La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Formes.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Formes."— Transcription de la présentation:

1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Formes des nombres complexes Formes des nombres complexes S Cliquer pour la suite. Revenir à la diapositive précédente. Aller à la diapositive suivante. Légende

2 Les nombres complexes ont une particularité intéressante : on peut les exprimer sous diverses formes. Dans la présentation précédente, nous avons vu la forme rectangulaire (ou cartésienne) des nombres complexes, mais on peut également les représenter sous forme trigonométrique, polaire et exponentielle. Introduction Nous avons présenté la forme polaire d’un vecteur de R2 R2 au chapitre 6. La forme polaire des nombres complexes s’obtient de la même façon. Cependant, sur les nombres complexes, on peut définir des opérations qui n’existent pas sur les vecteurs. Voyons ces différentes formes plus en détail.

3 DÉFINITION Argument d’un nombre complexe Soit z = a + bi, un nombre complexe qui fait un angle  avec la direction positive de l’axe des réels.  = arctan b a ; on a  =  si a > 0  si a < 0 90°si a = 0 et b > 0 –90° si a = 0 et b < 0 L’argument de z, noté arg z ou simplement ,, est l’angle, orienté à la manière trigonomé- trique, que le vecteur fait avec la direction positive de l’axe des réels. Il est défini à l’aide de : 

4 On peut exprimer tout nombre complexe en fonction de son module et de son argument. En effet, dans le triangle rectangle formé, on a : a = r cos  et b = r sin  Par substitution on obtient : z = a + ib = r cos  + i r sin  = r (cos  + i sin )) Forme trigonométrique Forme trigonométrique d’un nombre complexe L’expression : z = r (cos  + i sin )) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe. On constate que le nombre est décrit seulement par son module et son argument. On utilise également la notation condensée z = r cis  pour représenter la forme trigonométrique. DÉFINITION Grâce à la définition de cos  et de sin  sur le cercle trigonomé- trique, ces formules sont valides pour tout angle ..

5 En effet, l’abscisse et l’ordonnée des points sur le cercle trigono- métrique sont respectivement le cosinus et le sinus de l’angle que le rayon aboutissant en ce point fait avec la direction positive de l’axe horizontal. Dans les exemples et les exercices, nous utiliserons beaucoup les valeurs trigonométriques des angles remarquables que l’on obtient facilement sur le cercle trigonométrique. Rappel de trigonométrie (1; 0) (0; 1) (–1; 0) (0; –1) 3( /2; 1/2) 3 (1/2; /2) 2( /2; /2)2 30° 45° 60° 3 (–1/2; /2) 2(– /2; /2)2 3(– /2; 1/2) 3(– /2; –1/2) 2(– /2;– /2)2 3 (–1/2;– /2) 3 (1/2;– /2) 2( /2;– /2)2 3 ( /2; –1/2)

6 Exemple S Exprimer sous forme trigonométrique le nombre z = –2 Le module du nombre complexe est : De plus :  = arctan et :  =  + 180° = 150°, car la représentation graphique permet de constater que 90° <  < 180°. La forme trigonométrique est donc : z = 4(cos 150° + i sin 150°) = 4 cis 150° 3 + 2i. + 2 r = z = 2 – 2 3 = arctan –1 = –30° – === 4   3

7 Exemple S Représenter graphiquement le nombre complexe : z = 3(cos 3π/4 + i sin 3π/4) et trouver sa forme rectangulaire. Pour représenter graphiquement le nombre z, on trace un vecteur de longueur 3 et d’argument 3π/4 rad, ce qui donne la représentation ci-contre. – 2 z = 3(cos 3π/4 + i sin 3π/4) = i 2 2 –3 2 = 2 + i  Pour trouver la forme rectangulaire, il faut d’abord évaluer le cosinus et le sinus de l’argument de z; on obtient ainsi :

8 Exemple S Représenter graphiquement le nombre complexe : z = –3 + 5i5i et trouver sa forme trigonométrique. S Pour représenter graphiquement le nombre z, on trace un vecteur dont l’origine est (0; 0) et dont l’extrémité est (–3; 5). Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant :  = –1,03 + π = 2,11 rad (–3) r = z = 34= = 5,83  = arctan 5 3 = –1,03 rad– La forme trigonométrique est : z = 5,83(cos 2,11 + i sin 2,11)  

