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Modèles de files dattente Modèle général de files dattente, étude des lois darrivées et de service du système, distribution exponentielle, propriétés dun.

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1 Modèles de files dattente Modèle général de files dattente, étude des lois darrivées et de service du système, distribution exponentielle, propriétés dun système de file dattente. Processus de naissance et de mort. Étude de cas particuliers : une ou plusieurs files, une ou plusieurs stations, un nombre limité ou non de clients, distributions non exponentielles, etc. Politiques de service. Aspect économique des phénomènes dattente. Applications.

2 2 Généralités Nous sommes souvent en présence dun phénomène de files dattente. CONGESTION : Lorsque la demande de service dépasse la capacité de service, il y a formation de files dattente. Caractéristiques dun tel phénomène : Arrivées dunités à des intervalles de temps irréguliers ou non, à un centre de service. Exemple : arrivée de camions à un poste de chargement, entrée de clients dans un magasin, arrivée de bateaux dans un port, etc. Un ou plusieurs canaux de service ou stations. Exemple : guichet, vendeur, etc. Les unités doivent éventuellement attendre quune station soit disponible pour être servies. Les intervalles de temps de service des unités sont irréguliers ou non.

3 3 Généralités Cas non intéressant : Des intervalles constants des entrées et des temps de service, avec une durée de service plus élevée que lintervalle entre 2 entrées, La file dattente augmente régulièrement et indéfiniment. Schéma de file dattente : Source 1 Source 2 Source U File dattente 1 File dattente 2 File dattente F Processus darrivée dunités Processus de service des unités (durée et ordre de service, …) Station 1 Station 2 Station S Système dattente

4 4 Modèle général de file dattente Posons M nombre dunités dans lensemble du phénomène (peut être infini) (dans les sources, les files et les stations), N nombre dunités dans le système (dans les files et les stations), Q nombre dunités dans les files dattente, R nombre dunités en cours de service, S nombre de stations, S I nombre de stations inoccupées, S O nombre de stations occupées, F nombre de files dattente, Q max nombre maximum dunités dans les files dattente,

5 5 Quelques résultats préliminaires …. Trivialement, N = Rsi N S S + Qsinon. En général, N N(t), Q Q(t) et R R(t) varient en fonction du temps et sont aléatoires suivant une loi de probabilité que nous chercherons à connaître. Posons maintenant p n = Prob(N = n) la probabilité quil y ait n unités dans le système. En général, p n p n (t) varient aussi en fonction du temps. On obtient alors : M E[N] = k p k k = 0 Dans le cas dune seule file dattente (F = 1), M E[Q] = (k – S) p k k = S+1 le nombre moyen dunités dans le système. désigne le nombre moyen dunités dans la file.

6 6 Quelques résultats préliminaires …. S E[S I ] = (S – k) p k k = 0 désigne le nombre moyen de stations inoccupées. On peut vérifier assez facilement que : E[N] = E[Q] + S – E[S I ] (en exercice) Afin de poursuivre plus avant notre étude dun phénomène dattente, il nous faut connaître les probabilités p n quil y ait n unités dans le système. Pour y arriver, il nous faut étudier les lois darrivées et de service du système.

7 7 Arrivée dune unité dans le système Considérons un intervalle de temps de durée t et n le nombre dunités qui arrivent dans le système dans cet intervalle, n est une variable aléatoire. Hypothèses : La probabilité quil y ait n arrivées dans lintervalle de durée t ne dépend que de t et non de linstant initial à partir duquel on a comptabilisé les arrivées dans le système. Homogénéité ou stationnarité dans le temps. La probabilité quune arrivée se produise plus dune fois dans un intervalle de temps infinitésimal dt est infiniment petite par rapport à dt. Il ny a pas darrivées en groupe (plusieurs arrivées simultanées). La probabilité quune arrivée se produise une fois exactement dans un intervalle de temps infinitésimal dt est proportionnelle à dt, disons dt. Il ny a pas dheures de pointe (répartition uniforme).

8 8 Arrivée dune unité dans le système Nous pouvons poser p n (t) la probabilité quil y ait n arrivées dans lintervalle de durée t. Sous les hypothèses précédentes, on peut montrer que le nombre darrivées dans un intervalle de temps t, soit N(t), suit une distribution de Poisson de paramètre t égal au nombre moyen darrivées pendant un temps t i.e. p n (t) ( t) n e - t n! n = 0, 1, 2, … On a aussi que : E[N] = tetVar[N] = t. La loi des arrivées est entièrement déterminée par le nombre moyen des arrivées par unité de temps.

