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« Un nombre premier est un nombre qui ne se casse pas quand on le laisse tomber par terre. » P PP Paul Erdös (1913 – 1996)

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1 « Un nombre premier est un nombre qui ne se casse pas quand on le laisse tomber par terre. » P PP Paul Erdös (1913 – 1996)

2 Soit p un entier naturel strictement supérieur à 1. On dit que p est un nombre premier si l'ensemble de ses diviseurs dans est {1 ; p}. Soit a un entier naturel strictement supérieur à 1. a possède au moins un diviseur premier. si a n'est pas premier, alors au moins un des diviseurs premiers de a est inférieur ou égal à Pour déterminer si un nombre donné N est premier, on peut chercher s'il est divisible par un nombre premier inférieur ou égal à Pour savoir si 991 nest pas premier, il suffit de voir si 991 est divisible par un nombre premier inférieur à 32. Exemple :

3 Crible dEratosthène. Ératosthène (en grec ancien ρατοσθένης / Eratosthénês) était un astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec du IIIe siècle av. J.-C. Ératosthène fut nommé à la tête de la bibliothèque d'Alexandrie vers -240 à la demande de Ptolémée III, pharaon d'Égypte, et fut précepteur de son fils. Astronome passionné, on dit que, devenu aveugle, il se laissa mourir de faim, ne pouvant plus admirer les étoiles. On forme une table avec tous les entiers naturels compris entre 2 et N on raye les uns après les autres, les entiers qui ne sont pas premiers de la manière suivante : dès que l'on trouve un entier qui n'a pas encore été rayé, il est déclaré premier, et on raye tous les autres multiples de celui-ci. Le crible d'Ératosthène est un procédé qui permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un certain entier naturel donné N.N. C'est l'ancêtre du plus récent crible d'Atkin qui est plus rapide mais plus complexe.

4 Crible dEratosthène.

5 Il existe dans une infinité de nombres premiers. Supposons que l'ensemble des nombres premiers soit un ensemble fini {p 1, p 2,, p k }. Soit n = p1 p1 x p2 p2 x x pk pk + 1. n est strictement supérieur à 1, il admet donc un diviseur premier, c'est-à-dire l'un des nombres pi.pi. pi pi divise n et pi pi divise p1 p1 x p2 p2 x x pk pk, donc pi pi divise leur différence, c'est-à-dire 1, ce qui est absurde. L'ensemble des nombres premiers n'est donc pas un ensemble fini.

6 Tout entier supérieur ou égal à 2 est un nombre premier ou un produit de nombres premiers. Décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. n peut se décomposer sous la forme : p 1 1 x p 2 2 x … x p k k. où p 1, p 2, p k sont des nombres premiers tels que p 1 < p 2 < < p k et 1, 2, k des entiers naturels non nuls. Cette décomposition est appelée décomposition de n en produit de facteurs premiers. On admet que cette décomposition est unique.

7 On considère le nombre 360. Il est divisible par 2 et on peut écrire 360 = 2 x est encore divisible par 2 et on peut écrire 180 = 2 x est encore divisible par 2 et on peut écrire 90 = 2 x est divisible par 3 et on peut écrire 45 = 3 x est divisible par 3 et on peut écrire 15 = 3 x 5 Finalement on obtient 360 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2 3 x 3 2 x 5 C'est la décomposition du nombre 360 en produit de facteurs premiers

8 Soit n un entier supérieur ou égal à 2, dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : p 1 1 x p 2 2 x … x p k k. L'ensemble des diviseurs naturels de n est l'ensemble des entiers d s'écrivant sous la forme : p 1 1 x p 2 2 x … x p k k. où 1, 2,, k sont des entiers naturels tels que : 0 1 1, 0 2 2,..., 0 k k. On a 360 = x x 5. Ainsi x 5 = 20, x 3 2 = 72, 2 x 3 x 5 = 30 sont des diviseurs de 360.

9 Plus grand nombre premier connu à ce jour (4 septembre 2006) Plus grand nombre premier connu à ce jour (4 septembre 2006) Comme ses prédécesseurs, il s'agit d'un n nn nombre de Mersenne. Il s'écrit avec chiffres en base 10 ! Cela fait environ 1500 feuilles A4 pour écrire ce nombre ! C'est le 10 ème nombre de Mersenne premier trouvé par le projet GIMPS et le 44 ème nombre de Mersenne premier connu. On l'appelle : M44. Great Internet Mersenne Prime Search. Pour les nombres de Mersenne il existe une méthode (comparativement) très rapide pour déterminer s'ils sont premiers, développée à l'origine par Lucas en 1878 et améliorée par Lehmer dans les années On peut effectivement montrer que pour p nombre premier impair Mp Mp = 2p 2p 1 est premier si et seulement si Mp Mp divise Sp Sp 1, où S1 S1 = 4 et pour k > 1, S k+1 = Sk2 Sk2 + 2.


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