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Cours 3 1.3 COORDONNÉES DES POINTS 1. 2 Au dernier cours, nous avons vus Les ensembles de vecteurs linéairement indépendants. Une base dun espace vectoriel.

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1 cours COORDONNÉES DES POINTS 1

2 2 Au dernier cours, nous avons vus Les ensembles de vecteurs linéairement indépendants. Une base dun espace vectoriel. La dimension dun espace vectoriel. Les composantes dun vecteur par rapport à une base ordonnée.

3 Aujourdhui, nous allons voir 3 Comment localiser des points à laide dun repère. Comment trouver le barycentre de plusieurs points. Lorientation dune base.

4 4 Définition: Un repère dun espace affine est un couple dorigine et est une base ordonnée pour les vecteurs de. où est un point de appelé le point Soit, un point de, les coordonnées de relatives au repère sont les composantes du vecteur selon la base.

5 55

6 6 Ici, on voit quil semble y avoir ambiguïté entre vecteur et point. On aimerait mettre Mais Habituellement, le contexte fait en sorte quil ny a pas dambiguïté.

7 7 Soit, un espace vectoriel de dimension pour lequel on a fixé une base ordonnée. Cest pour cette raison quon identifie La droite Lespace Le plan

8 8 Si on connaît les composantes du point A et celles du vecteur, alors on peut trouver les composantes du point B comme suit: Opérations sur les coordonnées et les composantes

9 9 On peut jouer avec cette dernière égalité pour trouver: 1) 2) 3) Donc, les composantes dun vecteur sont les coordonnées du point final moins celles du point initial.

10 10 Exemple: Fixons une base et supposons connues les composantes du vecteur et les coordonnées des points A et D par rapport à un repère donné.

11 11 Faites les exercices suivants p.34 # 1 à 4

12 12 Exemple: Supposons quon ait trois points dans lespace et que lon veuille savoir sils sont sur la même droite. Sils sont sur la même droite, Car alors il faut nécessairement que Donc non, ils ne sont pas colinéaires car

13 13 Exemple: Supposons quon ait trois points dans lespace et quon cherche le point déquilibre statique. Cest-à-dire

14 14 Définition: dun espace affine muni dun Le barycentre dun ensemble de points repère est le point pour lequel et les coordonnées du point sont données par

15 15 Faites les exercices suivants p.36 # 7a), 8a), 9a), 10 et 11

16 16 Définition: Une base orthonormée est une base dont tous les vecteurs sont 1) de longueur 1 2) deux à deux orthogonaux. Un repère orthonormé est un repère dont la base est orthonormée. Pour pouvoir parler de base orthonormée, il faut que langle entre deux vecteurs ait un sens. Remarque:

17 17 Dès quon est en présence dune base ordonnée et orthonormée, il est très commun dutiliser les lettres: et pour et pour, Auquel cas lordre alphabétique concorde avec lordre de la base. Il nest donc pas nécessaire de spécifier lordre. ou pour

18 18 On a donc dans

19 19 Orienté positivementOrienté négativement

20 20 Dans Orientation positiveOrientation négative

21 21 Ruban de Möbius Pas dorientation possible!

22 22 Les bases orthonormées vont être nos bases de prédilection. À partir de maintenant, sauf indication contraire, dès quon parle dune base, on sous-entend une base ordonnée, orthonormée et orientée positivement.

23 23 Faites les exercices suivants p.36 # 16 à 19

24 24 Aujourdhui, nous avons vu La définition dun repère. La définition du barycentre et la façon de le calculer. La définition de repère orthonormé. Lorientation dun repère.

25 25 Devoir: p. 35 # 1 à 20


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