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1 Thierry Dias décembre 2006 La géométrie géo : la terre metrikos : mesure.

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2 1 Thierry Dias décembre 2006 La géométrie géo : la terre metrikos : mesure

3 2 Thierry Dias décembre 2006 contenus des textes officiels L école élémentaire espacegéométrie repérage orientation relations et propriétés solides figures planes compétences et savoirs : pluri-disciplinaire compétences et savoirs : mathématiques

4 3 Thierry Dias décembre 2006 L'objectif principal est de permettre aux élèves de passer progressivement : d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par explicitation de propriétés et recours à des instruments. deux géométries : empirique et théorique L école élémentaire référence aux travaux de Salin et Berthelot

5 4 Thierry Dias décembre 2006 deux géométries : empirique et théorique de l'objet au concept L école élémentaire du dessin à la figure de je vois à je sais

6 5 Thierry Dias décembre 2006 Géométrie Empirique (pratique) Géométrie Théorique IntuitionSensible et perceptiveLiée aux figures Expérience Liée à lespace mesurable Schéma de la réalité Déduction Proche du réel et liée à lexpérience par la vue Démonstration basée sur des axiomes L école élémentaire aider au passage d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique référence aux travaux de Houdement et Kuzniak

7 6 Thierry Dias décembre 2006 L école élémentaire liens entre intuition et expérience intuitionexpérience nourrit structure évidences informations référence aux travaux de Coppe

8 7 Thierry Dias décembre 2006 Comment résoudre ce paradoxe perceptif ?? L école élémentaire d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique illustration :

9 8 Thierry Dias décembre 2006 Les activités du domaine géométrique : ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles, utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur. retour aux textes officiels L école élémentaire

10 9 Thierry Dias décembre 2006 programmes : progression L école élémentaire de manière continue progressivement Les apprentissages se déroulent de manière continue de la petite section de maternelle jusquau CM2. Un vocabulaire précis doit être progressivement mis en place. Le principe est de partir du réel (et donc dobjets matériels) puis dabstraire peu à peu. La primauté est donnée à la géométrie dans lespace. Il ny a pas de démonstration bien entendu, mais un début dapprentissage du raisonnement, notamment dans les activités de reproduction de figures.

11 10 Thierry Dias décembre 2006 Structuration de l'ensemble des concepts : aspects notionnels Objets : point, droite, segment, angle, milieu carré, rectangle, losange, parallélogramme, triangles, cercle cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet Relations : alignement, égalité de longueurs, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale Vergnaud Mesures : longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du rectangle, longueur du cercle. L école élémentaire

12 11 Thierry Dias décembre 2006 quatre mots-clés (types de tâches) : Reproduire : des figures, y compris la réalisation pratique de solides Décrire : des figures, pour les identifier ou les représenter Représenter : notamment des solides, avec les problèmes de faces visibles ou invisibles, les patrons Construire : des figures, avec des matériaux et des outils multiples : règle, équerre, gabarit, calque, compas L école élémentaire

13 12 Thierry Dias décembre 2006 Pour quoi enseigner la géométrie : 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement 2. Apprendre aux élèves à voir dans l espace 3. Apprendre aux élèves à raisonner Comment enseigner la géométrie : 1. Mettre en œuvre des situations de recherche 2. Mettre en œuvre des situations de communication 3. Faire une place aux nouvelles technologies 4. Lier la géométrie aux autres disciplines donc...

14 13 Thierry Dias décembre 2006 Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication Analyser, reproduire et décrire une figure Donner du sens à un programme de construction à vos crayons !!

15 14 Thierry Dias décembre 2006 Organisation 1 : une seule figure par binôme E/R Dans un premier temps, les élèves élaborent un message écrit (sans dessin), quils transmettent pour exécution à leur correspondant. Dans un second temps, les récepteurs réalisent la production demandée par leur camarade. En cas dambiguïté, ils peuvent poser une question aux émetteurs mais par écrit. Dans un troisième temps, émetteurs et récepteurs appariés, se réunissent pour comparer avec lattendu, débattre des différences et écrire deux messages définitifs quils donnent à lenseignant*. * Celui-ci peut alors, soit organiser un débat collectif pour valider les messages, soit évaluer chaque message avec le groupe réalisateur de la dernière mouture.

