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Quand stat et probas se rencontrent Pierre Henrotay Maggy Schneider ULg, Ladimath 1.

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1 Quand stat et probas se rencontrent Pierre Henrotay Maggy Schneider ULg, Ladimath 1

2 Stat/Probas dans les programmes actuels Au premier degré Au premier degré Représentation de données numériques par divers diagrammes Représentation de données numériques par divers diagrammes Au deuxième degré Au deuxième degré Effectifs et fréquences Effectifs et fréquences Valeurs centrales et paramètres de dispersion Valeurs centrales et paramètres de dispersion Au troisième degré Au troisième degré Statistiques à deux variables (6e) Statistiques à deux variables (6e) Calcul des probabilités (6e) Calcul des probabilités (6e) Analyse combinatoire (6e) Analyse combinatoire (6e) 2

3 Extraits choisis La statistique est la première des sciences inexactes (Edmond et Jules Goncourt) La statistique est la première des sciences inexactes (Edmond et Jules Goncourt) La statistique a démontré que la mortalité dans l'armée augmente sensiblement en temps de guerre (Alphonse Allais) La statistique a démontré que la mortalité dans l'armée augmente sensiblement en temps de guerre (Alphonse Allais) Les statistiques c'est comme le bikini: ça donne des idées, mais ça cache l'essentiel ! (Coluche) Les statistiques c'est comme le bikini: ça donne des idées, mais ça cache l'essentiel ! (Coluche) Il y a trois sortes de mensonges : les mensonges, les sacrés mensonges et les statistiques (Mark Twain) Il y a trois sortes de mensonges : les mensonges, les sacrés mensonges et les statistiques (Mark Twain) Je ne crois aux statistiques que quand je les ai moi- même falsifiées (Winston Churchill) Je ne crois aux statistiques que quand je les ai moi- même falsifiées (Winston Churchill) 3

4 Extraits choisis La statistique moderne paraît avoir enfin résolu le problème légendaire qui consistait, connaissant la longueur du navire et la durée de la traversée (du temps de la navigation à voile, on y ajoutait la hauteur du grand mât) à calculer lâge du capitaine (André Weil, 1940) André Weil ( ) est un des membres fondateurs du groupe Bourbaki A sa mort, sa biographie officielle indiquait « Membre de lAcadémie des Sciences et des Lettres de Poldévie », … un pays imaginaire 4

5 Enseigner la statistique… (… conditions et contraintes, F. Wozniak, IUFM Lyon) 3 constats : 3 constats : Place minorée Place minorée Réduction arithmétique Réduction arithmétique Dénégation de la variabilité Dénégation de la variabilité Temps didactiques : Temps didactiques : Chronogenèse : temps didactique qui « patine » Chronogenèse : temps didactique qui « patine » Topogenèse : questions introuvables, réduction arithmétique Topogenèse : questions introuvables, réduction arithmétique Mésogenèse : absence de milieu pour faire exister de vraies études statistiques Mésogenèse : absence de milieu pour faire exister de vraies études statistiques 5

6 Etymologie (Le Robert – Dictionnaire historique de la langue française) Statistique Statistique Emprunt au latin moderne statisticus « relatif à lEtat » (1672) Emprunt au latin moderne statisticus « relatif à lEtat » (1672) Formé à partir de litalien statistica (1633), dérivé de statista « homme dEtat » Formé à partir de litalien statistica (1633), dérivé de statista « homme dEtat » En anglais, Political Arithmetic (XVIIe) fut utilisé avant statistics (1798) En anglais, Political Arithmetic (XVIIe) fut utilisé avant statistics (1798) Le mot a dabord désigné létude méthodique des faits sociaux qui définissent un Etat Le mot a dabord désigné létude méthodique des faits sociaux qui définissent un Etat 6

7 Deux acceptions du terme « Statistique » 1. Recueil de données dobservations Sens originel Sens originel Données (pas toujours chiffrées) concernant les Etats Données (pas toujours chiffrées) concernant les Etats La pratique du recensement est déjà présente dans lune des plus anciennes civilisations (Sumer, 5e - 2e ACN) et se retrouve un peu partout (Chine, Japon, Hébreux, Incas, Grèce, Rome) La pratique du recensement est déjà présente dans lune des plus anciennes civilisations (Sumer, 5e - 2e ACN) et se retrouve un peu partout (Chine, Japon, Hébreux, Incas, Grèce, Rome) 17 e siècle : la statistique prend peu à peu le visage qui nous est aujourdhui familier : aspect calculatoire 17 e siècle : la statistique prend peu à peu le visage qui nous est aujourdhui familier : aspect calculatoire 18 e siècle : changement de perspective - base de prévisions (tables de mortalité, calcul de limpôt par coefficient multiplicateur…) - inférence 18 e siècle : changement de perspective - base de prévisions (tables de mortalité, calcul de limpôt par coefficient multiplicateur…) - inférence 7