9 9 Temps de service dune unité dans le système Après une période dattente, les entités dans le système reçoivent le service. Le service est aléatoire; il est donc décrit par une distribution de probabilité. Si le nombre darrivées dans un intervalle de temps obéit à une loi de Poisson, alors la durée séparant deux arrivées est exponentielle. Nous considérerons donc que la durée de service suit une loi exponentielle de paramètre dont la fonction de densité est : f(t) = e - t t [0, ), > 0. La loi des services est entièrement déterminée par le taux moyen des services égal à linverse de la durée moyenne dun service. Note : Nous supposons que < sans quoi la file va augmenter indéfiniment. À moins davis contraire, les premiers arrivés sont les premiers servis.

10 10 Processus de naissance et de mort Une arrivée : une naissance,un départ : une mort. Hypothèses : Soit N = n,le temps écoulé jusquà la prochaine naissance suit une loi exponentielle de paramètre n, le temps écoulé jusquà la prochaine mortalité suit une loi exponentielle de paramètre n, seul une naissance ou une mort arrive à la fois, n : taux darrivée lorsquil y a n clients dans le système, n : taux de service lorsquil y a n clients dans le système. Problème : Trouver une formule pour unités dans le système au temps t. p n (t) = Prob(N(t) = n) la probabilité quil y ait n

11 11 Processus de naissance et de mort : résolution Régime transitoire :p n (t) dépend de t(résolution difficile). Régime stationnaire :p n (t) est indépendant de t. En supposant le régime transitoire très court, notre intérêt va porter sur le régime stationnaire. PRINCIPE PERMETTANT DÉCRIRE UNE ÉQUATION DÉQUILIBRE POUR TOUT ÉTAT n : pour tout état n = 0, 1, 2, …, le taux dentrée moyen de clients doit être égal au taux de départ moyen. diagramme détats

12 12 Calcul de P n p n (t)

13 13 Calcul de P n p n (t)

14 14 1 er cas : modèle S/F/M/Q max modèle 1/1/ / Une file dattente de capacité illimitée, une station, une source illimitée. diapositive suivante Intensité de trafic

15 15 Modèle 1/1/ / : calcul de P 0 Vous jouez à pile-ou-face. Vous décidez de jouer jusqu'à ce qu'apparaisse "Pile" pour la première fois. Le nombre L de lancers nécessaires est donc une variable aléatoire dont la distribution est géométrique.

16 16 Modèle 1/1/ / : intensité de trafic Max P n correspond à = n. n + 1 Exemple : La probabilité la plus élevée de rencontrer 3 unités dans le système a lieu lorsque = 3 / 4 et a pour valeur : 27 / Pour calculer Prob(N n), on a : P i =(1 - ) i = 0 n n n =1 - n+1 Par conséquent, Prob(N > n) = n+1 et la probabilité quil y ait au moins une unité dans le système est Prob(N > 0) = = intensité de trafic = 1 – probabilité de ne pas attendre.

17 17 Modèle 1/1/ / : nombre moyen dunités dans le système N N = / (1 - ) Note : Si, alors 1 et N. La quantité est lessence même du problème; cela reflète un compromis entre le gain issu de la réduction de N et le coût associé des installations et du personnel constituant le service.

18 18 Modèle 1/1/ / : nombre moyen dunités dans la file dattente Q

19 19 Modèle 1/1/ / : temps moyen passé dans le système Formule de Little : Temps moyen passé dans le système (temps de service inclus) : N / = [ / (1 - )] / = 1 / ( - ) = [1 / (1 - )] / Temps dattente moyen dans la file : Q / = [ 2 / (1 - )] / = / [ ( - )] = [ / (1 - )] / = N / Note : N / - Q / = 1 / ce qui représente bien le temps moyen de service.

20 20 Modèle 1/1/ / : exemple I Dans une usine de fabrication de meubles, on peint 20 unités à lheure. Celles-ci arrivent à la salle de peinture à un rythme moyen de 12 à lheure. = 12 = 20 N = / (1 - ) = (12 / 20) / (1 – 12 / 20) = 1.5 meuble. Nombre moyen de meubles dans la salle de peinture Temps moyen passé dans la salle de peinture N / = 1.5 / 12 = 1/8 heure = 7.5 minutes. Temps moyen dattente avant dêtre peint N / = 1.5 / 20 = 3/40 heure = 4.5 minutes.

