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Fonction partie entière Résoudre léquation Remarque :Tu devrais visionner la présentation: « Fonction partie entière, graphique et règle.ppt » avant de.

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1 Fonction partie entière Résoudre léquation Remarque :Tu devrais visionner la présentation: « Fonction partie entière, graphique et règle.ppt » avant de visionner celle-ci.

2 Rappel On peut déterminer une valeur de f(x) en donnant une valeur à x. On pourrait dire quil sagit deffectuer un simple calcul. Exemple: Dans le graphique ci-dessous, que vaut f(x) quand x vaut ? Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées f(x) = 50 [ 0,001 x ] 0 0

3 Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées À la lecture du graphique, on peut constater que lorsque x = 2 500, f(x) = 100 f(x) = 50 [ 0,001 x ] 0 0

4 On peut calculer cette valeur en utilisant la règle. f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(2 500) = 50 [ 0,001 X ] f(2 500) = 50 [ 2,5 ] f(2 500) = 50 X 2 f(2 500) = 100 la partie entière seulement Au contraire, retrouver les valeurs de x quand on connaît une valeur de f(x), cest résoudre léquation. Il sagit donc, ici, deffectuer un simple calcul.

5 Exemple : On peut constater que lorsque f(x) = 200, x est compris entre [ 4 000, 5000 [ donc x [ 4 000, 5000 [. Dans le graphique ci-dessous, que vaut x quand f(x) vaut 200 ? Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées f(x) = 50 [ 0,001 x ] 0 0

6 On peut calculer cette valeur en utilisant la règle. f(x) = 50 [ 0,001 x ] 200 = 50 [ 0,001 x ] Retrouver les valeurs de x quand on connaît une valeur de f(x), cest résoudre léquation = [ 0,001 x ] 4 0,001 x < 5 0, x < Regardons de plus près comment résoudre ce type déquation.

7 Résoudre léquation. 200 = 50 [ 0,001 x ] 50 4 = [ 0,001 x ] 1)Il faut isoler, en premier, lexpression « partie entière » ( entre les crochets ). 2) Lexpression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure ou égale à lentier inférieur, ici = 50 [ 0,001 x ] donc 4 0,001 x0,001 x < 5et 3) On obtient ainsi deux inéquations à résoudre: 4 0,001 x x 0,001 x < 5 x < et inférieure à lentier supérieur, donc 5.

8 Résoudre léquation. 200 = 50 [ 0,001 x ] 4) En représentant ces deux inéquations sur une droite numérique: x x < et … … … … on sélectionne ce qui est commun aux deux inéquations ( lintersection ). Réponse: [ 4 000, [

9 Remarque: … … … … Comme lensemble-solution est lintersection de ces deux inéquations, on peut, pour résoudre cette équation, procéder comme suit: 4 0,001 x 0,001 x < 5 4 0,001 x < 5 0, x < soit x [ 4 000, [

10 Pratique Résous léquation suivante:425 = - 25 [ x ] )Il faut isoler, en premier, lexpression « partie entière » ( entre les crochets ). 425 = - 25 [ x ] = -25 [ x ] = [ x ] 2) Lexpression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure ou égale à lentier inférieur, ici 3 et inférieure à lentier supérieur, donc 4. donc3 x < 4 ou x [ 3, 4 [

11 - 3 = - 2 [ x ] + 1 1)Il faut isoler, en premier, lexpression « partie entière » ( entre les crochets ). -3 = - 2 [ x ] = - 2 [ x ] 2 = [ x ] 2) Lexpression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure ou égale à lentier inférieur, ici 2 et inférieure à lentier supérieur, donc 3. donc2 x < 3 ou - 2 Résous léquation suivante: x [ 2, 3 [

12 1)Il faut isoler, en premier, lexpression « partie entière » ( entre les crochets ). 2) Lexpression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure ou égale à lentier inférieur, ici 1 et inférieure à lentier supérieur, donc 2. donc1 2x – 4 < 2 Résous léquation suivante: 3 = 3 [ 2 ( x – 2 ) ] Attention :Avant de commencer la résolution, il faut penser à distribuer le facteur b à lintérieur de la parenthèse. 3 = 3 [ 2x – 4 ] = [ 2x – 4 ] Attention : Il faut finir disoler x x < ,5 x < 3oux [ 2,5, 3 [

13 1)Il faut isoler, en premier, lexpression « partie entière » ( entre les crochets ). 2) Lexpression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure à lentier inférieur, ici -2 et inférieure ou égale à lentier supérieur, donc -1. donc-2 -0,5x – 0,5 < -1 Résous léquation suivante: + 0,5 - 5 = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] - 2 = [ - 0,5x – 0,5 ] + 0,5 -1,5 -0,5x < - 0,5 -0,5 3 x > 1 1 < x 3 Attention Diviser par une quantité négative inverse les signes dinégalités. ou x ] 1, 3 ]

