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2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm1 phm – Observatoire Lyon - 2010.

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1 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm1 phm – Observatoire Lyon

2 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm2 Avec le paramètre temps elles parcourront leurs orbites avec leurs positions et vitesses connues. Les équations des orbes elliptiques des planètes du système solaire, déterminées par Kepler et Newton, permettent de prévoir leurs futures positions, ainsi que retrouver celles du passé. Lellipse est devenue la reine des orbes célestes. Avec le programme de calcul et de tracé géométrique Geogebra, il est possible de construire les orbites elliptiques de planètes avec des paramètres ajustables. Le tracé graphique vérifiera la 2ème loi de Kepler ou loi des aires et le tracé des vecteurs vitesses montrera les liens entre leurs variations et positions sur lorbite.

3 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm3 Lorbite dune planète ou dune exoplanète autour de son étoile suit les lois de Kepler.

4 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm4 Les lois de Kepler Loi I - Les planètes décrivent autour du soleil des orbites elliptiques dont le soleil occupe un des foyers. Loi II - Une ligne joignant une planète au soleil balaye des aires égales en des temps égaux (loi des aires). Loi III - La période de rotation d'une planète et le demi grand axe de son orbite sont liés par la relation: ou Système solaire : si P est exprimé en années et a en unités astronomiques (l'unité astronomique étant définie comme le demi grand axe de l'orbite de la Terre)

5 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm5 Remarques sur la façon de procéder Avec Geogebra Les noms des variables utilisés ne sont pas imposés. Seule la commodité pour le travail en groupe et la construction conseille de les garder tels quels. Ce document permet, pas à pas, de construire le TD. Ceci nest pas absolu, car Geogebra permet souvent de construire les mêmes objets par des procédés différents. Penser à sauvegarder régulièrement votre travail en lui donnant un nom personnalisé à la première sauvegarde. A vous de choisir ce qui vous convient. Ils sont à entrer dans Geogebra avec la syntaxe telle quelle. Dans le document, les textes et en sont les variables et les expressions. en gras police Arial

6 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm6 Pour les débutants avec Geogebra Avec Geogebra Le TD sur la construction simple des ellipses sous Geogebra nutilise que des commandes simples. Remarque : il est possible de faire des copiés-collés à partir des pages html ou pdf. Faire attention, quelques caractères seront parfois mal repris comme les apostrophes et les lettres grecques et donneront des erreurs de syntaxe. Pour les personnes qui débutent dans Geogebra vous pouvez consulter le fichier téléchargeable à la page elements_geogebra.pdf Les plus courantes sont explicitées dans le document elements_geogebra.pdf

7 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm7 I - Orbites képlériennes (rappels) Ouvrir Geogebra 2D Le temps étant la variable de base e la simulation, créer un curseur qui concrétise cette variable. Créer le curseur Le deuxième objet à créer est lellipse ajustable, orbites des planètes. - plage de 0 à incrément de 1 - largeur 400 Le placer en bas du graphique. tps

8 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm8 Lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyers est constante. PF + PF' = Cte On définit : a = OA = OA ': demi-grand axe b = OB = OB ': demi-petit axe c = OF = OF ' : distance foyers - centre Rappels - Ellipse Les points F et F' sont les foyers de l'ellipse. On pose, c/a = e : excentricité ou ellipticité. Relations utiles :

9 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm9 Paramètres de lellipse Créer deux curseurs : - pour le demi-grand axe exprimé en ua (unité astronomique), - pour lexcentricité, rapport sans dimension. Curseurminimummaximumincrémentlargeur Calcul de la distance foyers-centre : (lettre e et non signe exponentiel sous Geogebra) Calcul du petit axe : La troisième loi de Kepler nous permet de calculer la période que lon exprimera en jours : P = sqrt( a^3 ) * Créer : La Cte vaut 1 dans le système solaire avec P en années, et a en ua. b = a * sqrt( 1 – e^2 ) c = a * e aeae a e Comme on veut tracer une ellipse ajustable, il faut se donner deux paramètres variables, soit et ou et. a c a e

10 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm10 Tracé de lellipse Mettre un point (Soleil) au centre du graphique : Centre de lellipse : Second foyer : ell_C = Ellipse[ S, F', a ] Créer lellipse : S = ( 0, 0 ) Cest le premier foyer de lellipse. Par convention laxe des abscisses est le grand axe de lorbite. F = ( – 2*c,0 ) O = ( – c, 0 ) En conséquence : On mettra le périhélie du côté des abscisses positives. A le centre de lellipse le second foyer le point aphélie sont sur laxe des abscisses du côté des abscisses négatives. O F A Créer les points et lellipse :

11 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm11 Sauvegarder avec un nom personnalisé. Lellipse variable

12 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm12 Observations : Faire varier les deux paramètres a et e de lellipse Tracer un cercle de centre O et de rayon a : Que constate-t-on pour les faibles excentricité ? Effacer le cercle. Visualiser les orbites des principales planètes avec les paramètres données en annexe du document pdf. Lellipse variable cc = cercle(O,a) cc

13 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm13 Mouvement képlérien Pour les démonstrations des formules qui vont suivre, on peut consulter : Téléchargeable à : cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/gravitation – Danjon André, Astronomie. – Cours de Jean Dufay (manuscrit).