21 21 Modèle 1/1/ / : exemple II Dans un grand magasin, on a observé les arrivées suivantes de clients : Arrivées pendant une période de 5 min. (n) Fréquences observées (f n ) Total sur 100 Nombre moyen darrivées par période de 5 minutes : 6 1 n f n = n=0

22 22 Le paramètre 1.27 est-il admissible comme celui de la loi de Poisson associée aux arrivées ? Effectuons donc un test du 2. Règle à suivre :On doit retrouver 4 à 5 éléments par classe au minimum pour un échantillon de taille 100. Regroupons les 3 dernières classes en une. Arrivées pendant une période de 5 min. (n) Fréquences observées (f n ) Fréquences théoriques (100 p n (t) ) où t = – ce qui précède Différence : |f n – 100 p n (t) | 2 (f d ) fdfd 100 p n

23 23 Le paramètre 1.27 est-il admissible comme celui de la loi de Poisson associée aux arrivées ? Nous avons alors exp 2 = = Étant donné que nous avons estimé un paramètre et que nous possédons 5 classes, nous sommes en présence dune 2 à 3 degrés de liberté. À un niveau = 5 %, on obtient t 2 = et vu que t 2 > exp 2 on accepte lhypothèse que : = 1.27 / 5 minutes = / minute.

24 24 Durée des services La durée des services sest répartie comme suit : DuréeFréquence [0, 1) 23 [1, 2) 20 [2, 3) 14 [3, 4) 12 [4, 5) 9 [5, 6) 5 [6, 7) 4 [7, 8) 5 [8, 9) 3 [9, 10) 2 [10, 11) 2 [11, 12) 1 [12, ) 0 Durée moyenne de service (1 / ) : (0.5 x x 20 + … x 1) / 100 = 3.27 valeur médiane de lintervalle = 1 / / minute Vérifions par un test de 2 si cette hypothèse est fondée.

25 25 Durée des services Regroupons quelques classes : DuréeFréquencesFréquences observéesthéoriques (f n ) (100 p n ) où 0.3 [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 6) [6, 8) [8, ) Différence : |f n – 100 p n | 2 (f d ) fdfd 100 p n exp 2 = qui correspond à un 2 à 5 degrés de liberté. À 5 %, on a t 2 = 11.1; on accepte donc lhypothèse.

26 26 Caractéristiques de la file dattente N = / (1 - ) = 5.52 = / = S = 1 Temps moyen dattente N / = 5.52 / 0.3 = 18.4 min. Nombre moyen dunités dans le système Nombre moyen de clients une journée de 8 h x 8 x 60 = Temps perdu en attente x 18.4 min. Temps pendant lequel le caissier est occupé x 3.27 min. Durée moyenne de service

27 27 Modèle S/1/ / Arrivée dune unité Les S stations sont occupées. non Lunité est servie immédiatement oui Lunité attend.

28 28 Modèle S/1/ / : nombre moyen dunités dans la file Q Q = Temps dattente moyen : Q /

29 29 Modèle S/1/ / : nombre moyen de stations inoccupées SISI SISI

30 30 Modèle S/1/ / : nombre moyen dunités dans le système N = Q + S – S I N = Q + / Modèle S/1/ / : temps moyen passé dans le système Q / + 1 / Note : S P 0 e - / La probabilité quil y ait 0 unité dans la file lorsque S est égale à 1.

31 31 Modèle S/1/ / : probabilité quune unité attende dans la file Prob(N S) = p n n = S =p 0 S S n S!n = S =p 0 ( / ) S S! (1 - )

32 32 Exemple : salle durgence dun hôpital Arrivées de patients suivent un processus de Poisson. Durée de traitement par patient obéit à une loi exponentielle. = 2 patients / heure = 3 patients / heure Question : Doit-on affecter un ou deux médecins ? / = 2/3 < 1 / 2 = 2/6 = 1/3 < 1 S = 1S = 2 P0P0 1/3 1/2 P1P1 2/9 1/3 PnPn (2/3) n /3 (1/3) n n 2 Q4/3 1 / 12 Nombre moyen dunités dans la file N2 3/4 Nombre moyen dunités dans le système 2/3 1/24 Temps moyen dattente dans la file Nette amélioration