14 1)Il faut isoler, en premier, lexpression « partie entière » ( entre les crochets ). 2) Lexpression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure à lentier inférieur, ici 4 et inférieure ou égale à lentier supérieur, donc 5. donc4 2x + 4 < 5 Résous léquation suivante: - 4 4,5 = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5 4,5 = [ 2x + 4 ] + 0,5 4 = [ 2x + 4 ] x < x < 0,5 ou x [ 0 ; 0,5 [

15 1)Il faut isoler, en premier, lexpression « partie entière » ( entre les crochets ). 2) Lexpression « partie entière » ( entre les crochets ) doit être supérieure à lentier inférieur, ici 2 et inférieure ou égale à lentier supérieur, donc 3. Résous léquation suivante: 2 = 2 [ 1/3 ( x – 1 ) ] -2 2 = 2 [ 1/3x – 1/3 ] -2 4 = 2 [ 1/3x – 1/3 ] 2 = [ 1/3x – 1/3 ] 2 1/3x – 1/3 < 3 Écrire linéquation sur le même dénominateur, 6 1x – 1 < x < 10 ou x [ 7, 10 [ puis éliminer le dénominateur.

16 Pour déterminer les valeurs associées à une équation partie entière, on peut toujours utiliser le graphique mais ce dernier nest pas toujours le meilleur moyen. Procéder algébriquement en utilisant la règle de la fonction est souvent plus efficace.

17 Exemple: Que vaut f(x) quand x vaut ? f(x) = 150 Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées f(x) = 50 [ 0,001 x ] 0 0 Par le graphique Par la règle f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(3 500) = 50 [ 0,001 X ] f(3 500) = 50 [ 3,5 ] f(3 500) = 50 X 3 = 150 f(3 500) = 150

18 Exemple: Que vaut x quand f(x) vaut 250 ? x est compris entre [ 5 000, [ Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées f(x) = 50 [ 0,001 x ] 0 0 Par le graphique Par la règle f(x) = 50 [ 0,001 x ] 250 = 50 [ 0,001 x ] 50 5 = [ 0,001 x ] 5 0,001 x < 6 0, x < 6 000x [ 5 000, [ $

19 Exemple: Que vaut f(x) quand x vaut ? Que vaut x quand f(x) vaut 900 ? Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées f(x) = 50 [ 0,001 x ] 0 0 La règle permet de calculer dautres valeurs qui ne sont pas représentées par le graphique.

20 f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(15 600) = 50 [ 0,001 X ] 750 $ Que vaut f(x) quand x vaut ? Que vaut x quand f(x) vaut 900 ? 900 = 50 [ 0,001 x ] 18 = [ 0,001 x ] 18 0,001 x < x < x est compris entre [ , [ $ f(15 600) = 50 [ 15,6 ] f(15 600) = 50 X 15 = x [ , [ $

21 Problème Dans la fonction suivante f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] – 1 Détermine lordonnée à lorigine. f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] – 1 f(0) = 2 [ - 0,5 ( ) ] – 1 f(0) = 2 [ - 0,5 ( 1 ) ] – 1 f(0) = 2 [ - 0,5 ] – 1 f(0) = 2 X -1 – 1 f(0) = -3

22 Problème Dans la fonction suivante f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] + 4 Détermine les zéros. f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] + 4 f(x) = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] - 2 = [ - 0,5x – 0,5 ] ,5x – 0,5 < ,5 - 0,5x < - 0,5 3 x > 1 1 < x 3ouf(x) = 0 pour x ] 1, 3 ]

23 Problème A) Si 76 enfants sont inscrits au centre, combien danimateurs doit-on engager ? B) Si 8 animateurs sont en poste, combien denfants peuvent fréquenter le centre ? Variable indépendante (x) : le nombre denfants Variable dépendante (f(x)) : le nombre danimateurs. Écrivons la fonction dans lordre habituel: x 18 N(x) = + 2 Dans un centre de vacances, le nombre danimateurs est déterminé par la fonction N définie par N(x) = 2 + où x représente le nombre denfants inscrits. x 18

24 x N(x) = N(76) = + 2 A) Si 76 enfants sont inscrits au centre, combien danimateurs doit-on engager ? N(76) = [ 4, 2 ] + 2 N(76) = = 6 Réponse: 6 animateurs que la partie entière seulement.

25 x 18 N(x) = + 2 B) Si 8 animateurs sont en poste, combien denfants peuvent fréquenter le centre ? x 18 8 = = x 18 6 x < x < 126 Réponse: Il pourrait y avoir entre 108 et 125 enfants. Remarque: Il faut savoir interpréter un calcul. x [ 108, 126 [


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