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1 Calculs de plaques fissurées avec XFEM Workshop « Méthodes Numériques Innovantes, Applications à la Mécanique », 23-24 juin 2008, INSA de Lyon Jérémie.

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1 1 Calculs de plaques fissurées avec XFEM Workshop « Méthodes Numériques Innovantes, Applications à la Mécanique », juin 2008, INSA de Lyon Jérémie Lasry, (IMT / INSA Toulouse) Directeurs : M. Salaün (ISAE) et Y. Renard (ICJ / INSA Lyon) Responsable scientifique Airbus : M. Balzano

2 2 INTRODUCTION

3 3 Insuffisances des éléments finis classiques en domaine fissuré 1. Contrainte au niveau du maillage Raffiner autour du fond de fissure R ler après propagation 2. Taux de convergence médiocre (même en e.f. ou ) : XFEM permet de pallier à ces inconvénients.

4 4 Caractéristiques dXFEM H : fonction « saut » (vaut ± 1) : singularités de fond de fissure Si propagation, seuls les ddl singuliers sont mis à jour. Éléments finis classiques Fonctions représentant la singularité Représentation de la fissure XFEM = MEF classique + fonctions de formes locales spécifiques qui représentent la fissure

5 XFEM en plaques 5 Cadre de travail : Fissures traversantes Matériau homogène isotrope, hypothèse des petites déformations et des petits déplacements problème linéaire Mécanique linéaire de la rupture, matériaux fragiles ( ductiles) Bibliographie : un seul article dXFEM en plaques (Moës & co., 1999) perte de précision si épaisseur mince.

6 6 Dimension industrielle : collaboration avec Airbus Amène de nouvelles contraintes : 1. Coût de calcul et complexité raisonnables (En vue : intégration dans un code de calcul) 2. La méthode doit être robuste même pour des plaques très minces (élancement = ).

7 Article Moës : modèle Mindlin-Reissner Modèle sujet au verrouillage numérique (éléments sans verrouillage : QUAD 4, DKT-DKQ, MITC 4, mixtes…). Exemple de verrouillage : XFEM Moës : MITC 4, singularités sans traitement => Nous pensons que ça produit aussi du verrouillage 7 Epaisseur = 1/10 Epaisseur = 1/20 Epaisseur = 1/30

8 8 Epaisseur x 20 XFEM moins précis que la méthode classique en cas dépaisseur mince Article Moës : résultat numérique Valeur à obtenir = 1 Il faudrait appliquer un traitement aux singularités

9 9 Question : quel traitement appliquer aux enrichissements singuliers ? Les fonctions singulières denrichissement doivent être exactes pour être efficaces : Sous-intégration (QUAD 4) => perte de précision Kirchhoff discret (DKT) et Projection (MITC 4) => non-applicables pour des fonctions non-polynomiales Polynômes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel) Aucun traitement nest vraiment satisfaisant. Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

10 10 Démarche de la thèse Utilisation modèle sans verrouillage : Kirchhoff-Love Adapter les idées développées en élasticité 2D (cf. Ref). Objectifs à atteindre : 1. Précision : même taux de convergence quun problème sans fissure (selon méthode). 2. Coût de calcul : du même ordre que les éléments finis classiques. 3. Implémentable dans un code de calcul industriel Ref : P. LABORDE, J. POMMIER, Y. RENARD, M. SALAÜN. High order eXtended Finite Element Method for cracked domains. Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 64, pp , 2005.

11 11 Travaux de thèse : Modèle de Kirchhoff-Love

12 12 PLAN 1. Présentation du modèle de Kirchhoff-Love 1. Caractéristiques du modèle 2. Discrétisation 3. Modes singuliers 2. Formulation XFEM « standard » 1. Cas-test et résultats numériques 2. Problème en quadrangles 3. Formulation XFEM « Raccord Intégral » 1. Résultats numériques 2. Application industrielle : calcul de facteurs dintensité de contraintes (FIC)

13 13 1. Modèle de Kirchhoff-Love Avantages : Modèle précis pour plaque mince (limite du 3D quand e 0 ) Pas de verrouillage numérique Singularités connues (modèle de bilaplacien) Pas de déformation de cisaillement transverse : Seule fonction inconnue : Contrainte : La discrétisation nécessite un élément fini éléments HCT/FVS réduits conviennent, avec coût de calcul raisonnable.