9 Égalité sous forme trigonométrique S Représentons graphiquement le nom- bre : 4(cos 30° + i sin 30°) On doit nécessairement tenir compte de cette caractéristique lorsque deux nombres complexes sous forme trigonométrique sont égaux. Faisons effectuer un tour supplé- mentaire au rayon vecteur. Ces deux nombres sous forme trigo- nométrique sont représentés par le même vecteur. Ils sont donc égaux. 30° 390° De plus, en exprimant ces deux nombres en coordonnées rectangulaires, on obtient la même expression, soit : 4( 3 /2 + i/2) = i On obtient le nombre complexe : 4(cos 390° + i sin 390°)

10 Égalité sous forme trigonométrique S Égalité de nombres complexes (forme trigonométrique) Soit z1 z1 = r 1 (cos  1 + i sin  1 ) et z 2 = r 2 (cos  2 + i sin  2 ), deux nombres complexes sous forme trigonométrique. Alors, z1 z1 = z2 z2 si et seulement si : r1 r1 = r2 r2 et  1 =  2 + 2kπ, pour k  Z THÉORÈME Deux nombres complexes sous forme trigono- métrique sont égaux s’ils ont le même module et si la différence de leurs arguments est égale à un multiple entier de 360° (ou 2π rad), puisque les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 360° (ou 2π rad). 2 2 1 1 = 2 2 + 2π

11 Un nombre complexe z = r (cos  + i sin  ) et son conjugué ont le même module r. De plus, si  est l’argument du nombre z, l’argument de son conjugué est –.–. Conjugué sous forme trigonométrique S Forme trigonométrique du conjugué Soit z = r (cos  + i sin  ), un nombre complexe sous forme trigonométrique. Le conjugué de z est alors : DÉFINITION z = r(cos(–  ) + i sin(–  )) De plus, comme= a – bi, on a :a + bi z = r(cos  – i sin )) z = r(cos(–  ) + i sin(–  )) z = r(cos  – i sin )) ou encore : Donc,  ––

12 Forme polaire Dans la forme trigonométrique des nombres complexes, les seuls paramètres sont le module et l’argument; il est donc suffisant de donner la valeur de ces paramètres pour caractériser un nombre complexe. Un nombre complexe z = r(cos  + i sin  ) pourra ainsi être présenté sous forme polaire et s’écrira : z = r  Le nombre est ainsi représenté par un vecteur de longueur r et d’argument . La forme polaire véhicule deux éléments d’information : le module et l’argument du nombre complexe. Pour multiplier ou diviser des nombres complexes sous forme polaire, il est suffisant de savoir comment combiner les modules et les arguments. Dans les théorèmes qui suivent, nous emploierons la forme trigonométrique pour démontrer comment effectuer ces opérations.

13 Produit sous forme polaire Soit z1 z1 = r 1  1 et z2 z2 = r 2  2, deux nombres complexes sous forme polaire. Le produit donne alors : z1z2z1z2 = (r 1  1 )(r 2  2 ) et, en exprimant sous forme trigonométrique; = [r 1 (cos  1 + i sin  1 )][r 2 (cos  2 + i sin  2 )], d’où : = r 1 r 2 [(cos  1 + i sin  1 )(cos  2 + i sin  2 )] = r 1 r 2 [(cos  1 cos  2 + i2 i2 sin  1 sin  2 ) + i (sin  1 cos  2 + cos  1 sin  2 )] = r 1 r 2 [(cos  1 cos  2 – sin  1 sin  2 ) + i (sin  1 cos  2 + cos  1 sin  2 )] z1z2 z1z2 = r 1 r 2 [cos (  1 +  2 ) + i sin (  1 +  2 )] Par les identités trigonométriques, on a alors : Et, en exprimant le résultat sous forme polaire, on obtient que le produit est : z1z2 z1z2 = r1r2 r1r2 (1 (1 + 2)2)

14 Produit de nombres complexes (forme polaire) THÉORÈME Produit sous forme polaire Soit z1 z1 = r 1  1 et z2 z2 = r 2  2, deux nombres complexes sous forme polaire. Le produit de ces nombres, noté z 1 z 2, est alors donné par : z1z2 z1z2 = r 1 r 2  (1 (1 + 2)2) Pour calculer le produit de deux nombres complexes sous forme polaire, il suffit de multiplier les modules et d’additionner les arguments. Cela signifie que l’effet du produit est une rotation qui accompagne une dilatation ou une compression. Calculons i2 i2 selon cette procédure. i2 i2 = i i = (1  90°)(1  90°) = 1  180° = 1(cos 180° + i sin 180°) = –1 + i0 = –1 i = 1 1 90° i2 i2 = 1 1 180° = –1

