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Résoudre une équation du 1 er degré à une inconnue.

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1 Résoudre une équation du 1 er degré à une inconnue

2 Les équations du premier degré à une inconnue sont des équations dans lesquelles on ne retrouve qu’ Exemples: + 5 = 8 x 2 = 8 x = 8 a = 29 2x2x 4b = 51,2 2s + 5 = 3s - 29 = x 2 4 x Dans chacune de ces équations, il n’y a qu’une inconnue. Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui transformera l’équation en égalité. une seule inconnue.

3 Exemples: + 5 = 8 x ici, x = = 8 égalité 4b = 51,2 ici, b = 12,8 4 X 12,8 = 51,2 égalité Certaines équations sont faciles à résoudre, d’autres sont plus difficiles; mais elles répondent toutes aux mêmes règles algébriques. = x 2 4 x = 8 51,2 = 51,2 ici, x = 2,5 = 2,5 2 4 X 2, égalité 1,25 = 1,25

4 Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut d’abord bien saisir les termes de l’équation. Exemples: Dans l’équation: x + 3 = 8 On retrouve 3 termes: Chaque terme est séparé des autres par les signes d’addition ou de soustraction et le signe d’égalité. Dans l’équation: = x + 6 On retrouve 4 termes:

5 Exemples: Dans l’équation: 2 x = 8 On retrouve 2 termes: Dans l’équation: On retrouve 2 termes: 15 = 2 x Remarque: 2 x signifie 2 X x ; Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors qu’un seul terme. Remarque: 2 x = x X Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors qu’un seul terme.

6 16 = 2 x 3 x Exemple: Dans l’équation: On retrouve 3 termes: Remarque: Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication; les deux ne forment alors qu’un seul terme. 2 X 3 x 3 7 = 6x6x = 6x

7 Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut aussi bien saisir ce qu’est une équation. Une balance est une image qui représente bien une égalité ou une équation. = On peut déposer les quantités que l’on veut de chaque côté, mais les opérations doivent être équivalentes afin de garder l’équilibre de la balance. Exemples: X 210 ÷ X 612 x x4x 28 Avec une égalité ou une équation, il faut donc toujours penser à garder l’équilibre, c’est-à-dire, garder les mêmes quantités de chaque côté.

8 = X = 15 On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.

9 = 2 X 612 ÷ 2 = 6 6 On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.

10 = x On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = x 5

11 = 4 x = x 7 C’est le principe général pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue. On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance.

12 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Attention: Une inconnue est complètement isolée quand: x - le numérateur du coefficient est 1; - le dénominateur du coefficient est 1; - son exposant est 1; - elle est positive On l’écrit alors simplement comme ceci: x

13 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : + 3 = 8 x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie: quel est le nombre qui, augmenté de 3, donne 8 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc diminuer l’expression + 3 = 8 x - 3 Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également soustraire la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que: x + 0 = = 8égalité Validation: soit x = 5 x + 3 = 8 inconnue isolée de 3.

14 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : - 4 = 9 x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie: quel est le nombre qui, diminué de 4, donne 9 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc augmenter l’expression - 4 = 9 x + 4 Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également additionner la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que: x + 0 = – 4 = 9égalité Validation: soit x = 13 x – 4 = 9 inconnue isolée de 4.

15 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : = 8 2x2x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie: quel est le nombre qui, multiplié par 2, donne 8 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc diviser le terme par 2. = 8 2x2x Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également diviser la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que: 2 X 4 = 8 égalité Validation: soit x = 4 2 x = 8 inconnue isolée 22 2 x = 8 22

16 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie: quel est le nombre qui, divisé par 5, donne 30 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc multiplier le terme par 5. Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également multiplier la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que: égalité Validation: soit x = 150 inconnue isolée x = XX 5 x = XX 5 x = = 30 5

17 1) On peut soit annuler un terme qui accompagne le terme contenant l’inconnue. 2) On peut soit simplifier le terme contenant l’inconnue. Pour isoler une inconnue dans une équation, deux situations peuvent se produire. En résumé On le fait alors en utilisant les opérations:addition ou soustraction. On le fait alors en utilisant les opérations:multiplication ou division. + 3 = 8 x - 3 x = = 9 x + 4 x = 13 = 8 2x2x 22 x = 4 x = XX 5 x = 150

18 Trouve la valeur de l’inconnue dans les équations suivantes: x + 9 = x = 8 x - 9 = x = 26 x + 35 = x = 23 3 x = x = 8 -2 x = x = -10 1,5 x = 4,5 x = 3 Ici, il faut diviser par -2 car x doit être positif. 1,5 x = 23 2 X 2 2 X x = 46 -x = 20 4 X X x = -80 Ici, il faut multiplier par -4 car x doit être positif. x 2,3 = 5,1 2,3 X X 2,3 x = 11,73

19 Maintenant, vers l’infini et plus loin encore ! 2 x + 6 = 24 Priorités d’exécution: 2 x + 6 = x + 0 = 18 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 2 x = x = 9 Validation: 2 x + 6 = 24 2 X = 24 égalité 1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue. 24 = 24 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur.

