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Roger Phan-Tan-Luu Université Paul Cézanne - France METHODOLOGIE DE LA RECHERCHE EXPERIMENTALE Méthodologie de la Recherche Expérimentale.

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1 Roger Phan-Tan-Luu Université Paul Cézanne - France METHODOLOGIE DE LA RECHERCHE EXPERIMENTALE Méthodologie de la Recherche Expérimentale

2 * Ce résultat doit nous apporter une information qui correspond bien à linformation demandée * Linformation ainsi obtenue doit être de bonne qualité, pour que nous puissions, à partir de celle-ci, prendre une décision avec un risque minimum

3 Cas ideal : il ny a pas derreur expérimentale Le résultat de la mesure nous donne Cas normal : lerreur expérimentale existe y i = I + e i Le résultat de la mesure ne nous donne que y y i est une estimation de i

4 * Pour améliorer la qualité de linformation obtenue, il suffit daugmenter le nombre dessais * Pour améliorer la qualité de linformation obtenue à partir du modèle, en plus de la qualité apportée par la mesure,il faudra aussi compter avec les conditions dexpérimentations

5 * Pour améliorer la qualité de linformation obtenue, il suffit daugmenter le nombre dessais Soit N essais répétés (honnêtement) y 1, y 2, …, y N Y moyen = y i /N Var (y moyen ) = 2 / N

6 * Pour améliorer la qualité de linformation obtenue à partir du modèle, en plus de la qualité apportée par la mesure,il faudra aussi compter avec les conditions dexpérimentations

7 Cas normal : lerreur expérimentale existe y 2 = x 2 + e 2 y 1 = x 1 + e 1 (y 2 - y 1 ) / (x 2 – x 1 ) = ( 2 + e – e 1 ) / (x 2 – x 1 ) = ( e 2 – e 1 ) / (x 2 – x 1 ) = ( ) / (x 2 – x 1 ) + (e 2 – e 1 ) / (x 2 – x 1 ) b 1 = 1 + (e 2 – e 1 ) / (x 2 – x 1 ) y i = i + e i = x i + e i

8 b 1 = 1 + (e 2 – e 1 ) / (x 2 – x 1 ) Pour obtenir une bonne estimation de 1 : b 1 1 Il faut et il suffit que : (e 2 – e 1 ) / (x 2 – x 1 ) 0 (x 2 – x 1 ) doit être le plus grand possible La qualité de linformation obtenue dépend de la position des points expérimentaux.

9 Y X y exp, 3 x1x1 y1y1 x6x6 y6y6 x7x7 y7y7 x2x2 y2y2 y calc, 3 y exp, 3 -y calc, 3 x3x3 y3y3 y5y5 x5x5 x4x4 y4y4 S. C. E = (y exp, i - y calc, i ) 2

10 L = (y i – 0 – 1 x i ) 2 Nb 0 + b 1 x i = y i b 0 x i + b 1 x i 2 = y i x i

11 b 0 = y moyen – b 1 x moyen b 1 = S xy / S xx S xy = y i (x i - x moyen ) 2 S xx = (x i - x moyen ) 2 Var(b 1 ) = Var (S xy / S xx ) = Var (S xy ) / S 2 xx Var(b 1 ) = Var ( y i (x i - x moyen ) 2 ) / S 2 xx Var ( y i (x i - x moyen ) 2 ) = 2 (x i - x moyen ) 2 Var (b 1 ) = 2 / S xx Var (b 0 ) = 2 [ 1/N + x moyen 2 / S xx ]

12 REPRESENTATION VECTORIELLE Définitions : Y : vecteur colonne de la réponse expérimentales y i Y' : { y 1, y 2,…… y N } : vecteur colonne de la réponse théoriques i ' : { 1, 2, ….. N }

13 REPRESENTATION VECTORIELLE suite : vecteur colonne des coefficients du modèle à estimer i ' : { 0, 1, 2, …. p } B : vecteur colonne des estimateurs b i B' : {b 0, b 1, b 2, …. b p } : vecteur colonne des erreurs expérimentales e i ' : {e 1, e 2,..... e N } Notation matricielle classique = X y = X +