8 Deux acceptions du terme « Statistique » 2. Ensemble des problèmes et méthodes liés au traitement des données recueillies Apparition du second sens du mot au 18e Apparition du second sens du mot au 18e Cest dans un mouvement de plus large ampleur quil faut situer le dépassement du simple constat numérique, vers le calcul et la prévision : le siècle des Lumières Cest dans un mouvement de plus large ampleur quil faut situer le dépassement du simple constat numérique, vers le calcul et la prévision : le siècle des Lumières On y reviendra (« Entre régularité et fluctuation ») … 8

9 Notion de probabilité Origine : jeux de hasard Origine : jeux de hasard Naissance : XVIIe, Pascal et Fermat, le problème des partis (1654) Naissance : XVIIe, Pascal et Fermat, le problème des partis (1654) Deux aspects émergent : Deux aspects émergent : Aspect plus théorique (Laplacienne) Aspect plus théorique (Laplacienne) cas favorables / cas possibles, équiprobabilité, dénombrements cas favorables / cas possibles, équiprobabilité, dénombrements cadre limité (jeux de hasard) cadre limité (jeux de hasard) Aspect plus pratique Aspect plus pratique observation statistique des fréquences, expérience du passé, loi des grands nombres (Bernoulli) observation statistique des fréquences, expérience du passé, loi des grands nombres (Bernoulli) cadre de la vie réelle : mortalité, assurances, défauts cadre de la vie réelle : mortalité, assurances, défauts 9

10 Notion de probabilité Malaise historique Malaise historique On ne peut guère donner une définition satisfaisante de la Probabilité H. Poincaré, 1856 (tautologie) On ne peut guère donner une définition satisfaisante de la Probabilité H. Poincaré, 1856 (tautologie) Variables continues, ensembles non dénombrables =difficulté particulière Variables continues, ensembles non dénombrables =difficulté particulière Problèmes liés à lintégration Problèmes liés à lintégration (1933) Kolmogorov : théorie axiomatique (1933) Kolmogorov : théorie axiomatique Basée sur la théorie de la mesure, la théorie des ensembles, lintégrale de Lebesgue Basée sur la théorie de la mesure, la théorie des ensembles, lintégrale de Lebesgue Réponse théorique rassurante pour la validité des calculs Réponse théorique rassurante pour la validité des calculs Ignore lutilisation et linterprétation des probabilités Ignore lutilisation et linterprétation des probabilités 10

11 Probabilités – Kolmogorov (1933) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, +-70 p Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, +-70 p Deux premiers chapitres (sur 6) : Deux premiers chapitres (sur 6) : Elementary theory of probabilities Elementary theory of probabilities Nombre fini dévénements uniquement Nombre fini dévénements uniquement Référence à laxiomatisation de la géométrie (Hilbert) Référence à laxiomatisation de la géométrie (Hilbert) 5 axiomes, mais aussi 2 pages consacrées à leur déduction empirique 5 axiomes, mais aussi 2 pages consacrées à leur déduction empirique Infinite probability fields Infinite probability fields 1 axiome supplémentaire (dit « de continuité ») 1 axiome supplémentaire (dit « de continuité ») Cas fini : axiome redondant Cas fini : axiome redondant 11

12 Probabilités – Kolmogorov (1933) Quelques réflexions de lauteur : « the new axiom is essential for infinite fields, it is almost impossible to elucidate its empirical meaning » « the new axiom is essential for infinite fields, it is almost impossible to elucidate its empirical meaning » « Infinite fields of probability occur only as idealized models of real random processes. We limit ourselves, arbitrarily, to only those models which satisfy axiom VI » « Infinite fields of probability occur only as idealized models of real random processes. We limit ourselves, arbitrarily, to only those models which satisfy axiom VI » « Grundbegriffe… » est considéré par beaucoup comme une contribution au problème 6 de Hilbert Axiomatiser la Physique (Paris, 1900, 2 e Congrès des Mathématiciens) 12