20 3 x – 15 = 0 Priorités d’exécution: 3 x + 0 = 15 3 x = x = 5 Validation: 3 x - 15 = 0 3 X = 0 égalité 3 x – 15 = = 0 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue.

21 5a + 18 = 3 Priorités d’exécution: 5a + 0 = -15 5a = a = -3 Validation: 5a + 18 = 3 5 X = 3 égalité 5a + 18 = = 3 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue.

22 -9 x - 21 = 6 Priorités d’exécution: -9 x + 0 = x = x = -3 Validation: -9 X = 6 égalité -9 x - 21 = Ici, il faut diviser par -9 car x doit être positif -9 x - 21 = 6 6 = 6 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 1) On annule en premier le terme qui ne contient pas l’inconnue = 6

23 7 x = 4 x + 12 Règles: 3 x = ) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 3 x = x = 4 Validation: 7 X 4 = 4 X égalité 1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver que d’un seul côté du signe =. 7 x = 4 x x 7 x = 4 x = 28 Certaines situations créent des équations dans lesquelles l’inconnue se retrouve de chaque côté du signe égal. on annule le terme se trouvant de ce côté. Exemple: ici, on n’isole pas l’inconnue; Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation ( la balance), on doit également soustraire la même quantité de l’autre côté du signe égal.

24 1)Les termes contenant l’inconnue doivent se retrouver que d’un seul côté du signe égal 2 x + 12 = 20 6 x + 12 = 4 x + 20 Règles: 2 x + 0 = 8 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 2 x = x = 4 Validation: 6 X = 4 X égalité x + 12 = 4 x x 2 x + 12 = x + 12 = 4 x = 36 et de l’autre côté, les termes qui ne contiennent pas l’inconnue.

25 5 x - 17 = x + 4 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 4 x = x = 5,25 Validation: 5 X 5,25 – 17 = 5, égalité 9,25 = 9,25 5 x - 17 = x x - 17 = 4 4 x + 0 = x - 17 = x x 4 x - 17 = et de l’autre côté les termes qui ne contiennent pas l’inconnue. Règles: 1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver que d’un seul côté du signe =

26 3 x + 10 = 5 x x + 0 = 5 x x -2 x + 0 = Remarque: on peut regrouper les termes semblables d’un côté ou l’autre du signe = ou transférer les terme 6 à gauche et le terme 3 x à droite = 2 x + 0 on peut transférer le terme 10 à droite et le terme 5x à gauche puis isoler l’inconnue 4 = 2 x = x Les deux démarches sont bonnes puisqu’une équation est comme une balance. terme négatif terme positif puis isoler l’inconnue. -2 x = x = 2 Exemple: 3 x + 4 = 5 x x

27 3 ( t – 5 ) = 2 ( t + 2) Problème: 3 ( t – 5 ) = 2 ( t + 2) Ici, il faut commencer par développer l’équation. 3t – 15 = 2t + 4 Effectuer une simple distributivité: 3 t - 15 = 2 t t + 15 t = 19 isoler l’inconnue: 3 X tet3 X -5=2 X t et 2 X 2 t - 15 = ( t – 5 ) = 2 ( t + 2) signifie 3 X ( t – 5 ) = 2 X ( t + 2) Entre un nombre et une parenthèse, il y a toujours une multiplication. donc

28 -1 ( x - 2) Problème : -1 X x et -1 X -2 - x + 2 Règle:Lorsqu’il y a un signe négatif en avant d’une parenthèse, on change les signes des termes lorsqu’on enlève la parenthèse. - ( x – 2 ) 5 x – ( x – 2 ) = 18 Remarque: = -1( x – 2 ) + ( x – 2) = x – 2 - ( - x + 2 ) = x - 2 Règle:Lorsqu’il y a un signe positif en avant d’une parenthèse, on ne change pas les signes des termes lorsqu’on enlève la parenthèse. + ( - x + 2 ) = - x ( x – 2) = - x + 2

29 4 x + 2 = 18 Problème: 5 x – ( x - 2 ) = 18 Ici, il faut commencer par développer l’équation. Effectuer une simple distributivité: - 2 isoler l’inconnue: 5 x – ( x - 2 ) = 18 5 x – x + 2 = 18 4 x + 2 = 18 4 x = x = 4

30 Équation avec fractions Exemple: 2 x + 6 = 14 5 Les équations avec fractions semblent les plus difficiles à résoudre… Cependant, en utilisant un procédé d’équivalence, on peut résoudre ces équations facilement. Voici la démarche: 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2 x x + 6 = = X 5 = = 14 = 1 = 5 X ) Enlever les dénominateurs: 2 x + 30 = 70 si on enlève la même quantité de chaque côté de l’équation, on ne change pas l’équilibre de l’équation.

