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Apprendre les mathématiques pour apprendre à raisonner ? APMEP. Journée de la Régionale Ile de France Samedi 27 Mai 2006 « Comment se fait-il quil y a.

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1 Apprendre les mathématiques pour apprendre à raisonner ? APMEP. Journée de la Régionale Ile de France Samedi 27 Mai 2006 « Comment se fait-il quil y a tant desprits qui se refusent à comprendre les mathématiques ? Ny a-t-il pas là quelque chose de paradoxal ? Comment, voilà une science qui ne fait appel quaux principes fondamentaux de la logique, au principe de contradiction, par exemple, à ce qui fait pour ainsi dire le squelette de notre entendement, à ce quon ne saurait dépouiller sans cesser de penser, et il y a des gens qui la trouvent obscure ! et même ils sont en majorité ! » Henri POINCARE

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3 Hypothèses Conclusion Propriété BPropriété CPropriété EPropriété APropriété D

4 Hypothèses Conclusion Propriété BPropriété CPropriété EPropriété APropriété D Th. 1 Th. 2 Th. 3

5 A B C D K L I J

6 A B C P Q R

7 Problème : 12 roses coûtent 28 euros, combien coûteront 49 roses ? Problème : une tirelire contient des billets de 5 et de 10 euros, elle contient 37 billets en tout pour une somme 305 euros. Combien contient-elle de billets de chaque sorte ? Problème : 70 vaches tondent un pré en 24 jours, 30 vaches le tondent en 60 jours, combien faut-il de vaches pour le tondre en 96 jours ?

8 Problème : Y désigne une variable aléatoire réelle sur lespace de probabilité (, F, P). On suppose que, pour tout t > 0, on a : E(e tY ) C e, avec C et > 0. Démontrer que, pour tout > 0, on a : P(Y ) C e. t 2 2 /2 – 2 /2 2

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10 Hypothèses Conclusion Propriété BPropriété CPropriété EPropriété APropriété D Th. 1 Th. 2 Th. 3

11 A B C D K L I J Propriété des médianes

12 A B C P Q R

13 A B C

14 A B C

15 Problème : 12 roses coûtent 28 euros, combien coûteront 49 roses ? Problème : une tirelire contient des billets de 5 et de 10 euros, elle contient 37 billets en tout pour une somme 305 euros. Combien contient-elle de billets de chaque sorte ? Problème : 70 vaches tondent un pré en 24 jours, 30 vaches le tondent en 60 jours, combien faut-il de vaches pour le tondre en 96 jours ? Règle de trois… Tableau de proportionnalité ! Fausses suppositions… Système à deux inconnues ! Proportionnalité ? Inverse proportionnalité ? Fausse position ?…

16 Problème : Y désigne une variable aléatoire réelle sur lespace de probabilité (, F, P). On suppose que, pour tout t > 0, on a : E(e tY ) C e, avec C et > 0. Démontrer que, pour tout > 0, on a : P(Y ) C e. t 2 2 /2 – 2 /2 2 Bienaymé- Tchebychev

17 Problème : Un fermier possède un petit troupeau de 19 vaches, elles meurent toutes sauf 7, combien lui reste-t-il de vaches ? Problème : me rendant à la plage, j'ai croisé 6 hommes qui avaient chacun 6 femmes, chaque femme avait 6 enfants et chaque enfant avait 6 chats. Combien de personnes et d'animaux vont à la plage ? Problème : un navire de 500 tonneaux, avec trois mâts, 30 hommes d'équipage, 200 balles de coton, 1500 litres de vin, 1 tonne de café, 3 tonnes de bananes... arrive à Marseille en Quel est l'âge du capitaine ? Soustraction ! Multiplication Addition Age du capitaine !

18 Problème : Un fermier possède un petit troupeau de 19 vaches, elles meurent toutes sauf 7, combien lui reste-t-il de vaches ? Problème : me rendant à la plage, j'ai croisé 6 hommes qui avaient chacun 6 femmes, chaque femme avait 6 enfants et chaque enfant avait 6 chats. Combien de personnes et d'animaux vont à la plage ? Problème : un navire de 500 tonneaux, avec trois mâts, 30 hommes d'équipage, 200 balles de coton, 1500 litres de vin, 1 tonne de café, 3 tonnes de bananes... arrive à Marseille en Quel est l'âge du capitaine ?