14 METHODE DES MOINDRES CARRES La méthode des moindres carrés ne nécessite aucune hypothèse sur la distribution des erreurs expérimentales L = (Y – X ) (Y – X ) X'X B = X'Y B = (X'X) -1 X'Y si det (X'X) 0

15 METHODE DES MOINDRES CARRES Si la matrice (XX) nest pas singulière, nous obtenons le vecteur des estimations : B = (X'X) -1 X'Y XX : matrice dinformation (XX) -1 : matrice de dispersion Si le modèle y = X + est correct, B est une estimation non biaisée de,

16 MATRICE DE VARIANCE – COVARIANCE DE B Var [B ] = (XX) -1 2 Var [B ] : matrice de variance-covariance de B (XX) -1 : matrice de dispersion : { c ij } c jj : coefficient de variance La variance de lestimateur b j est obtenue en multipliant la variance de lerreur expérimentale 2 par le terme diagonal correspondant c jj de la matrice de dispersion var [b j ] = c jj 2 covar [b j, b i ] = c ji 2

17 matrice de dispersion (X'X) Var (B) = (X'X) -1 facteurs dinflation fonctions de variance plan dexpérimentation expérimentation Y B = (X'X) -1 X'Y tests statístiques REGRESSIONMULTILINEAIREREGRESSIONMULTILINEAIRE matrice dexpériences N modèle matrice du modèle X matrice d information X'X

18 La variance et la covariance dun estimateur dépendent seulement de: - la variance de l erreur expérimentale 2 - des éléments de la matrice de dispersion (XX) -1, * donc des éléments de la matrice dinformation (XX), * donc de la structure de la matrice dexpériences et de la forme analytique du modèle, La qualité des estimateurs est indépendante de la valeur des résultats expérimentaux (éléments du vecteur Y),

19 * Le modèle doit représenter au mieux lensemble des résultats expérimentaux * Le modèle doit nous permettre de faire, dans tout le domaine expérimental défini, une prévision de bonne qualité

20 Quelques critères a posteriori R 2 = 1 – (y i – y calc,i ) 2 / (y i – y moyen ) 2 R 2 : coefficient de détermination multiple R 2 A : coefficient de détermination multiple adjusté R 2 A = 1 – [ (y i – y calc,i ) 2 / (N – p)] / [ (y i – y moyen ) 2 / (N – 1)]

21 Analyse des résidus Résidus analyse graphique e i = y i - y calc, i

22 Résidus normés Les résidus normés ont une moyenne nulle et une variance approximativement égale à 1. r i = e i / s s : écart-type de la réponse e i : résidu au point i Si r i > 3 la valeur de la réponse au point i doit être examinée avec soin (erreur de transcription, artéfact, validité du modèle en ce point,…)

23 Au point i y calc, i = XB y calc, i = X(XX) -1 XY H = X(XX) -1 X (hat matrice) y calc, i = HY E : {e i, e i,..., e N } E = Y - Y calc E = Y – XB = Y – HY = (I - H)Y e i = (1 – d i ) y i Var (E) = Var [(I - H)Y] = (I – H) Var(Y) (I – H) Var (E) = 2 (I – H) Var (e i ) = 2 (1 – d i ) = (1 – d i ) 2 r i = e i / s (1 - d i ) Student-R

24 R-student s 2 (i) = [(N – p) s 2 - e i 2 / (1 - d i ) ] / (N - p -1) t i = e i / s 2 (i) (1 - d i ) si t i est très différent de r i, alors le point i a une grande influence sur le calcul des coefficients du modèle

25 r i = e i / s (1 - d i ) PRESS (Prediction Error Sum of Square) On fait la régression en enlevant le point i et en chacun des (N – 1) points on calcule Y calc, (i) au point i e (i) = y i - y calc, i La procédure est répétée pour chaque point (i : 1,., N) e (1), …e (i), … e (N) PRESS = e (i) 2 = [e i /(1 - d i )] 2

26 R 2 Prédiction R 2 prédiction = 1 – PRESS / y i 2

27 Ces critères permettent de choisir, de construire, un ensemble dexpériences qui nous apporteront les informations désirées avec une qualité acceptable.

28 Elaborer une stratégie expérimentale adéquate choisir une stratégie expérimentale adéquate

29 Cest une droite Est-ce une droite ? Une expérience apporte toujours une information Mais, cette information est-elle utile ?