14 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm14 Mouvement képlérien Variables utilisées Anomalie moyenne M = 360°/ P * tps 360° M = ––– tps P – l ou angle de position dun corps fictif sur une trajectoire circulaire de même demi- grand axe et même période. anomalie moyenne Il nous faut définir des variables dont les valeurs seront dépendantes du temps. tps Attention : Ce nest pas le point de la figure qui ne tourne pas de façon uniforme. est défini par langle. C C u où est la vitesse angulaire moyenne. 360/P

15 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm15 Mouvement képlérien Variables utilisées La valeur de est définie par u - e sin u = M est la projection de sur le cercle circonscrit à lellipse, sa position est définie par : CC – lanomalie excentrique u où et sont exprimées en radians. u M léquation de Kepler u

16 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm16 Mouvement képlérien Variables utilisées Angle en coordonnées polaires entre : - le grand axe - le rayon vecteur Foyer (Soleil)-planète. Langle de position de la planète est.C θ La relation qui lie à est : u θ Pour se souvenir de la formule, bien voir que est plus grand que, donc le coefficient sous la racine doit être >1. Le signe – est au dénominateur. θ u

17 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm17 Mouvement képlérien Variables utilisées Et le module du rayon vecteur est donné par léquation de lellipse en coordonnées polaires ρ

18 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm18 Mouvement képlérien En conclusion, tout est simple : Mais... – lanomalie moyenne croit linéairement avec le temps M – l nous donne lanomalie excentrique à partir de équation de Kepler u M – une simple équation permet davoir langle de position de la planète à partir de. θ u L na pas de solution analytique.équation de Kepler – léquation de lellipse donne à partir de langle.ρ θ

19 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm19 Mouvement képlérien Que faire ? Plusieurs solutions existent : Cest celle que nous permet les facilités de Geogebra. On décompose léquation en deux parties qui peuvent se représenter par deux fonctions : f1 = e sin u f2 = u - M que lon peut tracer. La solution est à lintersection des deux courbes : abscisses du point dintersection. –développements limités – itérations en partant Cette solution converge rapidement seulement si lexcentricité est faible. – solution graphique. u 0 = M (sinusoïde) (droite)

20 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm20 Résolution de léquation de Kepler f_1 : y = x – mod( M, 2*pi ) f_2 : y = e * sin( x ) u = x(I) Tracer les deux courbes : Intersection : I = Intersection[ f_1, f_2 ] Anomalie excentrique (en radians), valeur de labscisse de pour lintersection : uI

21 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm21 Résolution de léquation de Kepler - angle polaire θ = 2*atan(tan(u / 2) sqrt((1 + e )/(1 – e)))*180/pi - module rayon vecteur : Placement du point : ρ = a (1 – e² ) / ( 1 + e cos( θ° ) ) C = ( ρ ; θ° ) Sauvegarder. Coordonnées de la planète au tempstps On peut cacher dans la construction :f_1, f_2, F et I Tracer le rayon vecteur :svp = segment[ S, C ] Afficher langle :θ θ = Angle[ (1,0), S,C ]

22 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm22 Variations et animations Observations : Régler la vitesse et le sensValider Bouton bascule arrêt-marche Animations : - faire varier le temps et observer le mouvement de, et ceci pour diverses valeurs du demi-grand axe et de lexcentricité tps C a e Pour observer le mouvement on peut aussi animer le curseur tps

23 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm23 A = ( a – c, 0 ) A' = ( – a – c, 0 ) Loi des aires Geogebra possède une commande pour calculer un secteur angulaire dune conique : sct = Secteur[ ell_C, A, C ] socs = c * y(C) / 2 Placer les points et extrémités du grand axe : A Laire balayée par le rayon vecteur est la partie de la surface de lellipse comprise entre et lellipse. SC SA, SC ell_C La surface balayée par le rayon vecteur et que nous voulons calculer est laire AOC sous lellipse qui est laire du secteur moins la surface du triangle sct OCS Aire balayée :

24 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm24 Loi des aires 0 < θ < π π < θ < 2π Aire balayée : Laire du triangle se retrancheLaire du triangle sajoute Mais ceci nous arrange bien, car pour compris entre 180° et 360°, on doit ajouter la surface du triangle. θ OCS Lorsque dépasse 180°, lordonnée de devient négative, ainsi que la valeur car lordonnée de θC socs C < 0.