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20 1. Julie Lamalchance 2. Lexemple du sudoku 3. La laitière et les haricots de Singapour…

21 A S R T ARST est un losange. H Le cercle de diamètre [TR] coupe [AR] en H. I Les droites (TH) et (AS) se coupent en I. 1. Démontrer que (TH) est une hauteur du triangle ATR. 2. Démontrer que (RI) est perpendiculaire à (AT). K La droite (RI) coupe (AT) en K. 3. Démontrer que les points T, K, H et R sont sur un même cercle.

22 A S R T ARST est un losange. H Le cercle de diamètre [TR] coupe [AR] en H. I Les droites (TH) et (AS) se coupent en I. 1. Démontrer que (TH) est une hauteur du triangle ATR. 2. Démontrer que (RI) est perpendiculaire à (AT). K La droite (RI) coupe (AT) en K. 3. Démontrer que les points T, K, H et R sont sur un même cercle. Angle droit inscrit… Hauteurs concourantes

23 Julie, (quatrième, décembre 97) Je commence par tracer le losange ARST puis le cercle, le point H. A H S R T I Je relie (TH) et (AS) ; ces droites se coupent en I.

24 A H S R T I K 1. Pour prouver que (TH) est une hauteur du triangle ATR je relie (TR) et je trace ensuite les 3 hauteurs (dont celle que je pense en être une (TH)) Y et après avoir fait ceci, je constate que (TH) est l'une des trois hauteurs du triangle ATR. L'énoncé est donc exact. (*) (*) Je constate également que dans ATR, sur (TH), (KR) et (AY) le centre de gravité se trouve aux 2/3 en partant du sommet. Je pense donc que mon raisonnement est exact, et surtout que je comprenne bien ce qui est faux.

25 A H S R T I K 2. Pour prouver que (RI) est perpendiculaire à (AT) je relie (RI) et je constate ensuite que cette dernière est une des 3 hauteurs du triangle ATR. Je recherche parmi mes théorèmes et stupeur, je ne trouve pas la bonne fiche et après ce petit incident, je me dis que si (RI) est une des 3 hauteurs du triangle ATR, elle coupe AT perpendiculairement. Donc (RI) est perpendiculaire à (AT).

26 A H S R T I K Pour montrer que T, K, H et R sont sur un même cercle, il me suffit de construire ce cercle… Après tout ceci je constate avec émerveillement que le 1), le 2) et le 3) sont des démonstrations exactes plutôt que des énoncés. Y coup de chance, ce cercle ayant pour centre Y, est déjà construit. Il ne me reste plus qu'à constater que T, K, H et R sont sur un même cercle que je vais appeler C.

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28 A H S R T I K ARST est un losange. Le cercle de diamètre [TR] coupe [AR] en H. Les droites (TH) et (AS) se coupent en I. 1.démontrer que (TH) est une hauteur du triangle ATR. 2.Démontrer que (RI) est perpendiculaire à (AT). La droite (RI) coupe (AT) en K. 3.Démontrer que les points T, K, H et R sont sur un même cercle.

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30 A C1C1 C 1 et C 2 sont deux cercles de centres respectifs O 1 et O 2 sécants en A et B. La droite (AO 1 ) coupe le cercle C 1 en A 1. La droite (AO 2 ) coupe C 2 en A Compléter le figure : Julie, (mars 98) B O1O1 O2O2 C2C2 A1A1 A2A2

31 A C1C1 Pour commencer, je trace tout ce que me demande de tracer l'énoncé. Je m'aperçois que AA 1 A 2 est un triangle. 2. Prouver que les droites (A 1 A 2 ) et (O 1 O 2 ) sont parallèles. B O1O1 O2O2 C2C2 Ensuite je fouille dans mon mémento à la recherche de la leçon sur les théorèmes des milieux… A1A1 A2A2

