Cas discret : –Cas continu : –Ecart-type dans les 2 cas :

20 20 C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (5) Les caractéristiques de forme dune distribution de probabilité (TRES IMPORTANT EN FINANCE) –La skewness étudie lasymétrie de la distribution par rapport à la moyenne Le coefficient de skewness mesure le degré dasymétrie de la distribution :

21 21 –Coefficient dasymétrie nul (S=0): la distribution est symétrique (cas loi normale) x f(x)

22 22 –Coefficient dasymétrie positif (S>0): la distribution est asymétrique à droite (queue de distribution étalée vers la droite) Queue étalée vers la droite : trop de données observées sur la droite par rapport « à la normale » x f(x)

23 23 –Coefficient dasymétrie négatif (S<0): la distribution est asymétrique à droite (queue de distribution étalée vers la gauche) Queue étalée vers la gauche : trop de données observées sur la gauche par rapport « à la normale » x f(x)

24 24 C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (5) –Le coefficient de Kurtosis (K) ou coefficient daplatissement est une mesure de laplatissement de la distribution de la série. –La KURTOSIS évalue la dispersion des valeurs « extrêmes » (queues de distribution=FAT TAILS) par référence à la loi normale –Le coefficient sécrit :

25 25 C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (6) –Si K>0 alors la distribution est élevée par rapport à la distribution normale (leptokurtique). On dit également que la distribution est à queue épaisse. PRESENCE DE VALEURS EXTREMES =cas rentabilité des actions – Si K<0 alors la distribution est aplatie par rapport à la distribution normale (platikurtique). –Si K=0 alors la distribution est normale

26 26 -Courbes platikurtique, leptokurtique et normale Courbe normale Courbe leptokurtique Courbe platikurtique x f(x) Queue épaisse Cas société généralegénérale

27 27 D) Couples de variables aléatoires Considérons un couple de variables aléatoires défini de la manière suivante : –Z = aX+bY Propriétés de lespérance mathématique

28 28 D) Couples de variables aléatoires (2) Notion de covariance et de corrélation –Quand on travaille avec un couple de variables aléatoire, on doit automatiquement étudier la relation entre les deux variables = la covariance/corrélation –La covariance de X et Y sécrit :

29 29 D) Couples de variables aléatoires (3) –Propriétés de la covariance Propriétés générales Si X et Y sont indépendantes alors –Cas particulier si « c » est une constante alors Si X et Y ne sont pas indépendantes alors

30 30 D) Couples de variables aléatoires (3) On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le rapport suivant : –Il est donc nul quand X et Y sont indépendantes –Il est donc nul quand on étudie X et une constante « c »

31 31 D) Couples de variables aléatoires (4) Propriétés de la variance (et écart-type) dune VA et dun couple de VA –Pour une constante on a –Pour un couple de VA on a –Si X et Y sont indépendantes le terme Cov(X,Y) est nul

32 32 II LES DISTRIBUTIONS OU LOIS DE PROBABILITE SPECIFIQUES A) Les lois de probabilité discrètes B) Les lois de probabilité continues C) Les lois dérivées de la loi normale (importantes en économétrie).

33 33 A) Les lois de probabilité discrètes Loi de Bernoulli Loi Binomiale (utilisée en finance pour les options) Loi géométrique Loi uniforme discrète Loi de poisson

34 34 B) Les lois de probabilité continues Loi uniforme continue Loi exponentielle Loi gamma Loi bêta Loi logistique Loi de Cauchy …

35 35 B) Les lois de probabilité continues (2) Loi normale (loi normale gaussienne ou loi de Laplace-Gauss) : une loi fondamentale –On dit quune VA X, prenant nimporte quelle valeur, suit une loi normale (standard) de moyenne μ et décart-type σ avec la densité de probabilité : –On la note : X~N(μ, σ) et est représentée par une « courbe en cloche » avec un axe de symétrie verticale au point X = μ

36 36 B) Les lois de probabilité continues (3) –Représentation graphique de la loi normale

37 37 B) Les lois de probabilité continues (4) –Cas particulier la loi normale centrée réduite On dit quune VA X suit une normale Centrée Réduite lorsque sa moyenne est nulle et son écart-type de 1 et sa densité de probabilité est donnée par : –On la note : X~N(0,1) et est représentée par une « courbe en cloche » avec un axe de symétrie verticale au point X = 0 –Sa skewness et sa kurtosis sont nulles

38 38 C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS La loi du Khi-deux –Soit X une VA suivant une loi normale centrée réduite. –Alors le carrée cette VA, Y=X 2, suit une loi du khi deux avec 1 degré de liberté. On la note :

39 39 C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS (2) –GENERALISATION : Soit X 1, X 2 …X n une suite de n VA indépendantes suivant une loi normale centrée réduite. Alors le carrée la somme du carré de ces VA, notée Z, suit une loi du khi deux avec n degré de liberté. On la note :

40 40 C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS (3) La loi de Student (très importante en économétrie) –Soit X et Z deux VA indépendantes –X suit une loi normale centrée réduite : X~N(0,1) –Z suit une loi du khi-deux notée Z~χ(n) –Alors on dit que le ratio : suit une loi de Student à n degrés de liberté notée T~t(n). Cette loi est tabulée

41 41 C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS (4) La loi de Fisher-Snedecor (très importante en économétrie) –Soit Z 1, une VA qui suit une loi du khi-deux notée Z 1 ~χ(n 1 ) –Soit Z 2, une VA qui suit une loi du khi-deux notée Z 2 ~χ(n 2 ) –Z 1 et Z 2 sont deux VA indépendantes –Alors on dit que le rapport : suit une loi de Fisher-S. à n 1 et n 2 DDL notée F~F(n 1,n 2 ) Cette loi est tabulée

42 42 III APPLICATIONS A LA FINANCE En gestion, sciences économiques et finance, on cherche à disposer de modèles pour analyser, prévoir et décider A partir dun ensemble de données limitées dun phénomène, on cherche à déterminer une représentation globale du phénomène Autrement dit, à partir des informations données par un échantillon représentatif dune population, on déduit la (ou les) principales caractéristiques de la population en question. Cest lINFERENCE STATISTIQUE.

43 43 Introduction « En finance, la plupart des données se présentent sous la forme de séries temporelles. (…)Une série temporelle est un ensemble dobservations qui portent toutes sur un même concept, mais à des dates successives On suppose quà chaque période, la donnée observée est une réalisation (unique) dune VA spécifique et lensemble de VA considérées sur les périodes successives forme un processus stochastique. Une série temporelle est une réalisation dun processus stochastique, au sens où chaque donnée de la série est la réalisation de lune des VA qui composent le processus stochastique». Eric DOR (2004), Econométrie, Pearson, p7.

44 44 Introduction Le statisticien (ou léconomètre) et le temps temps t1T+nT+(n+1) Anticipation Observation des réalisations Prévision

45 45 A) Rentabilité dun actif unique Définition du taux de rentabilité (Holding Period Return or rate of return) Taux de rentabilité HPR Taux de plus-value (gain en capital) Taux de rendement Dividend yield (gain en dividende)

46 46 A) Rentabilité dun actif unique (2) Moyenne (ou espérance mathématique) du taux de rentabilité Estimation de la moyenne –Lobservation de réalisations successives de la rentabilité dun titre sur T périodes nous permet de calculer une estimation de sa moyenne. –Aussi, on sattend à ce que la distribution des rendements passés nous donne une représentation du futur. –Lestimateur de cette moyenne est la moyenne arithmétique des taux de rentabilité :

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