25 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm25 Loi des aires aire = sct - socs Ecrire la valeur de laire balayée : aire = (sct - socs ) / (π ab) Aire balayée : La surface de lellipse vaut π ab On peut normaliser la surface balayée en divisant par aire π ab

26 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm26 Variation de la surface en fonction du temps Echelle de temps normalisée : tps2 = mod(tps / P,1) Faire apparaître la fenêtre graphique 2. P_{aire} = ( tps2, aire ) Activer la trace de ce point. Sauvegarder. On trace, lévolution de la valeur de la surface en fonction du temps.aire tps - création de qui varie de à quand, varie de à :tps2 0 1 tps 0 P Construire le point de coordonnées :P_{aire} Ajuster les fenêtres graphique pour la visibilité.

27 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm27 Variation de la surface en fonction du temps Observations : Que constate-t-on ? - changer lexcentricité - changer le demi-grand axe. - faire varier le temps sur une période P

28 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm28 Vecteur vitesse avec : Cette valeur est fonction de la masse de létoile. On prendra une masse solaire kg. Constante de la Gravité G = m 3 /kg/s 2 M_S = 1.89 * 10^30 G = * 10^–11 Rentrer les données : p = a * (1 – e^2) * K = sqrt( G * M_S * p) en mètres La valeur du module de la vitesse pour une position est donnée par :θ Calculer les coefficients etp C

29 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm29 Vecteur vitesse Calculer le module de la vitesse exprimé en km/s : vit = K / p * sqrt( * e * cos( θ° ) + e * e) / 1000 Pour vérifier que vous êtes au bon ordre de grandeur, avec a = 1, e = 0.01 vous devez retrouver la vitesse orbitale de la terre autour du soleil, soit environ 29 km/s. Pour que le vecteur vitesse ne soit pas trop grand à léchelle du graphique en unités astronomique, diviser ce module par 100 : vit2 = vit / 100 Mise à léchelle du graphique :

30 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm30 Vecteur vitesse d_{tge} = Tangente[ C, ell_C ] α = Angle[ axeX, d_{tge} ] C_V = Translation[C, ( vit2 ; α + pi ) ] Construction de lextrémité du vecteur vitesse : Construire la tangente : Cette tangente fait un angle avec laxe des abscisses de : Vvit = vecteur[ C, C_V ] Sauvegarder. Le vecteur vitesse, au point, est sur la tangente à lellipse :C Bien voir pourquoi il faut ajouter ou retrancher à langle, en regardant comment Geogebra oriente langle entre laxe des abscisses et la tangente πα

31 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm31 Vecteur vitesse Observations : En quels endroits ? En faisant varier et, trouver les vitesses des planètes sur leurs orbites, vitesses maximum et minimum. a e

32 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm32 Vitesse radiale Au cours dune orbite si lexcentricité nest pas nulle, la planète sapproche ou séloigne du Soleil. Tracer la composante radiale du vecteur vitesse. Elle a donc une vitesse radiale alternativement positive et négative. En suivre les variations alternatives avec le temps.

33 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm33 Vitesses radiales amplitude, au facteur déchelle près des vitesses : Composante radiale du vecteur vitesse : d_{prc} = Perpendiculaire[C_V,Droite[S,C]] C_R = Intersection[d_{prc},Droite[S,C]] et construction du vecteur vitesse : V_R = Vecteur[ C, C_R ] Droite de projection : Sauvegarder. Intersection de cette projection avec le rayon vecteur de la planète : SC Projection de sur la droite :C_V SC - distance du point à la projection de sur le rayon vecteur.C C_R C_V SC

34 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm34 Vitesses radiales Faire varier le temps, Observations : - regarder le comportement du vecteur vitesse radiale, - son amplitude pour différents cas de planètes. - quand ce vecteur sannule t-il ? - quand son module est-il maximum ? Application à la Terre : - quel est le maximum de lamplitude de sa vitesse radiale ? - sachant que la Terre passe au périhélie le 4 janvier, à quelles dates se produisent ces maximums ? – quel est le décalage en longueur donde de la raie solaire du sodium à nm produit par cette vitesse radiale ? Autres questions : – sauriez-vous retrouver la vitesse radiale dune planète par un autre procédé ?

35 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm35 Pour rendre plus lisible le travail, afficher de façon structurée les résultats principaux : Affichage θ ρ a e P tps Vvit V_R etc Et aussi accessoirement :

36 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm36 FIN

37 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm37

38 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm38

39 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm39

40 2012/05/09Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm40 | |


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