30 Dominio de validación Cest une droite

31 Dominio de validación Est-ce une droite ? N = 2 Et si nous faisions 50 points ? 25 N = 50

32 Dominio de validación Est-ce une droite ? N = 2 N = 3 Toute linformation se trouve dans la distribution des points expérimentaux

33 Dominio de validación Cest une droite

34 var (b 1 ) = 2 / (x i – x moyen ) 2 (x i –x moyen ) 2 = (x 1 –x moyen ) (x j –x moyen ) 2 + (x n –x moyen ) 2 1 j n

35 Modéles linéaires, … * Nous voulons connaître les estimations des coefficients du modèle avec une qualité acceptable * Nous voulons connaître en nimporte quel point du domaine expérimental dintérêt, la valeur de la réponse étudiée avec une qualité acceptable

36 Modéles linéaires, … * Nous voulons connaître les estimations des coefficients du modèle avec une qualité acceptable * Nous voulons connaître en nimporte quel point du domaine expérimental dintérêt, la valeur de la réponse étudiée avec une qualité acceptable

37 Le criblage des facteurs Les études quantitatives des facteurs rechercher rapidement, parmi un ensemble de facteurs potentiellement influents, ceux qui le sont effectivement dans un domaine expérimental fixé. étudier les effets principaux et les effets dinteraction des facteurs.

38 Facteurs dinflation Le criblage des facteurs Les études quantitatives des facteurs Nous voulons connaître les estimations des coefficients du modèle : poids des facteurs, effets principaux et effets dintéraction,.. avec une qualité acceptable.

39 Modéles linéaires, … * Nous voulons connaître les estimations des coefficients du modèle avec une qualité acceptable * Nous voulons connaître en nimporte quel point du domaine expérimental dintérêt, la valeur de la réponse étudiée avec une qualité acceptable

40 Les études quantitatives des réponses Les mélanges Connaître en n'importe quel point du domaine expérimental d'intérêt la valeur d'une ou plusieurs réponses expérimentales. Connaissance d'une ou plusieurs propriétés, dépendant de la proportion de chaque constituant dans le mélange étudié.

41 Connaître en n'importe quel point du domaine expérimental d'intérêt la valeur d'une ou plusieurs réponses expérimentales Trouver, sil existe, le domaine dans lequel toutes les réponses expérimentales respectent les contraintes imposées par le cahier des charges zone de compromis acceptable Que voulons-nous ?

42 Le modèle doit bien représenter le phénomène étudié dans le domaine expérimental dintérêt Si cela est vérifié, il doit permettre de prévoir, en nimporte quel point de ce domaine expérimental dintérêt, la valeur de la réponse expérimentale étudiée avec une bonne qualité prévisionnelle Quelles doivent être les qualités du modèle ?

43 Si le modèle est vérifié, il doit permettre de prévoir, en nimporte quel point de ce domaine expérimental dintérêt, la valeur de la réponse expérimentale étudiée avec la même qualité que celle que nous aurions eue si nous avions fait lexpérience en ce même point. Que voulons nous ?

44 2750 g2500 g3000 g 360 sec 270 sec 2500 g A 180 sec Var (y exp,A ) = 2 Var (y calc,A ) = d A 2

45 Si le modèle est vérifié, il doit permettre de prévoir, en nimporte quel point de ce domaine expérimental dintérêt, la valeur de la réponse expérimentale étudiée avec la même qualité que celle que nous aurions eue si nous avions fait lexpérience en ce même point. Que voulons nous ? d Max 1

46 Les études quantitatives des réponses Les mélanges Fonction de variance maximale dans tout le domaine dintérêt d Max Connaître, en nimporte quel point du domaine expérimental dintérêt, la valeur de la réponse expérimentale étudiée avec une qualité acceptable.