31 2 x + 30 = x + 0 = 40 2 x = x = 20 2 x + 6 = X + 6 = = 14 Preuve: 2 x + 30 = 70 2 X + 30 = = = = = 14 Les équations sont différentes mais elles sont équivalentes car la valeur de l’inconnue est la même. Validation: 20 L’équation 2 x + 30 = 70 est équivalente à l’équation2 x + 6 = 14 5

32 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs: Exemple: 4 3 s = s s - 6 = 15s + 4 3) Isoler l’inconnue: - 15s si on enlève la même quantité de chaque côté de l’équation, on ne change pas l’équilibre de l’équation. 20s – 6 = 15s + 4 5s - 6 = s + 0 = s = s = s - 6 = s + 4

33 Remarque: 4 3 s = s Il faut mettre toute l’équation sur le même dénominateur s - 6 = s s - 6 = s + 4 incorrec t correct 1 1

34 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs: Problème: 10a a 20 + = a 20 3) Isoler l’inconnue: si on enlève la même quantité de chaque côté de l’équation, on ne change pas l’équilibre de l’équation. 10a + 5a + 4a = 95 a 2 + a 4 + = 19 4 a 5 19a = a = 5 Ici, on peut regrouper ces 3 termes, car ils sont semblables.

35 + 4 = 4b (6b - 5) 2 (7b + 2) Problème: (7b + 2) 3 (6b - 5) 2 = 2 (7b + 2) 6 3 (6b - 5) 6 = car (7b + 2) 3 = 6 X 2 car (6b - 5) 2 = 6 X 3 2(7b + 2) = 3(6b - 5) 14b + 4 = 18b b = 4b 4,75 = b 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs: 3) Effectuer une simple distributivité: 4) Isoler l’inconnue: 4 4

36 + 5 = 17x (8x - 3) 5 (3x + 1) Problème: (3x + 1) 4 (8x - 3) 5 = 5 (3x + 1) 20 4 (8x - 3) 20 = car (3x + 1) 4 = 20 X 5 car (8x - 3) 5 = 20 X 4 5 (3x + 1 ) = 4 (8x – 3) 15x + 5 = 32x x = 17x 1 = x 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs: 3) Effectuer une simple distributivité: 4) Isoler l’inconnue: 17

37 C = 2 π r La même démarche peut être effectuée avec des formules. Exemple:Quelle est la mesure du rayon d’un cercle possédant une circonférence de 346 cm ? 2 π C = r Démarche numérique C = 2 π r 346 = 2 X π X r On cherche le rayon, alors on isole le rayon. 2 X π 55,07 ≈ r r ≈ 55,07 cm Démarche algébrique On cherche le rayon, alors on isole le rayon π = r 55,07 ≈ r r ≈ 55,07 cm

38 144 = b 2 Problème: c 2 = a 2 + b 2 Détermine la mesure de la cathète AC = b = 81 + b = b Démarche numérique: Démarche algébrique: c 2 = a 2 + b 2 - a 2 c 2 – a 2 = b 2 c 2 – a 2 b = b = b = b = A C B 9 ? a b c c 2 – a 2 b = b = 12 c 2 – a 2 = b

39 X 2 Dans la formule pour calculer l’aire d’un triangle isole la base. 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs: A = B X H X A = B X H 2 2 2A = BH 3) Isoler la base: H H 2A H = B A A = 1 = 2 X 2 2A

40 Dans les formules calculant la circonférence et l’aire d’un cercle, isole le rayon. C = 2 π rA = π r 2 2 π C = r π π π A = r 2 = r π A

41 2A = B + b h A = ( B + b ) X h 2 Dans la formule pour trouver l’aire d’un trapèze, isole la grande base (B). 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs: A = ( B + b ) X h A = (B + b) X h 3) Isoler la grande base (B): 2A = (B + b) X h h h ( ) 2A h = B + b - b 2A h - b = B Les parenthèses ne sont plus nécessaires.