15 Exemple Soit z1 z1 = 3  30° et z2 z2 = 2 , deux nombres complexes sous forme polaire. Calculer le produit de ces nombres et les représenter graphiquement ainsi que le produit. Le produit se calcule en multipliant les modules et en additionnant les arguments. Cela donne : z1z2 z1z2 = (3  30°)(2  ) = 6  (30° + 120°) = 6  150° S Le produit est donc représenté par un vecteur de longueur 6 dont l’argument est 150°. 120° 150° 30°

16 Quotient sous forme polaire Soit z1 z1 = r 1  1 et z2 z2 = r 2  2, deux nombres complexes sous forme polaire. Le quotient de ces nombres donne alors : z1z1 z2z2 On obtient donc que le quotient est : = r 1  1 r 2  2 = r 1  1 r 2  2  1 ––2)2) ––2)2) = r 1  1 – 2)2) r 2  2 – 2)2) = r 1  1 – 2)2) r 2  r1r1 r2r2 =  1 – 2)2) z1z1 z2z2 = r1r1 r2r2  1 – 2)2) En effet, r 2  = r2 r2 (cos 0 + i sin 0)  = r 2 (1 + 0i) = r2r2

17 Quotient de nombres complexes (forme polaire) THÉORÈME Quotient sous forme polaire Soit z1 z1 = r 1  1 et z2 z2 = r 2  2, deux nombres complexes sous forme polaire. Le quotient de ces nombres, noté z 1 z 2, est alors donné par : Pour calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme polaire, il suffit de diviser les modules et de soustraire les arguments. Cela signifie que l’effet du quotient est une rotation qui accompagne une dilatation ou une compression selon que le module du diviseur est plus petit ou plus grand que celui du numérateur. z1z1 z2z2 = r1r1 r2r2  1 – 2)2)

18 Exemple Soit z1 z1 = 6  60° et z2 z2 = 2 , deux nombres complexes sous forme polaire. Calculer le quotient z 1 /z2 /z2 de ces nombres et les représenter graphiquement ainsi que le quotient. Le quotient se calcule en divisant les modules et en soustrayant les argu- ments. Cela donne : S Le quotient est donc représenté par un vecteur de longueur 3 dont l’argument est –60°. = 6 2  60° – 120°) z1z1 z2z2 = 6  60° 2  120° = 3  –60°) 60° –60° 120°

19 Exemple Soit z = 1,4 , un nombre complexe sous forme polaire. trouver z2z2, z 3, z 4 et z5 z5 représenter ces nombres graphiquement. Pour élever au carré, on effectue la multiplication du nombre par lui- même, ce qui donne : Pour élever au cube, on effectue la multiplication de z par z 2, ce qui donne : z 2 = z z z = (1,4  30°  (1,4  30°  = (1,4) 2  30° + 30°   1,4) 2   60° SS z 3 = z z2 z2 = (1,4  30°  (1,4) 2   60°  = (1,4) 3  30° + 60°   1,4) 3   90° Pour élever à la puissance quatre, on effectue la multiplication de z par z3,z3, ce qui donne : z 4 = z z3 z3 = (1,4  30°  (1,4) 3   90°  = (1,4) 4  30° + 90°   1,4) 4   120° S Pour élever à la puissance cinq, on effectue la multiplication de z par z4,z4, ce qui donne : z5z5 = z z4 z4 = (1,4  30°  (1,4) 4   120°  = (1,4) 5  30° + 120°   1,4) 5   150° S On peut poursuivre ainsi pour calculer d’autres puissances entières de z.z. On remarque que les vecteurs obtenus définissent la position de points sur une spirale logarithmique.

