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Graphes : de la pratique à la théorie … Catherine Philippe & Christian Vassard IREM de Rouen groupe arithmétique et groupe statistiques.

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1 Graphes : de la pratique à la théorie … Catherine Philippe & Christian Vassard IREM de Rouen groupe arithmétique et groupe statistiques.

2 Quelques dates

3 1736…. Leonhard Euler ( ) …problème des ponts de Königsberg, résolu par Euler en 1736 dans Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Commetarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8

4 1852… Autrement dit : quatre couleurs suffisent-elles à colorier une carte de géographie de façon à ce que deux pays limitrophes ne soient pas coloriés de la même couleur ? …À partir dune lettre de Morgan à Hamilton : Augustus de Morgan ( ) Un de mes étudiants ma demandé de lui expliquer un fait dont je ne savais pas que cétait un fait – et je ne le sais toujours pas. Il dit que si on divise une figure nimporte comment, et quon colorie les compartiments de façon que les parties ayant une frontière commune soient de couleurs différentes, quatre couleurs suffisent (…) Si vous voyez une explication simple, je naurais plus quà faire comme le Sphinx…. Cité dans Bréal page 219.

5 En 1857… Hamilton invente un jeu, The icosian game, quil commercialise en Le jeu est constitué dun dodécaèdre dont les 20 sommets portent le nom dune grande ville dans le monde. Le but du jeu consistait à trouver un chemin sur les arêtes du dodécaèdre permettant de visiter chaque ville une fois et une fois seulement, en revenant à la ville de départ. Hamilton ( )

6

7 1878… … le mot graphe est introduit pour la première fois par langlais J. J. Sylvester ( )

8 XXe siècle… La théorie des graphes devient une branche des mathématiques avec les travaux de König, Kuratowski et plus récemment de Berge, Erdös et Harary.

9 Claude Berge, dans le discours inaugural des Journées internationales détudes de la théorie des graphes (1966), déclare: «Je remercie les deux cent cinquante participants de ce congrès venus si nombreux à Rome pour un sujet qui, il y a dix ans seulement, naurait attiré quune dizaine de personnes. Étrange évolution que celle de la théorie des graphes, qui se développe par à-coups, sous limpulsion tour à tour du rôle de lélectricité, de la géométrie des polyèdres, de la théorie des jeux, et surtout maintenant de la recherche opérationnelle et du calcul électronique.»

10 Parcours du programme en 7 étapes

11 Point de départ : un peu partout des graphes…

12 Plan de métro Contenu : graphe, sommet, arête

13 Un polyèdre convexe ou Contenu : graphe, sommet, arête

14 Le plan dune ville, avec ses sens interdits… Contenu : graphe, graphe orienté

15 Un autre exemple, pris dans le Déclic page 234 Contenu : graphe, graphe orienté

16 Une carte routière… Contenu : graphe pondéré

17 Butane… Alanine En chimie organique Contenu : multigraphe

18 Première étape : modéliser une situation avec des graphes

19 Nous sommes en Il existe un transport interplanétaire entre les neuf planètes du système solaire. Des navires spatiaux assurent les liaisons suivantes : Pluton-Vénus, Uranus-Neptune, Terre-Mercure, Jupiter-Mars, Mercure-Vénus, Saturne-Neptune, Terre-Pluton, Saturne- Jupiter, Uranus-Mars, Pluton-Mercure. Peut-on partir de la Terre et arriver sur Mars ? (Bréal page 221)

20 Contenu : chaîne, graphe connexe

21 Loup, chèvre, chou Un passeur doit faire traverser une rivière à un loup, une chèvre et un chou, dans une barque si petite quil ne peut emporter que lun deux à chaque voyage. Pour des raisons évidentes, il ne peut laisser le loup et la chèvre seuls sur une rive, pas plus que la chèvre et le chou. Comment sy prend-il ?