13 Probabilités – transposition actuelle Transposition actuelle largement basée sur axiomatique de Kolmogorov, comme dispensée à lUniversité, mais édulcorée (absents : tribu/σ-algèbre, infinité non dénombrable, variables continues, mesure de Lebesgue, intégrale impropre…) = praxéologie à trous Transposition actuelle largement basée sur axiomatique de Kolmogorov, comme dispensée à lUniversité, mais édulcorée (absents : tribu/σ-algèbre, infinité non dénombrable, variables continues, mesure de Lebesgue, intégrale impropre…) = praxéologie à trous Obstacles : Obstacles : « Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard nest-il pas lantithèse de toute loi ? » (J. Bertrand, 1889) « Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard nest-il pas lantithèse de toute loi ? » (J. Bertrand, 1889) « Tout est possible, car cest le hasard – on ne peut rien dire » « Tout est possible, car cest le hasard – on ne peut rien dire » Tout est possible (individuellement)… mais pas nimporte comment (sur un grand nombre de données) Tout est possible (individuellement)… mais pas nimporte comment (sur un grand nombre de données) 13

14 Secondaire vs Supérieur Secondaire – une certaine schizophrénie Secondaire – une certaine schizophrénie 14 Université Université

15 Liens stat/probas au Secondaire Conseils méthodologiques CF : « L'examen de tableaux statistiques conduira à approcher empiriquement la probabilité » CF : « L'examen de tableaux statistiques conduira à approcher empiriquement la probabilité » FESeC : « La notion de probabilité expérimentale [...] sera introduite à partir des fréquences et précisée en montrant la tendance quont celles-ci à se stabiliser lorsque le nombre dexpériences est grand (des simulations avec logiciels sont très instructives et éclairantes) » FESeC : « La notion de probabilité expérimentale [...] sera introduite à partir des fréquences et précisée en montrant la tendance quont celles-ci à se stabiliser lorsque le nombre dexpériences est grand (des simulations avec logiciels sont très instructives et éclairantes) » 15

16 La variabilité unit statistique et probabilités Laplace (1795) Laplace (1795) « Quelquefois les phénomènes paraissent dépendre d'une cause régulière ; et cependant, ils ne sont que le résultat de ces causes irrégulières, variables et inconnues, auxquelles nous donnons le nom de hasard. C'est à l'analyse des probabilités à déterminer jusqu'à quel point une cause régulière est probable en vertu de ces phénomènes, et à l'indiquer aux philosophes, comme objet digne de leurs recherches. » Létude de la variabilité permettra linduction statistique, avec lestimation et les tests (aide à la décision) Létude de la variabilité permettra linduction statistique, avec lestimation et les tests (aide à la décision) La problématique générale de la statistique est celle de la recherche et de la constitution dune dialectique à caractère scientifique entre régularité et fluctuations, dans lanalyse de phénomènes marqués par un caractère de variabilité La problématique générale de la statistique est celle de la recherche et de la constitution dune dialectique à caractère scientifique entre régularité et fluctuations, dans lanalyse de phénomènes marqués par un caractère de variabilité 16

17 Entre régularité et fluctuation Lidée centrale, qui porte en elle implicitement lidée dinférence, cest celle de la tendance moyenne, ou de régularité Lidée centrale, qui porte en elle implicitement lidée dinférence, cest celle de la tendance moyenne, ou de régularité Voir les régularités derrière lapparent désordre de la variabilité en travaillant sur des populations étendues, ou comme on dit, sur les « grands nombres » Voir les régularités derrière lapparent désordre de la variabilité en travaillant sur des populations étendues, ou comme on dit, sur les « grands nombres » Importance de la moyenne – dès Tycho Brahé, et souvent dans le cadre de lastronomie Importance de la moyenne – dès Tycho Brahé, et souvent dans le cadre de lastronomie Intervention dune théorie extérieure = calcul des probabilités et loi de Bernoulli, première approche de la loi des grands nombres Intervention dune théorie extérieure = calcul des probabilités et loi de Bernoulli, première approche de la loi des grands nombres 17

18 Entre régularité et fluctuation La théorie des erreurs permet de penser commodément les permanences du réel – dès Galilée (1632); Gauss propose une mesure des écarts proche de la variance (1805) La théorie des erreurs permet de penser commodément les permanences du réel – dès Galilée (1632); Gauss propose une mesure des écarts proche de la variance (1805) Apport des méthodes dajustement (moindres carrés) Apport des méthodes dajustement (moindres carrés) Minimisation des carrés des écarts par rapport à une valeur centrale – la moyenne comme estimateur optimal (Legendre, Gauss) Minimisation des carrés des écarts par rapport à une valeur centrale – la moyenne comme estimateur optimal (Legendre, Gauss) La distribution des erreurs selon une « loi universelle » (Laplace, Gauss) – loi « normale » (Pearson) La distribution des erreurs selon une « loi universelle » (Laplace, Gauss) – loi « normale » (Pearson) Variance et écart-type : 19 e seulement Variance et écart-type : 19 e seulement 18