20 Exercice Utiliser la forme polaire pour effectuer les opérations et donner le résultat sous forme rectangulaire de l’expression suivante : En exprimant sous forme polaire, on a : SSSS (2 + 2i) 2 (1 + i 3 ) 3 3+ i) 6 ( (2 + 2i) 2 = (2 2 (1 + i 3 ) 3 = (2  60°    180°  45°    90°, 3 + i) 6 = (2  (–30°    (–180°) ( Cela donne : = (( 90°)(    180°)  (–180°) = 2323 23  (90° °) = 1  450° = 1  90° = 1(cos 90° + i sin 90°) = 1(0 + 1i) = i (2 + 2i) 2 (1 + i 3 ) 3 3+ i) 6 (

21 Théorème de Moivre THÉORÈME Puissance sous forme polaire Soit z = r , un nombre complexe sous forme polaire. Alors, pour tout n  Z : zn zn = rn rn  nn La démonstration du théorème de Moivre (voir la note historique, p. 236) se fait par récurrence, méthode de preuve que nous ne présenterons pas ici. Nous allons donc admettre ce théorème sans démonstration et nous contenter de l’utiliser. Le théorème est valide pour tout exposant entier, ce qui inclut les puissances négatives. Remarque

22 Exemple Soit z = 2  30°, un nombre complexe sous forme polaire. a)a)Par le théorème de Moivre, on a : S a)a)Trouver z5 z5 et exprimer le résultat sous forme rectangulaire. b)b)Trouver z –3 et exprimer le résultat sous forme rectangulaire. z5 z5 55  150° En exprimant le résultat sous forme rectangulaire, on obtient : z5 z5 55  150° = 55 (cos 150° + i sin 150°) = 2525 – i 2 1 = – i24i24 = – i S b)b)Par le théorème de Moivre, on a : z –3  –3   (–90°) En exprimant le résultat sous forme rectangulaire, on obtient : z –3  –3   (–90°) =  –3  (cos (–90°) + i sin (–90°)) = [0 + i(–1)] = – i 8

23 Racines sous forme polaire Soit u, un nombre complexe. Par définition, un nombre complexe z est une racine n ième de u si et seulement si z n = u. On peut, en appliquant le théorème de Moivre et l’égalité des nombres complexes sous forme polaire (ou trigonométrique), calculer les racines n ièmes d’un nombre complexe sous forme polaire. Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 8  90°. On cherche un nombre z = r   tel que z3 z3 = u. Puisque z3 z3 = r3 r3 3 , par le théorème de Moivre, on doit résoudre l’équation : Pour illustrer ce propos, trouvons les racines cubiques de u = 8i. r3 r3 3  = 8  90° Par l’égalité des nombres complexes sous forme polaire, cela donne : r3r3 = 8 et 3  =  90° + k 360° On obtient ainsi : r r  = 2 et  = 90° + k 360° 3 = 30° + k 120°, pour k  Z. Représentons graphiquement les raci- nes et exprimons-les en coordonnées rectangulaires. z0 z0 =  2  30° = 2(cos 30° + i sin 30°) i 2 1 = 2= 3 + i En posant k = 0, on a : S En posant k = 1, on a : z1 z1 =  2  150° = 2(cos 150° + i sin 150°) – i 2 1 = 2 = – 3 + i En posant k = 2, on a : z2 z2 =  2  270° = 2(cos 270° + i sin 270°) = 2(0 – 1i) = –2i SSS En posant k = 3, on a : z3 z3 =  2  390° = 2(cos 390° + i sin 390°) = 2(cos 30° + i sin 30°) = z0z0 z1z1 z2z2 = z3z3 S On constate qu’il y a trois racines cubiques et qu’il suffit de prendre k = 0, 1, 2 pour les obtenir. 120° 2 30°

24 Extraction de racines pour extraire les racines n ièmes d’un nombre complexe 1.Écrire le nombre sous forme polaire : u = s  2.Considérer une racine z = r , tel que zn zn = r n  n  =  s  3.Calculer le module des racines, r n = s, d’où r = Procédure s. n 4.Calculer la forme générale de l’argument :  = ( ( + k 360°)/n, pour k = 0, 1, 2,..., n–1. 5.Écrire les racines z0, z0, z1, z1, z 2,..., z n–1 et représenter graphiquement si nécessaire.