47

48 Les expériences coûtent cher, prennent du temps, consomment des produits, de lénergie.... et en plus, ne sont pas importantes

49 Il ny a aucune information dans le résultat dune expérience ! Toute linformation se trouve dans la distribution des points expérimentaux

50 Comment savoir si lobjectif est atteint ? mesure réponse expérimentale

51 Description du problème Les objectifs Etablir la liste des réponses

52 Réponse expérimentale Qualités: pertinente, reproductible connue avec une précision acceptable. La réponse est un résultat et il nest pas possible dagir directement sur sa valeur SORTIE

53 REPONSES EXPERIMENTALES Etude dun procédé CVD tungstène vitesse de dépôt, résistivité, réflectance, adhésion, recouvrement, tension. Optimisation de la géométrie dune boîte de boisson résistance au choc, quantité daluminium, volume utile. Fabrication dun comprimé dureté, friabilité, indice de cohésion, granulométrie, rapport de transmission Catalyse par transfert de phase rendement de la réaction

54 Comment modifier la réponse expérimentale ? Il faut agir indirectement Facteurs ENTREE Lexpérimentateur peut agir directement sur la valeur que peut prendre un facteur contrôlé.

55 ENTREE SORTIE Phénomène Réponses Facteurs Granulométrie Friabilité Dureté Rapport de transmission Indice de cohésion - Liquide de mouillage - Temps de malaxage

56 Etablir la liste des facteurs étudiés non étudiés Etablir la liste des réponses Description du problème Les objectifs

57 Domaine de variation des facteurs L'ensemble des niveaux (ou états) que peut prendre un facteur, peut être défini : en extension tous les niveaux (ou états) sont énumérés en compréhension énoncé de propriétés caractéristiques

58 Facteurs qualitatifs Type de fruits secs : 40 % noisettes du Piémont noisettes turques amandes de Valence amandes de Sfax Type de matières grasses : 15 % beurre de cacao beurre concentré biscuitine toffita Type de produits de chocolat : 15 % chocolat noir chocolat au lait masse de cacao Type de produits / matière sèche : 30 % sucre glace lactosérum dextrose farine de soja E T U D E D U N CHOCOLATCHOCOLAT

59 Les différents états que peut prendre un facteur

60 Nous devons, avant toute expérimentation bien définir sa taille, sa forme, les possibilités d'extension, les discontinuités soupçonnées du phénomène... DOMAINE EXPERIMENTAL DINTERET Le domaine expérimental possible (ou domaine d'opérabilité) est le sous-ensemble du domaine des facteurs contenant les expériences réalisables. Dans la pratique, ce domaine est souvent lui-même réduit au domaine expérimental d'intérêt dans lequel nous recherchons les informations désirées.

61 Domaine expérimental dintérêt Etablir la liste des facteurs étudiés non étudiés Etablir la liste des réponses Description du problème Les objectifs

62 Nous devons faire des expériences Lesquelles ? Celles qui nous amènent les informations désirées Stratégie expérimentale

63 Elaborer une stratégie Etablir la liste des facteurs étudiés non étudiés Etablir la liste des réponses Description du problème Les objectifs Domaine expérimental dintérêt

64 Stratégie expérimentale Plan dexpériences Ensemble dexpériences dont la réalisation apporte des informations bien définies

65 Construire un plan dexpériences Etablir la liste des facteurs étudiés non étudiés Etablir la liste des réponses Description du problème Les objectifs Domaine expérimental dintérêt

66 Recherche exploratoire Elaborer une stratégie expérimentale adéquate choisir une stratégie expérimentale adéquate Criblage de facteurs Optimisation Etude quantitative de facteurs

67 La recherche exploratoire : cerner le domaine expérimental, s'assurer de la maîtrise du phénomène, choisir les grandeurs qui serviront de réponses et contrôler la répétabilité. Le criblage des facteurs : rechercher rapidement, parmi un ensemble de facteurs potentiellement influents, ceux qui le sont effectivement dans un domaine expérimental fixé. Les études quantitatives des facteurs : étudier les facteurs retenus d'une façon plus fine : interactions possibles entre les différents facteurs.

68 Les études quantitatives des réponses Rechercher l'optimum d'une ou plusieurs réponses expérimentales Connaître en n'importe quel point du domaine expérimental d'intérêt la valeur d'une ou plusieurs réponses expérimentales. Les mélanges : formulation = étude de l'influence des proportions de plusieurs constituants sur les manifestations d'un phénomène physico-chimique. Connaissance d'une ou plusieurs propriétés, dépendant de la proportion de chaque constituant dans le mélange étudié.


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