32 A C1C1 C'est bien ce que je pensais, le théorème n°1 : Si dans un triangle, une droite passe par les milieux des deux côtés, elle est alors parallèle au 3 ème côté. B O1O1 O2O2 C2C2 Donc je mesure AA 1 : 4,8 cm et O est à 2,4 cm donc au milieu. Je mesure AA 2 : 7,4 et O est à 3,7. Je peux donc en conclure que O 1 O 2 // A 1 A 2. Je code désormais ce que je sais. B A1A1 A2A2

33 Cela me rappelle un théorème dans la boîte à outil parlant d'une droite perpendiculaire à deux droites parallèles. Je cherche,… 3. Quelle est la nature du triangle ABA 1 ? Pourquoi ? A C1C1 B O1O1 O2O2 C2C2 B A1A1 A2A2

34 …J'ai trouvé, le voici : Si deux droites sont parallèles toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. A C1C1 B O1O1 O2O2 C2C2 B A1A1 A2A2 Donc c'est le cas donc B est un angle droit. Je le code. Et tout triangle ayant un angle droit est rectangle donc ABA 1 est rectangle en B.

35 A C1C1 B O1O1 O2O2 C2C2 B A1A1 A2A2 Cette question est difficile, je ne la comprends pas. 4. Après avoir fait un raisonnement analogue pour un autre triangle de la figure, prouver que langle A 2 BA 1 est plat. Quen déduit-on sur la position des points A 1, B et A 2 ?

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37 1. Julie Lamalchance 2. Lexemple du sudoku 3. La laitière et les haricots de Singapour…

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53 Première procédure :

54 Première procédure : lexemple du 8

55 Première procédure :

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60 Variante indirecte : 3 ou 5

61 Variante indirecte : 3 ou 5

62 Variante indirecte :

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64 Première procédure : 9

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66 Procédure duale : 9 3

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69 Procédure essai : &7 3&5 6 7

70 Procédure essai : &7 3& & 8

71 Conséquence : &5 7 6 Et cætera

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74 Hypothèses Conclusion Propriété B Propriété C Propriété A Propriété D Propriété E

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76 Algorithmes …

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88 Problèmes …

89 Décompte ?…

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92 = 9 ! x 72 2 x 2 7 x

93 cases Record ?…

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96 1. Julie Lamalchance 2. Lexemple du sudoku 3. La laitière et les haricots de Singapour…

97 Problème : (Manuel de Châtelet (1934) destiné au niveau « Cours Moyen et Fin détudes » : « Une laitière a fourni à une crémière 20 litres de lait. En pesant ce lait, la crémière a trouvé un poids de 20,555 kg. Ce lait a-t-il été mélangé d'eau ? Qu'est-ce qui le prouve ? Quelle quantité d'eau contient-il ? (On rappelle que la densité du lait est 1,03) ».

98 Première méthode : la croix des mélanges 1)Calcul de la densité : 20 l pèsent 20,555 kg 1 l pèse 20,555 : 20 = 1,02775 kg 2) Calcul de la proportion deau : 1 1, ,03 0, , pour 37 3 pour 3) Conclusion : 3 parts pour 40 de mélange… : 1,5 l deau

99 Deuxième méthode : les fausses positions 1) Sil y a bien 20 litres de lait, la densité est : 1,03 2) Sil y a 19 litres de lait et 1 litre deau, la densité est : (19 x 1,03 + 1) / 20 = 20,57 / 20 = 1,0285 3)Comme la densité observée est de 1,02775, il faut donc : 1,03 – 1, ,03 – 1,0285 = 1,5 … litres deau

100 Troisième méthode : les fausses suppositions Problème : une tirelire contient des billets de 5 et de 10 euros, elle contient 37 billets en tout pour une somme 305 euros. Combien contient-elle de billets de chaque sorte ? Supposons quil ny ait que des billets de 5 … La somme serait de 5 x 37 = 185 euros Or il y a 305 euros, soit 120 euros de plus … Il faut donc changer 120 / 5 = 24 billets de 5 en billets de 10 …

101 Troisième méthode : les fausses suppositions Problème : une laitière vend un mélange de liquides de densités 1 et 1,03. Il y a 20 litres et le tout pèse 20,555 kg. Combien le mélange contient-il de litres de chaque sorte ? Supposons quil ny ait que des litres de lait (de densité 1,03) … Le poids total serait de 20 x 1,03 = 20,6 kg Or il ny a que 20,555 kg, soit 0,045 kg de moins … Il faut donc changer 0,045 / 0,03 = 1,5 litres de 1,03 en litres de 1 … Cest-à-dire quil faut 1,5 litres deau dans le mélange.