25 Exemple Extraire les racines sixièmes de u = –64, représenter graphiquement. r6 r6 =  64 et r = 2. 6 6 = 180° + k 360°, ce qui donne  = 30° + k 60° pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Les racines sont : S z0 z0  30° = 3 + i S z1z1 z0z0 60° 30° 60° z2z2 z3z3 z4z4 z5z5 Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 64  180°. On cherche z = r r  tel que z6 z6 = r6 r6 6  =  64  180°, d’où : z1 z1  90° = 2i2i z2 z2  150° = – 3 + i z3 z3  210° = – 3 – i z4 z4  270° = –2i z2 z2  330° = 3 – i

26 Exercice Extraire les racines quatrièmes de u = 81, représenter graphique- ment. r4 r4 =  81 et r = 3. 4 4 = 0° + k360°, ce qui donne  = 0° + k 90° pour k = 0, 1, 2, 3. Les racines sont : S z0 z0  0° = 3(cos 0° + i sin 0°) = 3 Exprimons d’abord u sous forme polaire; on obtient u = 81  0°. On cherche z = r r  tel que z4 z4 = r4 r4 4  =  16  0°, d’où : z1 z1  90° = 3(cos 90° + i sin 90°) = 3i3i z2 z2  180° = 3(cos 180° + i sin 180°) = –3 z3 z3  270° = 3(cos 270° + i sin 270°) = –3i z0z0 z1z1 90° 3 z2z2 z3z3 On connaissait déjà les deux racines réelles de 81, il y a également deux racines imaginaires, soit 3i 3i et –3i. 90° Remarque

27 Forme exponentielle On peut, à l’aide du développement de Maclaurin, montrer que la fonction f(  ) = e i  peut s’exprimer sous la forme : e i  = cos  + i sin  que l’on appelle identité d’Euler. On déduit de cette égalité qu’un nombre complexe z = r  peut s’écrire : z = re i  C’est la forme exponentielle d’un nombre complexe. En écrivant –1 sous forme exponentielle, on obtient : –1 = 1e iπ d’où : e iπ + 1 = 0 Cette égalité, dont Euler était très fier, met en relation cinq constantes fondamentales des mathématiques, soit 0, 1, i, e et π.

28 On peut multiplier, diviser, élever à une puissance ou extraire les racines d’un nombre complexe sous forme exponentielle en adaptant les procédures à suivre sous forme polaire. Opérations sous forme exponentielle Soit z = re i  et u = re i , deux nombres complexes. Le produit de ces nombres est : zu = rs ei ei (  ) On remarque que les propriétés des exposants s’harmonisent tout naturellement avec les définitions des opérations sous forme polaire. Le quotient de ces nombres est : ei ei (  ) z u = r s La puissance n ième de z est : zn zn = rn rn e i nn La racine n ième de z est : z n r n = e i(  + 2kπ), pour k = 0, 1, 2, …, n–1.

29 Un des grands intérêts de la forme exponentielle, c’est la possibilité de définir le logarithme d’un nombre complexe. En effet : Logarithme sous forme exponentielle ln z = ln(re i  ) = ln r + ln(e i  ) = ln r + ii Par exemple, considérons le nombre complexe z = On remarque que le logarithme d’un nombre complexe z est également un nombre complexe dont la partie réelle est le logarithme du module de z (ln r) et dont la partie imaginaire est , l’argument de z exprimé en radians. Il est à noter de plus que, dans l’ensemble des complexes, le logarithme d’un nombre négatif est défini et que le logarithme d’un nombre n’est pas unique, compte tenu de l’égalité des nombres complexes sous forme polaire. Ainsi, 3 + i = 2e i π/2. Alors, ln z = 2 + i π/2 = 0,69… + i 1, –1 = eiπ eiπ = e 3iπ = e 5iπ. On a donc ln(–1) = ln (e iπ ) = iπ = 3,141…i. Cependant, ln (e 3iπ ) = 3iπ = 9,424…i, ln (e 5iπ ) = 5iπ = 15,707i.

30 Conclusion Les nombres complexes peuvent prendre diverses formes, rectangulaire, trigonométrique, polaire et exponentielle. Le théorème de Moivre indique comment élever un nombre complexe sous forme polaire à une puissance entière et, en jumelant ce théorème avec la définition d’égalité des nombres complexes sous forme polaire, on a développé une procédure d’extraction de la racine n ième d’un nombre complexe. On trouve alors n racines distinctes. C’est par la forme trigonométrique que s’effectue la transition de la forme rectangulaire à la forme polaire et inversement. En utilisant la forme trigonométrique et quelques identités trigonométriques, on peut déterminer des procédures efficaces pour multiplier ou diviser des nombres complexes en exprimant ceux-ci sous forme polaire. Grâce à la forme exponentielle, on peut définir le logarithme d’un nombre complexe.

31 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 8.4, p. 237 no. 1 à 14 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 8.3, p. 228 à 236.


Télécharger ppt "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Formes."

Présentations similaires


Annonces Google