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Rappel... Systèmes dynamiques: –discrets; –continus. (valeurs propres complexes)

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1 Rappel... Systèmes dynamiques: –discrets; –continus. (valeurs propres complexes)

2 Aujourdhui Orthogonalité. –Produit scalaire, module; –Ensembles orthogonaux.

3 13. Orthogonalité Léquation Ax = b na souvent pas de solution. On cherche alors une solution telle que la distance entre A et b soit la plus petite possible. Distance: (.) 2

4 Géométriquement x x1x1 x2x2 d < d 1 d2d2 d1d1 d < d 2 Orthogonalité d

5 Produit scalaire, module et orthogonalité Nous allons reprendre des concepts qui nous sont très familiers dans R 2 et R 3, soit la distance, la longueur et lorthogonalité (« perpendicularité »), et les placer dans le contexte de R n. Vecteurs dans R n

6 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs, u et v, est donné par:

7 Produit scalaire (suite) Processeurs DSP (TMS320). Le résultat est un scalaire. En anglais: dot product, inner product.

8 Propriétés du produit scalaire Soit u, v et w des vecteurs dans R n, et soit c un scalaire. Alors a. u. v = v. u b. ( u + v). w = u. w + v. w c. ( cu). v = c(u. v) = u. (cv)

9 Propriétés du produit scalaire (suite) Soit u, v et w des vecteurs dans R n, et soit c un scalaire. Alors d. u. u 0, et u. u = 0 si et seulement si u = 0 e.

10 Module dun vecteur Le module dun vecteur v est le scalaire ||v|| 0 défini par: et ||v|| 2 = v. v

11 Distance entre deux vecteurs Pour des vecteurs u et v dans R n, la distance entre u et v, quon écrit dist(u,v), est le module du vecteur u - v. Autrement dit: dist(u,v) = ||u - v||

12 Vecteurs orthogonaux v ||u - (-v)|| -v u ||u - v||

13 Orthogonalité Deux vecteurs u et v dans R n sont orthogonaux (lun par rapport à lautre) si u. v = 0.

14 Théorème de Pythagore Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si ||u + v|| 2 = ||u|| 2 + ||v|| 2

15 Complément orthogonal 1.Si un vecteur z est orthogonal à tous les vecteurs dun sous-espace W, on dit que z est orthogonal à W. 2.Lensemble de tous les vecteurs z orthogonaux à un sous-espace W est appelé le complément orthogonal de W et est dénoté par W.

16 Propriétés du complément orthogonal 1. Un vecteur x est dans W si et seulement si x est orthogonal à chacun des vecteurs dun ensemble engendrant W. 2. W est un sous-espace de R n.

17 Sous-espaces fondamentaux dune matrice et complément orthogonal Soit A une matrice n n. Alors le complément orthogonal de lespace des lignes de A est le noyau de A, et le complément orthogonal de lespace des colonnes de A est le noyau de A T. (Row A) = Nul A (Col A) = Nul A T

18 Angles dans R 2 et R 3 u. v = ||u|| ||v||cos

19 Ensemble orthogonal Un ensemble de vecteurs {u 1, u 2,..., u p } dans R n est appelé ensemble orthogonal si chaque paire de vecteurs distincts provenant de cet ensemble est orthogonale, cest-à-dire si u i. u j = 0 pour i j

20 Théorèmes sur les ensembles orthogonaux Si S = {u 1, u 2,..., u p } est un ensemble orthogonal de vecteurs non nuls dans R n, alors S est linéairement indépendant et est donc une base pour le sous-espace engendré par S.

21 Base orthogonale Une base orthogonale pour un sous-espace W de R n est une base pour W qui est aussi un ensemble orthogonal.

22 Théorème sur la représentation unique Soit {u 1, u 2,..., u p } une base orthogonale dun sous-espace W de R n. Alors chaque vecteur y dans W possède une représentation unique selon une combinaison linéaire des vecteurs u 1, u 2,..., u p.

23 Théorème sur la représentation unique (suite) En fait, si alors

24 Projection orthogonale On désire décomposer un vecteur y R n en une somme de deux vecteurs, lun multiple de u R n et lautre orthogonal à u. y = + z, où = u et z u.

25 Projection orthogonale (suite) u y

26 Déf: Projection orthogonale La projection orthogonale du vecteur y sur le vecteur u est donnée par La composante du vecteur y orthogonale au vecteur u est donnée par

27 Interprétation géométrique u2u2 y u1u1

28 Ensemble orthonormal Un ensemble orthogonal de vecteur unitaire est appelé ensemble orthonormal.

29 Théorème sur les matrices ayant des colonnes orthonormales Une matrice U m n possède des colonnes orthonormales si et seulement si U T U = I.

30 Propriétés des matrices ayant des colonnes orthonormales Soit U une matrice m n ayant des colonnes orthonormales, et soit x et y deux vecteurs dans R n. Alors a. ||Ux|| = ||x|| b. (Ux). (Uy) = x. y c. (Ux). (Uy) = 0 si et seulement si x. y = 0

31 Application aux matrices carrées Une matrice orthogonale est une matrice carrée U telle que U -1 = U T colonnes orthonormales lignes orthonormales

32 Prochain cours... Projections orthogonales. Procédure de Gram-Schmidt


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