19 Entre régularité et fluctuation Levée progressive dun obstacle : les fluctuations ne pourront plus être pensées comme des « aberrations » par rapport à la tendance moyenne Levée progressive dun obstacle : les fluctuations ne pourront plus être pensées comme des « aberrations » par rapport à la tendance moyenne Prise en compte des fluctuations autour de cette tendance centrale : elles sont révélatrices Prise en compte des fluctuations autour de cette tendance centrale : elles sont révélatrices Fin du 19e s et les débuts du 20e siècle surtout : représentativité dun échantillon, problématique de lestimation (Fischer), de lintervalle de confiance (Neyman) et des tests dhypothèse (Pearson+Neyman) Fin du 19e s et les débuts du 20e siècle surtout : représentativité dun échantillon, problématique de lestimation (Fischer), de lintervalle de confiance (Neyman) et des tests dhypothèse (Pearson+Neyman) 19

20 Une réflexion intéressante (Parnaudeau J-M., Lycée Poitiers) Dans ce que lon appelle habituellement la vie courante, la plupart des individus, pour la plupart des problèmes, raisonnent par induction. Demandez à quelquun qui fait des « mots codés » comment il procède, demandez à un réparateur comment il procède pour trouver une panne. Si mettre en oeuvre un test statistique, c'est dérouler un algorithme ou appliquer une technique, comme lors de la résolution des équations du second degré par radicaux, pour ne prendre quun exemple, alors nul besoin de faire un effort didactique et dans ce cas il faut laisser lenseignement des tests statistiques aux praticiens ou aux techniciens qui le font très bien. Si, par contre, on souhaite enseigner le raisonnement plausible, au même titre que le raisonnement déductif ou le raisonnement par récurrence, alors cet enseignement est du ressort du professeur de mathématiques. 20

21 Statistique inférentielle On lenseigne à luniversité On lenseigne à luniversité Peut-on envisager de lenseigner avant ? Quelle place lui donner ? Peut-on envisager de lenseigner avant ? Quelle place lui donner ? Brousseau a testé lenseignement du test dhypothèse à lécole élémentaire (1974) Brousseau a testé lenseignement du test dhypothèse à lécole élémentaire (1974) Enseignement secondaire : ? Enseignement secondaire : ? Source dinspiration possible: JM Parnaudeau (Lycée Poitiers) « Quelques hypothèses sur les risques que lon prend lorsque lon souhaite enseigner les tests dhypothèses ! » (Atelier JN 2006 APMEP Clermont Ferrand) Ce ne sont pas le vocabulaire ou les formules qui apportent le sens 21

22 Une approche possible dans le secondaire Parcours où stat et probas se rencontrent dès le début Parcours où stat et probas se rencontrent dès le début Mariage de raison pour répondre à des besoins précis – aspect incontournable, « fondamental » Mariage de raison pour répondre à des besoins précis – aspect incontournable, « fondamental » Statistique inférentielle (dite aussi « inductive » ou … « mathématique ») comme point de départ Statistique inférentielle (dite aussi « inductive » ou … « mathématique ») comme point de départ Nécessaire abandon de lapproche purement calculatoire Nécessaire abandon de lapproche purement calculatoire Eviter « lapprentissage inflationniste de vocabulaire » Eviter « lapprentissage inflationniste de vocabulaire » Formalisation définitive des probabilités par axiomes en finale Formalisation définitive des probabilités par axiomes en finale 22

23 Un cas dinfrastructure manquante… … statistique et probabilités en classe de 3eme (Y. Chevallard + F. Wozniak) – atelier à lécole dété de didactique des mathématiques Que pourrait être un scénario qui fait vivre les probabilités comme modélisant la variabilité statistique ? Que pourrait être un scénario qui fait vivre les probabilités comme modélisant la variabilité statistique ? Inévitable question : en quoi et comment les probabilités modélisent-elles la variabilité statistique ? Inévitable question : en quoi et comment les probabilités modélisent-elles la variabilité statistique ? 23