42 Applications Savoir résoudre une équation est très important en mathématique. x f(x) Détermine la règle de cette situation = = = 5 x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = a : 1) On vérifie si la table de valeurs représente bien une fonction linéaire: 2) On détermine le taux de variation : a = 5 3) On détermine l’ordonnée à l’origine avec un couple et la forme théorique de la fonction linéaire : f( x ) = a x + b f( x ) = 5 x + b 27 = 5 X 3 + b avec ( 3, 27 ) 27 = 15 + b = b Règle : f( x ) = 5 x + 12

43 352 = 5 x + 12 x f(x) f( x ) = 5 x + 12 Détermine f(30) : f( x ) = 5 x + 12 f(30) = 5 X = 162 Détermine la valeur de x quand f( x ) = 352. Ici, il faut résoudre l’équation. f( x ) = 5 x = 5 x = 5 x = x simple calcul Réponse: x = 68 Réponse: f(30) = 162

44 x : la vitesse (km/h) f( x ) : le temps (h) Voici une table de valeurs représentant une fonction inversement proportionnelle. La règle est : f( x ) = 100 x Détermine f(8) : f( x ) = 100 x f(8) = = 12,5 simple calcul Réponse: f(8) = 12,5

45 x : la vitesse (km/h) f( x ) : le temps (h) Voici une table de valeurs représentant une fonction inversement proportionnelle. La règle est : f( x ) = 100 x Détermine la valeur de x quand f( x ) = 6,25 Ici, il faut résoudre l’équation. f( x ) = 100 x 6,25 = 100 x 6,25 = 100 x 1 situation de proportionnalité 6,25 x = 100 X 1 6,25 x = 100 6,25 x = 16 Réponse: x = 16

46 77 = 3 x = 3 x + 5 x f(x) Voici la règle représentant la table de valeurs ci-dessous: Complète cette table. f( x ) = 3 x + 5 f(3) = 3 X = f(29) = 3 X = f( x ) = 3 x = 3 x = 3 x = x 16 f( x ) = 3 x = 3 x = 3 x = x 24

47 Détermine la hauteur de ce prisme sachant que le volume est égal à 60 cm 3. 4 cm 5 cm? cm V = L l h 60 = 4 X 5 X h 3 = h 4 X 5 Démarche numérique :Démarche algébrique : V = L l h V = L X l X h L X l V = h L l 60 = h 4 X 5 3 = h Réponse: 3 cm On cherche la hauteur donc on isole la hauteur. h = 3 cm

48 5 m ? m Détermine la hauteur de ce cylindre sachant que son aire latérale est de 314,16 m 2. Aire latérale = 2πrh A = 2 X π X r X h On cherche la hauteur donc on isole la hauteur. A = 2 X π X r X h 2 X π X r A 2 π r = h 314,16 2 X π X 5 = h 314,16 10 π = h avec la calculatrice : 314,16 ÷ (10 π ) ≈ 10,000 ≈ 10 Réponse: ≈ 10 m Inscris le dénominateur entre parenthèses.

49 V = π r 2 h 3 Calcule le rayon de ce cône sachant que son volume est égal à 37,7 cm 3. ? cm 4 cm On cherche le rayon donc on isole le rayon. situation de proportionnalité 3 X V = π X r 2 X h π X h 3 X V = r 2 π X h 3 X 37,7 = r 2 π X 4 avec la calculatrice: 3 X 37,7 ÷ ( π X 4 ) ≈ 9,000 ≈ 9 9 ≈ r 2 3 ≈ rRéponse: ≈ 3 cm Inscris le dénominateur entre parenthèses.

50 L’avantage de l’algèbre Exemple: Démarche numérique: V cylindre : π r 2 h = V cône : π r 2 h 3 = 3 π X 6 2 X 10 Rapport : V cylindre V cône = 1 130,973 cm 3 376,991 cm 3 ≈ 3 Que vaut le rapport de volume d’un cylindre de 6 cm de rayon et de 10 cm de hauteur sur celui d’un cône ayant les mêmes mesures ? π X 6 2 X 10≈ 1 130,973 cm 3 ≈ 376,991 cm 3

51 L’avantage de l’algèbre Exemple: Que vaut le rapport de volume d’un cylindre de 6 cm de rayon et de 10 cm de hauteur sur celui d’un cône ayant les mêmes mesures ? Démarche algébrique: Rapport : V cylindre V cône = = π r 2 h 3 ÷ 3 = X 3 = 3 De plus, cette démarche algébrique est une excellente façon de démontrer l’énoncé : « Pour une même hauteur et un même rayon, le volume d’un cylindre est 3 fois plus grand que le volume d’un cône. »


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