33 33 3 ième cas : modèle S/F/M/Q max modèle 1/1/ /q Une file dattente de capacité limitée q, une station, une source illimitée. Lorsquil y a q + 1 unités dans le système, les nouveaux arrivants partent sans recevoir de service. Ex. : Salle dattente de capacité limitée. Taux darrivée : n = si n = 0, 1, 2, …, q 0 si n > q Taux de service : n = pour tout n. C n = ( / ) n = n si n = 0, 1, 2, …, q, q si n > q + 1 P 0 = [ 1 - ] / [1 - q+2 ] et P n = [ (1 - ) n ] / [1 - q+2 ] n q + 1

34 34 3 ième cas : modèle S/F/M/Q max modèle 1/1/ /q N = n P n n = 0 q+1 = [ (1 - )] / [1 - q+2 ] n n n = 0 = [ / (1 - )] - [ (q + 2) q+2 / (1 - q+2 )] Q = N – (1 – P 0 ). = taux darrivée moyen = q n P n n = 0 = (1 – P q+1 ) Temps passé dans le système : N /. Temps dattente dans la file : Q /.

35 35 4 ième cas : modèle S/F/M/Q max modèle s/1/ /q Une file dattente de capacité limitée q, s stations, une source illimitée. Lorsquil y a q + s unités dans le système, les nouveaux arrivants partent sans recevoir de service. Ex. : Salle dattente de capacité limitée. Taux darrivée : n = si n = 0, 1, 2, …, q + s si n q + s Taux de service : n = n si n s s si n > s C n = ( / ) n / n!si n = 0, 1, 2, …, s [( / ) s ( /s ) n-s ] / s! si n = s + 1, s + 2, …, q + s 0 si n > q + s On peut alors calculer P 0 et, ensuite, P n pour tout n = 1, 2, …, q + s. etc.

36 36 5 ième cas : modèle S/F/M/Q max modèle 1/1/m/ Une file dattente de capacité illimitée, une station, une source limitée m. Exemple : Considérons un atelier dans lequel sont utilisées m machines identiques qui fonctionnent indépendamment les unes des autres. Des pannes se produisent sur ces machines, dune façon aléatoire selon une loi de Poisson avec un taux pour chacune. Pour les réparer, on dispose dun mécanicien qui constitue ainsi la station par où doivent passer les machines. La durée des réparations est distribuée selon la loi exponentielle avec un taux. Taux darrivée : n = (m - n) si n = 0, 1, 2, …, m 0 si n m Taux de service : n = si n = 1, 2, …, m. / désigne le facteur de service ou facteur dentretien. où n désigne le nombre de machines dans le système (n m).

37 37 5 ième cas : modèle S/F/M/Q max modèle 1/1/m/ C n = m!( / ) n / [(m – n)!]si n = 1, 2, …, m. P n = C n P 0 si n = 1, 2, …, m. Pour calculer P 0, on se sert du fait que : P 0 = 1 - P 1 - … - P m. m Le nombre moyen dunités dans la file est : (n – 1) P n = m - (1 – P 0 ) (1 + / ) n = 2 m Le nombre moyen dunités dans le système est : n P n = m - (1 – P 0 ) / n = 0 La probabilité dune attente de durée quelconque est : m P n = 1 – P 0 n = 1

38 38 5 ième cas : modèle S/F/M/Q max modèle 1/1/m/ Le temps moyen dattente dans la file est : nombre moyen dunités dans la file taux moyen des arrivées cest-à-dire, # moyen dunités dans la file (m - # moyen dunités dans le système) Le temps moyen dattente dans le système est : # moyen dunités dans le système (m - # moyen dunités dans le système) = [m / (1 – P 0 ) - / ] / = [m / (1 – P 0 ) – (1 + / )] /

39 39 6 ième cas : modèle S/F/M/Q max modèle s/1/m/ Taux darrivée : n = (m - n) si n = 0, 1, 2, …, m 0 si n m Taux de service : n = n si n = 1, 2, …, s. s si n = s+1, s + 2, …, m. où n désigne le nombre de machines dans le système (n m). Généralisation du cas précédent : s mécaniciens au lieu dun seul. P n = m n P 0 si n = 1, 2, …, s n P n = n! m n P 0 si n = s + 1, s + 2, …, m s! s n-s n etc.

40 40 Conclusion Il existe plusieurs autres types de phénomènes dattente avec des lois darrivées et/ou de service différentes. Mais les principes généraux demeurent les mêmes. Exemples : Un taux de service qui dépend de létat du système (n). Des durées de services non exponentielles. etc.


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