22 Hyperbole page 267

23

24 Un exemple dactivité que nous ne trouvons pas très intéressante : activité 1 page 230 Déclic

25 Ne pas confondre un graphe avec sa représentation. d b a a d b e e f f c c

26 Deuxième étape : échanger des poignées de mains

27 Dans une réunion de 5 personnes, combien de poignées de mains sont échangées ? On suppose que tout le monde salue tout le monde… Même question avec 35 personnes. Contenu : graphe complet, lemme des poignées de mains

28 Comptons donc les arêtes de ce graphe… Une personne Une poignée de mains

29 La somme des degrés des sommets dun graphe est égale au double du nombre darêtes Cest donc un nombre pair ! où X est lensemble des sommets du graphe et A lensemble des arêtes.

30 Que vous inspire le tableau ci-contre ?

31 Graphe numéro G36Graphe numéro G37 De type (1, 2, 2, 2, 3)

32 1) Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit relié exactement avec 3 autres ? 2) Montrer que le nombre total de gens qui ont habité la terre et qui ont donné un nombre impair de poignées de mains est pair. 3) Construire un graphe dordre 8, ayant 13 arêtes, 2 sommets de degré 5, deux sommets de degré 3, 1 sommet de degré 4 et les trois autres sommets de même degré. Construire un graphe dordre 8, ayant 13 arêtes, 2 sommets de degré 4, deux sommets de degré 3 et les quatre autres sommets de même degré pair. (exercice 11 page 241 Déclic) Quelques exercices classiques 4) Construire un graphe dont les sommets ont pour degré respectif (4, 4, 5, 5, 5, 5, 6)

33 Et les coups de pieds aux fesses ? Cest un graphe orienté… nombre de coups de pieds donnés = nombre de coups de pieds reçus = nombre darêtes (orientées)

34 Troisième étape : représenter un graphe par sa matrice

35 Matrice dadjacence dun graphe simple La matrice est symétrique. La somme des nombres dune même ligne (ou dune même colonne) donne le degré du sommet correspondant. La diagonale ne contient que des zéros.

36 Matrice dadjacence dun graphe orienté La matrice nest plus symétrique. La somme des nombres dune ligne donne le degré sortant du sommet correspondant ; la somme des nombres dune colonne donne le degré entrant du sommet correspondant. Ces deux nombres ne sont plus forcément égaux. La trace de la matrice donne le nombre de boucles du graphe.

37 Quatrième étape : cheminer dans les graphes

38 Une chaîne… Quand elle nutilise pas plusieurs fois la même arête, la chaîne est dite simple. Au sens du programme, un cycle est une chaîne simple qui revient à son point de départ.

39 Les ponts de Königsberg

40 Contenu : chaîne, cycle, chaîne et cycle eulériens

41 Théorème dEuler 1) Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair. 2) Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2.

42 Principe de la construction dun cycle eulérien Premier pas : cycle S1 S2 S4 S3 S1 Deuxième pas : cycle S1 S2 S6 S7 S2 S4 S3 S1 Troisième pas : cycle S1 S2 S6 S7 S5 S1 S7 S2 S4 S3 S1

43 Les dominos Peut-on aligner tous les dominos dun jeu ?

44 Prolongement : à quelle condition un graphe complet admet- il un cycle eulérien ?

45 Est-il possible de tracer les figures suivantes sans lever le crayon et sans repasser deux fois par le même trait ? Expliquer pourquoi.

46 Est-il possible de tracer une courbe, sans lever le crayon, qui coupe chacun des 16 segments de la figure suivante ?

47 Dénombrement de chaînes en utilisant la matrice dadjacence Soit le graphe de matrice dadjacence M. Le nombre de chaînes de longueur p joignant le sommet S i au sommet S j est égal au coefficient a ij, situé à la i e ligne et à la j e colonne de M p. Attention aux éléments de la diagonale : Ils dénombrent les chaînes de longueur p qui reviennent à leur point de départ, et non pas les cycles au sens du programme (voir par exemple les exercices page 244 du Déclic).