16 15 Thierry Dias décembre 2006 Organisation 2 : deux figures simultanées (une différente pour chaque binôme E/R) temps 1 : travail en binôme : observation de la figure, reproduction de la figure, description par un message temps 2 : travail en binômes : échanges des messages : lecture de la description écrite, construction de la figure temps 3 : mise en commun par regroupement de binômes : comparaison des figures et conclusions sur les écrits, si des différences sont importantes, on peut essayer de corriger le message écrit en tenant compte de ces différences temps 4 : mise en commun collective : difficultés et réussites rencontrées, dégagement par l'enseignant des invariants (ce qui fonctionne bien), institutionnalisation

17 16 Thierry Dias décembre 2006 Un exemple de séquence A/ règle + équerre : 2 séances B/ règle + équerre + compas : 2 séances

18 17 Thierry Dias décembre 2006 A/ Règle + équerre séance 1 objectif : permettre de découvrir que ce sont les propriétés qui fondent les caractéristiques des polygones particuliers que sont le carré et le rectangle et non pas leur forme. propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à deux), angle droit.

19 18 Thierry Dias décembre 2006 Fig. 1Fig. 2 mots interdits pour les émetteurs : carré, rectangle remarque : l'enseignant veille bien à proposer les figures de façon inclinées afin d'éviter la position prototypique.

20 19 Thierry Dias décembre 2006 séance 2 objectif : prendre conscience que l'orientation d'une figure ne change pas ses propriétés, mais que le programme de construction peut s'en trouver changé. propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à deux), angle droit, milieu d'un segment, éventuellement diagonales

21 20 Thierry Dias décembre 2006 Fig. 1Fig. 2 remarque : même figure, même dimension, mais orientation différente

22 21 Thierry Dias décembre 2006 B/ Règle + équerre + compas séance 3 objectif : découvrir des constructions de figure à partir d'un carré propriétés travaillées : milieu d'un segment; arc de cercle, centre d'un cercle, éventuellement diamètre et rayon d'un cercle

23 22 Thierry Dias décembre 2006 Fig. 1Fig. 2 remarque : même base carrée (visible ou non au choix)

24 23 Thierry Dias décembre 2006 Fig. 1Fig. 2 séance 3 bis remarque : ces figures peuvent être données en même temps que celles de la séance 3 lors d'un séance plus différenciée

25 24 Thierry Dias décembre 2006 Une classe de 6 eme du collège de la Grange du Bois et les classes de CM2 se sont lancées un défi dans le domaine de la géométrie. Les fiches proposées ont été élaborées par les élèves... Pour les utiliser, tu peux effectuer une impression de la page principale. La solution apparaît si tu cliques dans le cadre tout en bas.

26 25 Thierry Dias décembre 2006 Trace un cercle de centre A et de 3,5 cm de rayon. Trace un cercle de 3,5 cm de rayon et qui passe par le point A. Place les points B et C aux intersections des deux cercles. Trace un cercle de centre B et de 3,5 cm de rayon. Trace un cercle de centre C et de 3,5 cm de rayon. Colorie comme tu veux avec les crayons de couleur ou les feutres. Repasse sur les contours avec ton feutre noir.

27 26 Thierry Dias décembre 2006

28 27 Thierry Dias décembre 2006 Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication ABC DEF G H JKLM

29 28 Thierry Dias décembre 2006 Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp "Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S) S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la référence) I : ensemble des invariants sur lesquels repose lopérationalité des schèmes (le signifié) S : ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)"

30 29 Thierry Dias décembre 2006 BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Lenseignement de la géométrie à lEcole primaire, Grand N n°53 (p ), IREM de Grenoble, 1994 BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3, Grand N n°56 (p ), IREM de Grenoble, 1995 BERTHELOT R. & SALIN M.H., Lenseignement de la géométrie au début du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001 IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000 HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999


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