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Un nombre A sécrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines.

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1 Un nombre A sécrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A, on obtient un nombre C. En permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D. Sachant que A – B = 27 et C – A = 540, 1) Calculer D – A. 1) On commence par traduire les relations de lénoncé Soit cdu lécriture décimale du nombre AA = 100c+ 10d + u On alors B= cud = 100 c + 10 u + d C= dcu = 100 d + 10 c + u D= udc = 100 u + 10 d + c A – B = 27 (100c+ 10d + u) – (100 c + 10 u + d) = 27 9d – 9u =27 d – u = 3d = u +3 C – A = 540 (100d + 10c + u) – (100c + 10d + u) = d – 90 c = 540 d – c = 6d = c + 6 Ces deux relations permettent de représenter les positions relatives de d, c et u Exercice 2 c u d 3 6

2 Un nombre A sécrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A, on obtient un nombre C. En permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D. Sachant que A – B = 27 et C – A = 540, 1) Calculer D – A. d = u +3 d = c + 6 Par suite D – A = (100 u + 10 d + c) – (100c+ 10d + u) = 99 u – 99 c = 99 ( u – c ) = 99 * 3 (voir schéma page précédente pour comprendre pourquoi u – c = 3) = 297 Exercice 2

3 Un nombre A sécrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A, on obtient un nombre C. En permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D. Sachant que A – B = 27 et C – A = 540, 1) Calculer D – A. 2) Montrer que A est un multiple de 3. 2) A = 100c+ 10d + u ( on choisit de tout exprimer par rapport à c par exemple) A = 100c + 10 (c+6) + (c+3) = 100c + 10c c + 3 = 111c + 63 = 3* 37c + 3*21 = 3*(37c+21)(37c+21 est un entier naturel) Donc A est un multiple de 3. Exercice 2

4 Un nombre A sécrit avec trois chiffres. En permutant ses chiffres des dizaines et des unités, on obtient un nombre B. En permutant les chiffres des dizaines et des centaines de A, on obtient un nombre C. En permutant les chiffres des unités et des centaines de A, on obtient un nombre D. Sachant que A – B = 27 et C – A = 540, 1) Calculer D – A. 2) Montrer que A est un multiple de 3. 3) Trouver A (donner toutes les solutions). 3) Les relations u = c+3, et d=c+6 qui traduisent lénoncé (+ schéma précédent) imposent : c peut être égal à 1, 2 ou 3 (car d=c+6, et d doit rester inférieur ou égal à 9) Solution 1 : c=1 et donc u = 4, d = 7doù A = 174 Solution 2 : c=2 et donc u = 5, d = 8doù A = 285 Solution 2 : c=3 et donc u = 6, d = 9doù A = 396 Exercice 2


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