102 Quatrième méthode : la mise en équation(s) Problème à une inconnue : Désignons par x le nombre de litres de lait dans le mélange, Il y a donc (20 – x) litres deau et le poids du mélange est : (20 – x) + 1,03 x On a donc : (20 – x) + 1,03 x = 20,555 Soit : ,03 x = 20,555, etc. Problème à deux inconnues : Désignons par x le nombre de litres de lait et par y le nombre de litres deau…etc.

103 Cinquième méthode : lalgébrisation « Une laitière a fourni à une crémière V litres de mélange dun liquide de densité d et dun liquide de densité d. En pesant ce mélange, la crémière a trouvé un poids de P kg. Quelle quantité de chaque liquide ce mélange contient-il ? ». Soit x le volume du premier liquide, le poids total P du mélange est donné par la relation : P = d x + d (V – x). Doù lon tire x = (P – dV)/(d – d)… Quelle est ici la valeur de x, sachant que P = …

104 Sixième méthode : létude fonctionnelle Soit x le volume [variable] deau dans le mélange de la crémière. On peut calculer le poids P du mélange final en fonction de x : P = x + 1,03 (20 – x) = 20,6 – 0,03 x Etant donné cette fonction y = 20,6 – 0,03 x, le problème revient à trouver pour quelle valeur de x la valeur de y est égale à 20,555 …

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106 Problème : (Singapour) « Un homme a deux terrains, le premier deux fois plus grand que l'autre, sur lesquels il cultive des haricots verts. Venu le temps de la récolte, il engage une équipe de paysans pour la faire. Toute l'équipe travaille d'abord au grand terrain pendant cinq heures d'une matinée, et après leur pause de midi, une moitié d'entre eux va s'occuper du petit terrain, tandis que les autres retournent au grand. Après cinq heures de travail, ils rentrent chez eux. Un des terrains est achevé, mais pas l'autre. Un des paysans se porte volontaire pour le finir le lendemain. Il y arrive juste en travaillant toutes les dix heures du jour de travail. Question : Combien y avait-il de paysans ? »

107 Traduisons : « Un homme a deux terrains A et B. Le premier nécessite deux fois plus de temps de travail que le deuxième. Pour la récolte, une équipe de 2N paysans travaille une demi-journée sur A, puis une équipe de N paysans travaille une demi-journée sur A et une équipe de N paysans travaille une demi-journée sur B. Il reste alors à travailler 2 demi- journées pour terminer le champ qui na pas été achevé » Question : Combien y avait-il de paysans ? »

108 Méthode algébrique Supposons que le champ A est terminé en premier. Pour le champ A, il faut 2N + N = 3N demi-journées de travail Pour le champ B, il faut N + 2 demi-journées de travail Donc, puisque nous savons que le champ A nécessite deux fois le travail du champ B, nous avons léquation qui va gouverner le problème : 3N = 2 (N + 2)

109 Méthode arithmétique Reprenons léquation sous sa forme originelle : 2N + N = 2 ( N + 2 ) Elle se résout évidemment sous la forme immédiate : 2N + N = 2N + 2 x 2 N = 2 x 2 Mais on peut de plus lire la résolution en traduisant :

110 N est donc le double de 2. Champ A Champ B Donc, comme le champ A est le double du champ B, la portion A restante du champ A est encore le double de la portion restante B du champ B. Portion A Portion B Après la première demi-journée, une portion A du champ A [dont la surface correspond à 2N demi- journées de travail] a été récoltée. Portion A 2N demi-journées Elle est naturellement le double de la portion B du champ B qui a été récoltée laprès-midi [qui correspond à N demi-journées]. Portion B N demi-journées Mais A nécessite N demi-journées [effectuées le premier après-midi] et B nécessite seulement les 2 demi- journées effectuées le lendemain… N demi-jour 2 demi-jour

111 … / …

112 Conclusion ?…


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