48 Ci-dessous est donné le plan dun parcours de santé : il est constitué de chemins à sens unique et de points de repère, distants les uns des autres de 800 mètres. E désigne lentrée du parcours et S la sortie. Combien y a-t-il de trajets différents ayant 1,6 Km ? 3,2 Km ? 8 Km ? Un exemple proposé par Michel Zehler, sur le site de lacadémie de la Réunion (http://www.ac-reunion.fr)

49 Cinquième étape : colorier les graphes

50 Déclic page 250 Contenu : nombre chromatique

51 Coloriage dun graphe complet = 2 = 3 = 4 = 5 Le nombre chromatique dun graphe complet est égal à son ordre. Si un graphe contient un sous-graphe complet dordre p, alors le nombre chromatique est supérieur ou égal à p. Important

52 Comment colorier un graphe ? On utilise lalgorithme de Welsh et Powell… Les sommets ont été ordonnés par numéro.

53 Les sommets ont été ordonnés par numéro…

54 Les sommets ont été ordonnés par ordre décroissant de leurs degrés Attention, lalgorithme de Welsh-Powell ne donne pas forcément le nombre chromatique…

55 Notion dalgorithme Un algorithme peut être défini comme un processus, une suite d'instructions permettant la résolution d'un problème donné dans toute sa généralité et en particulier quelle que soient les données du problème. Le terme algorithme tire son origine du nom du mathématicien Al-Khwarizmi, né vers 780 dans la région du Kharezm (d'où son nom d'ailleurs), située au sud de la mer d'Aral, et mort vers 850.

56 Quelques exemples classiques dutilisation organisation dexamens ; organisation de conseil de classes (Bréal 59 page 251) ; coloriage de cartes (Bréal 57 page 250) ; incompatibilité dhumeur (Déclic TD4 page 258) ; approvisionnement de chantiers par différentes routes (Déclic 53 page 289).

57 Sixième étape : pondérer les graphes

58 Longueur dune chaîne dun graphe quelconque = nombre des arêtes qui la constituent. Distance entre deux sommets = longueur de la plus courte chaîne joignant ces sommets. Diamètre dun graphe = la plus grande distance entre deux sommets. Poids (ou valeur) dune chaîne dun graphe pondéré (ou valué) = somme des poids des arêtes qui la constituent.

59 Lalgorithme de Moore permet de déterminer la distance entre deux sommets.

60

61 Lalgorithme de Dijkstra permet de déterminer une chaîne de poids mimum reliant deux sommets.

62 La marque dun sommet donne la longueur dune chaîne de poids minimal reliant le point A de départ à ce sommet.

63 Plusieurs chaînes de poids minimum sont parfois possibles : voir par exemple Déclic numéro 9 page 282.

64 Septième étape : travailler avec des graphes probabilistes

65 Etude dune situation (à partir de lexercice 36 page 244 du Bréal) On dispose dune urne rouge contenant une boule rouge et quatre boules noires. On dispose aussi dune urne noire contenant trois boules rouges et une boule noire. On effectue une suite de tirage dune boule selon les règles suivantes : 1) le premier tirage a lieu dans lune des deux urnes choisies au hasard ; 2) après chaque tirage dans une urne, la boule est remise dans la même urne ; 3) après chaque tirage, on tire dans lurne qui a la couleur de la boule tirée. Modéliser cette situation. Urne rougeUrne noire

66 Première idée : larbre de probabilité UR UN 1/2 1/5 4/5 br bn 3/4 1/4 bn br UR 1/5 4/5 br bn UR 1/5 4/5 br bn UN 3/4 1/4 br bn UN 3/4 1/4 br bn Choix de lurnePremier tirage Deuxième tirage … Urne rouge Urne noire

67 br bn UR 1/5 4/5 br bn UN 3/4 1/4 br bn n e tirage(n + 1) e tirage pnpn qnqn (probabilités simples) (probabilités conditionnelles) On en déduit que :

68 Si la suite (p n ) a une limite p, elle vérifie nécessairement : Ce qui donne p = 15/31 (et donc q = 16/31). Travaillons donc avec p n – 15/31. La relation de récurrence donne : La suite (p n – 15/31) est géométrique de raison – 11/20 : elle converge vers 0, et ce quel que soit le choix de p 0.

