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Le plan des cours dalgèbre Etude des phénomènes structurés en classes 1.Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population 2.Les espaces vectoriels,

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1 Le plan des cours dalgèbre Etude des phénomènes structurés en classes 1.Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population 2.Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations 3.Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires 4.Diagonalisation dune matrice : applications en dynamique de population et en génétique 5.Normes et distances

2 Addition

3 Multiplication par un scalaire

4 Multiplication AB (1 ligne de A x 1 colonne de B)

5

6 Transposition (ligne colonne)

7 Matrices élémentaires Matrice diagonale Matrice Identité Matrice symétrique Matrice triangulaire Matrice scalaire Matrices carrées

8 Propriétés des matrices carrées Déterminant Matrice adjointe Matrice inverse

9 Déterminant : notation A chaque matrice carrée dordre n, on peut associer un scalaire, le déterminant de A Déterminant dordre n

10 Déterminant dordre 2 : calcul _

11 Exemple

12 Matrice adjointe ou co-matrice Où ij est le déterminant dordre n-1 extrait du déterminant de A en enlevant la i ème ligne et la j ème colonne. Co-facteur de lélément a ij : Matrice carrée dordre n : Co-matrice :

13 Méthode de calcul des déterminants dordre > 2 det (A) = la somme des produits obtenus en multipliant les éléments dune ligne (ou dune colonne) par leurs co-facteurs respectifs.

14 Déterminant dordre > 2

15 Propriétés des déterminants Si A a une (ou plusieurs) ligne (ou colonne) de zeros : det(A) = 0 Si A est triangulaire : det (A) = produit des éléments diagonaux Si on échange 2 lignes (ou colonnes), alors le déterminant change de signe Si on multiplie une ligne (ou colonne) par un scalaire, le déterminant est multiplié par ce scalaire Si un multiple dune ligne (ou colonne) a été additionné à une autre ligne (colonne) alors le déterminant ne change pas

16

17 Matrice inverse NON Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est NON nul

18 Exemples

19 Lien entre les vecteurs et les matrices Les coordonnées dun vecteur dans une base forment une matrice colonne

20 3. Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires MathSV chapitres 2 et 3bis

21 Un éleveur de bovins dispose en hiver de trois aliments (foin, ensilé, farine) qui contiennent chacun trois éléments nutritifs indispensables (A, B, C) selon le tableau suivant (unités arbitraires) : Foin Ensilé Farine A111 B110 C011 Chaque animal doit quotidiennement disposer de 6 unités de A, 3 unités de B et 5 unités de C. Quelles sont les doses de foin (x), d'ensilé (y) et de farine (z) que doit lui fournir l'éleveur ? TD Problème 7

22 Définitions: A est la matrice dune application linéaire f B et X sont les matrices des coordonnées des vecteurs Notation :

23 On peut définir un système linéaire avec une matrice On peut définir un système linéaire avec une application linéaire

24 Une application linéaire Une application dune espace vectoriel, E, dans un autre, F (si E et F sont de la forme IR n cest une fonction) est linéaire : Limage dune combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images

25 Image et Noyau

26 INjectivitéNONOUI

27 SURjectivitéNONOUI

28 BIjectivité Injective et surjective : Tout élément de F a un antécédent unique, tout élément de E à une image unique.

29 Définitions Isomorphisme: A. L. bijective Endomorphisme : A.L. de E dans E Automorphisme : endomorphisme bijectif

30 Lien entre les applications linéaires, les bases et les matrices Quand les 2 espaces vectoriels associés à une application linéaire sont munis dune base : On peut écrire la matrice dune application linéaire relativement à ces bases

31 Exemple Quelle est la matrice associée à cette application linéaire relativement aux bases canoniques ? Quelle est limage du vecteur (1,-1,1) ?

32 Pour la première séance de TT QCM 1 et 3 Exercices 1.6, 1.7, 1.10 et 3.1 Et aussi QCM 2 et 3bis


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