14 14 Singularités et modes de sollicitations (Grisvard) En domaine fissuré, la solution exacte sécrit : Flexion anti-symétrique => Mode II Cisaillement, Torsion Flexion symétrique => Mode I : constantes du matériau : facteurs dintensité de contrainte

15 Discrétisation : les éléments HCT/FVS réduits (P.G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems. North-Holland, 1978) Fonctions de base : polynômes par morceaux, dérivée normale réduite en sur le bord, et raccordées globalement. 3 degrés de liberté par nœud : 1 déplacement + 2 dérivées (= Mindlin, donc coût raisonnable) Précision de lélément (régularité requise : solution u dans ) Norme H² : O(h) (théorique) Norme L² : O(h²) (observé) HCT réduit FVS réduit Or, partie régulière dans (cf. Grisvard) => Avec singularité exacte, convergence optimale atteignable

16 16 2. XFEM « Standard » Expression de linconnu : Expression des enrichissements :

17 17 Solution exacte pour les tests numériques (K1 = 0, K2 = 1) Tests réalisés avec Getfem++ J. POMMIER, Y. RENARD. Getfem++, an open source generic C++ library for finite element methods.

18 18

19 19 Système non-inversible en quadrangles En cause : lespace FVS réduit contient des fonctions nulles sur 2 sous-triangles, mais pas nulles globalement. Pas de problème en triangle => changer les quadrangles en 2 triangles

20 20

21 21 3. XFEM « Raccord intégral » Expressions des inconnues sur chaque sous-domaine : Raccord intégral : Multiplicateurs approchés en Autre type de raccord possible ( seulement)

22 22

23 23

24 24 Nombre déléments sur un bord

25 25 Application industrielle : Calcul de FIC K1, K2 : Facteurs dIntensité de Contraintes (FIC) Grandeurs utilisées dans lindustrie comme critère de propagation (valeur critique) En principe : évalués par post-traitement (intégrales de contour) o XFEM « Raccord Intégral » : o par identification des, on déduit les FIC

26 26 Résultats numériques : Calcul de FIC Nbre elements sur coté long Erreur K1 relative (%) Idem, maillages non-structurés P laque soumise a des moments uniformes (valeur de K1 référencée, maillage quadrangle) Inconvénient : résultats pas forcément décroissants Erreur théorique est globale, et pas locale

27 27 Conclusion pour Kirchhoff-Love Méthode bien formulée : Précision optimale atteinte Coût de calcul supplémentaire marginal Conditionnement amélioré => Idées élasticité 2D ont pu être étendues au cas des plaques. Méthode compétitive et utilisable en contexte industriel Perspectives : Comparaison FIC avec intégrales de contour Recherche dune approche pour Mindlin-Reissner

28 28 SUPPLEMENTS

29 29 Généralités sur les modèles de plaques 5 fonctions inconnues : = 2 e

30 30 Les 5 fonctions inconnues, permettent de reconstituer le déplacement 3D (calcul 2D) En homogène-isotrope, et sont découplés : = élasticité 2D (déjà bien traité) = flexion : le sujet dintérêt. Pour Mindlin-Reissner : Modèle le plus utilisé dans lindustrie Discrétisation : problème de verrouillage numérique

31 31 Exemple de verrouillage en MEF classique (polynômes Q1) Elancement = 1/10 Elancement = 1/20 Elancement = 1/30

32 32 Origine du verrouillage Minimisation : Trouver e faible => prépondérance du terme de cisaillement transverse (pénalisation) => Les éléments finis classiques représentent mal cette contrainte : Exemple en P1 : Flexion Cisaillement Transverse

33 33 Traitements classiques nombreux Sous-intégration (QUAD 4) Relations Kirchhoff discrètes (DST-DSK) Projection sur polynômes de degrès plus faible (MITC4) Polynomes P2, P3 Méthodes mixtes

34 34 Traitement du verrouillage (élancement = ) QUAD 4 ou MITC 4 Degrés 2

35 35 Cas XFEM : Quel traitement appliquer aux enrichissements singuliers ? Les fonctions singulières denrichissement doivent être exactes pour être efficaces : Sous-intégration => perte de précision Kirchhoff discret et Projection => non-applicables pour des fonctions non-poynomiales Polynomes P2/3, Méthodes mixtes => trop coûteux en temps de calcul (contexte industriel) Aucun traitement nest vraiment satisfaisant. Mettre au point un traitement valable pour les fonctions singulières nécessiterait un travail important.

36 36 Epaisseur x 20 XFEM moins précis que la méthode classique en cas dépaisseur mince (graphe extrait de [2]) XFEM avec MITC 4 (Moës & co., 2000) (sans traitement particulier sur les enrichissement singuliers) Problème : Du verrouillage numérique est produit Valeur à obtenir = 1

37 37 Conclusion sur Mindlin Travail important pour traiter efficacement le verrouillage numérique des enrichissements singuliers Perspectives : Évaluation plus précise de ce type de verrouillage Essais avec polynômes P2 Formulation dune stratégie mixte (séparation fonction de forme/enrichissements singuliers) Autre approche dans la thèse: utilisation dun modèle de plaque sans verrouillage.


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