69 Deuxième représentation : le graphe probabiliste Deux états possibles : premier état, boule rouge ; deuxième état, boule noire. Quatre probabilités conditionnelles : probabilité davoir une boule rouge sachant quau tirage précédent, on a eu une boule noire, etc. Un graphe pondéré (le graphe probabiliste) qui visualise cette situation 4/5 3/4 1/5 1/4 La matrice de transition du graphe probabiliste : M = se traduit par :

70 À laide de la matrice, on peut calculer simplement les probabilités p n et q n et voir comment elles évoluent. Problème : comment calculer M n ? Le résultat général dune situation à deux états est au programme (deux démonstrations dans les manuels : par les suites, comme dans notre exemple, ou par le calcul explicite de M n par la formule du binôme, comme dans le document daccompagnement.)

71 La visualisation de la limite peut être faite avec une calculatrice : dans notre exemple, M n semble avoir pour limite : On démontre que cest bien la limite en utilisant une des deux méthodes précédemment exposées.

72 Létat limite est indépendant des probabilités des états initiaux…

73 Quelques définitions : Matrice stochastique : matrice dont les coefficients sont positifs et dont la somme sur chaque ligne vaut 1. Cest le cas par exemple de la matrice de transition dun graphe probabiliste. Chaîne de Markov : on les rencontre quand on a affaire à un système qui peut prendre un nombre fini détats et qui évolue par étapes successives dun état à un autre. La probabilité quà une étape donnée le système soit dans un état ne dépend que létat précédent. Plus précisément, une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n ), chacune prenant pour valeurs les différents états possibles. Graphe probabiliste : graphe orienté à k sommets, pondéré par des nombres positifs tels que la somme des poids des arêtes sortant de chaque sommet vaut 1. Chacun des poids peut sinterpréter comme une probabilité conditionnelle.

74 Andrei A. MARKOV

75 Résultat général On considère un graphe probabiliste à k états (numérotés de 1 à k). On appelle M la matrice de transition de ce graphe (m ij est la probabilité de passer de létat i à létat j) et on suppose que les m ij sont tous strictement positifs. On note P n le vecteur à une ligne et k colonnes donnant les probabilités des k états à létape n. 1) La suite (P n ) admet une limite P, indépendamment du vecteur initial P 0. 2) La suite (M n ) converge vers une matrice M, dont les k lignes sont identiques, la somme des termes dune ligne valant 1. 3) P M = P. 4) P M = P. (On dit que P est un état stable de la matrice M)

76 Remarques sur les puissances de matrice… Lhabitude pour calculer la puissance n-ième dune matrice M (stochastique ou non) est de la réduire en calculant ses valeurs propres cest-à-dire en cherchant les nombres réels ou complexes tels que : MV = V Si la matrice M est diagonalisable, on peut écrire : donc Et la limite de D n, et de M n, est facile à obtenir. et la limite de Dn est facile à déterminer. Que sait-on des valeurs propres dune matrice stochastique ? 1 est toujours valeur propre, associée au vecteur propre constitué dune colonne de 1 ; si les coefficients de la matrice M sont tous strictement positifs, 1 est valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à 1.

77 Voir aussi lexemple de Gérard Grancher… (Kevin et ses retards au lycée)

78 Kévin narrive pas toujours à lheure au lycée : il nest jamais en retard ou en avance deux jours consécutifs ; sil était en retard la veille, il sera en avance une fois sur deux ; quand un jour il est en avance, le lendemain Kévin sera en retard une fois sur quatre ; Kévin a la même probabilité dêtre en retard, ponctuel ou en avance, quand la veille il était à lheure. R P A

79 Questions : Kévin était en avance le jour de la rentrée, que peut-on prévoir pour le troisième jour ? Quand il est en retard, Kévin doit venir chercher un billet de retard auprès du conseiller principal déducation. Avec quelle fréquence Kévin visitera le bureau du CPE ? Au troisième retard, un avertissement sera décerné à Kévin. En moyenne, au bout de combien de jours, cet événement se réalisera-t-il ? Jérémie, le copain de Kévin, fréquente lui aussi assez régulièrement le bureau du CPE. Pouvez-vous aider le CPE à estimer la matrice de transition modélisant le comportement de Jérémie ?


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