24 Un cas dinfrastructure manquante… Elément-clé absent : la probabilité est regardée comme une approximation de la fréquence observable, plutôt que linverse; or Elément-clé absent : la probabilité est regardée comme une approximation de la fréquence observable, plutôt que linverse; or La relation dapproximation est symétrique La relation dapproximation est symétrique Cest le sens inverse qui est central dans la modélisation probabiliste de la variabilité statistique Cest le sens inverse qui est central dans la modélisation probabiliste de la variabilité statistique Autre manque essentiel : en stat/probas, on part dun état de non-mathématisation préalable : la variabilité est extérieure aux maths (loi « expérimentale » des grands nombres) ; donc; en attente de mathématisation Autre manque essentiel : en stat/probas, on part dun état de non-mathématisation préalable : la variabilité est extérieure aux maths (loi « expérimentale » des grands nombres) ; donc; en attente de mathématisation Poincaré : (loi normale) « Tout le monde y croit […] car les expérimentateurs simaginent quil sagit dun théorème de mathématiques et les mathématiciens que cest un fait expérimental » 24

25 Un cas dinfrastructure manquante… Les règles de calcul : les axiomes de Kolmogorov naissent de la modélisation des fréquences empiriques – or : occultation de la « relation to experimental data » Les règles de calcul : les axiomes de Kolmogorov naissent de la modélisation des fréquences empiriques – or : occultation de la « relation to experimental data » Processus doubli du fondement fréquentiste du calcul des probabilités, au profit de principes de symétrie et déquiprobabilité, de la combinatoire Processus doubli du fondement fréquentiste du calcul des probabilités, au profit de principes de symétrie et déquiprobabilité, de la combinatoire Le calcul des probabilités devient une réalité en soi et pour soi : lorigine statistique semble perdue, refoulée; cest même devenu une « fin en soi » Le calcul des probabilités devient une réalité en soi et pour soi : lorigine statistique semble perdue, refoulée; cest même devenu une « fin en soi » 25

26 Un cas dinfrastructure manquante… Estimation contre pari Mis en avant : la problématique de lestimation (proba inconnue, on lestime par une fréquence observée sur une série de réalisations) Mis en avant : la problématique de lestimation (proba inconnue, on lestime par une fréquence observée sur une série de réalisations) La problématique statistique est le point de vue inverse : ayant estimé la probabilité, on veut prédire la fréquence quon sattend à observer : cest le pari quil faut privilégier plutôt que lestimation La problématique statistique est le point de vue inverse : ayant estimé la probabilité, on veut prédire la fréquence quon sattend à observer : cest le pari quil faut privilégier plutôt que lestimation 26

27 Stat/Probas - Quels liens ? La Statistique sans la théorie des Probabilités est aveugle et la théorie des Probabilités sans la Statistique est vide. (Hanss Schupp, in Studies in mathematics education. Vol 7. The teaching of statistics. Editions UNESCO, Paris, 1994) 27

28 Répartition des tâches (business model) 28 Contexte: réalisation dun test dhypothèse en biostatistique

29 Obstacles majeurs identifiés Obstacles a priori à lapprentissage de lanalyse statistique inférentielle (Calmant, Ducarme, Schneider, Statistique & Enseignement, 2011, Vol 2-1, « Expériences commentées ») 3 obstacles majeurs identifiés 3 obstacles majeurs identifiés Non prise en compte de la variabilité Non prise en compte de la variabilité Obstacle épistémologique Obstacle épistémologique Décodage dostensifs graphiques en termes X-Y Décodage dostensifs graphiques en termes X-Y Obstacle didactique Obstacle didactique Difficulté à concevoir des niveaux sémantiques plus abstraits Difficulté à concevoir des niveaux sémantiques plus abstraits Obstacle cognitif Obstacle cognitif 29

30 Quelques suggestions de lecture Traité de didactique des mathématiques, pp , pp , pp Traité de didactique des mathématiques, pp , pp , pp Eléments de statistique (Dehon, Droesbeke, Vermandel) Eléments de statistique (Dehon, Droesbeke, Vermandel) Que sais-je Que sais-je La statistique (Vessereau) La statistique (Vessereau) Les probabilités (Jacquard) Les probabilités (Jacquard) Histoire de la statistique (Droesbeke & Tassi) Histoire de la statistique (Droesbeke & Tassi) La probabilité, le hasard et la certitude (Deheuvels) La probabilité, le hasard et la certitude (Deheuvels) Linduction statistique au Lycée (Dutarte) Linduction statistique au Lycée (Dutarte) 30


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